時量：120分鐘 分值：150分
注意事項：
1.答卷前，考生務必將自己的姓名?準考證號填寫在答題卡上.
2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一?選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1.設集合，且，則（ ）
A.6 B.4 C. D.
2.已知，則（ ）
A. B. C.2 D.1
3.已知的圖象與直線在區(qū)間上存在兩個交點，則當最大時，曲線的對稱軸為（ ）
A. B.
C. D.
4.函數(shù)的圖像大致為（ ）
A. B.
C. D.
5.若平面單位向量滿足，則（ ）
A. B. C. D.
6.石雕?木雕?磚雕被稱為建筑三雕.源遠流長的磚雕，由東周瓦當?漢代畫像磚等發(fā)展而來，明清時代進入巔峰，形成北京?天津?山西?徽州?廣東?臨夏以及蘇派磚雕七大主要流派.蘇派磚雕被稱為“南方之秀”，是南方地區(qū)磚雕藝術(shù)的典型代表，被廣泛運用到墻壁?門窗?檐廊?欄檻等建筑中.圖（1）是一個梅花磚雕，其正面是一個扇環(huán)，如圖（2），磚雕厚度為所對的圓心角為直角，則該梅花磚雕的表面積為（ ）（單位：）
A. B. C. D.
7.已知過拋物線的焦點的直線與交于兩點，線段的中點為，且，若點在拋物線上，則的最小值為（ ）
A. B. C. D.
8.已知數(shù)列滿足，若數(shù)列的前項和為，不等式恒成立，則的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
二?多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）
9.已知，直線，且，則（ ）
A. B.
C. D.
10.如圖，正方體的棱長為4，點分別在棱上，滿足，記平面與平面的交線為，則（ ）
A.存在使得平面截正方體所得截面圖形為四邊形
B.當時，三棱錐體積為
C.當時，三棱錐的外接球表面積為
D.當時，直線與平面所成的角的正弦值為
11.已知函數(shù)的定義域均為為的導函數(shù)，且，，若為奇函數(shù)，則（ ）
A. B.
C. D.
三?填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）
12.已知，且，若的展開式中存在常數(shù)項，則展開式中的系數(shù)為__________.
13.已知是定義域為的奇函數(shù).若以點為圓心，半徑為2的圓在軸上方的部分恰好是圖像的一部分，則的解析式為__________.
14.如圖，對于曲線所在平面內(nèi)的點，若存在以為頂點的角，使得對于曲線上的任意兩個不同的點恒有成立，則稱角為曲線的相對于點的“界角”，并稱其中最小的“界角”為曲線的相對于點的“確界角”.已知曲線（其中是自然對數(shù)的底數(shù)），點為坐標原點，曲線的相對于點的“確界角”為，則__________.
四?解答題（本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.）
15.（13分）某校組織了科技展參觀活動，學生自愿參觀，事后學校進行了一次問卷調(diào)查，分別抽取男?女生各40人作為樣本.據(jù)統(tǒng)計：男生參觀科技展的概率為，參觀科技展的學生中女生占.
（1）根據(jù)已知條件，填寫下列列聯(lián)表，試根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析該校學生參觀科技展情況與性別是否有關(guān).
（2）用分層隨機抽樣的方式從參觀科技展的人中抽取12人，再從這12人中隨機抽取6人，用隨機變量表示女生人數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望.
參考公式和數(shù)據(jù)：，其中.
16.（15分）在中，角，的對邊分別為的面積為S，
（1）求角.
（2）若的面積為為邊的中點，求的長.
17.（15分）如圖（1），在中，，點為的中點.將沿折起到的位置，使，如圖（2）.
（1）求證：.
（2）在線段上是否存在點，使得？若存在，求二面角的余弦值；若不存在，說明理由.
18.（17分）費馬原理，也稱為時間最短原理：光傳播的路徑是光程取極值的路徑.在凸透鏡成像中，根據(jù)費馬原理可以推出光線經(jīng)凸透鏡至像點的總光程為定值（光程為光在某介質(zhì)中傳播的路程與該介質(zhì)折射率的乘積）.一般而言，空氣的折射率約為1.如圖是折射率為2的某平凸透鏡的縱截面圖，其中平凸透鏡的平面圓直徑為6，且與軸交于點.平行于軸的平行光束從左向右照向該平凸透鏡，所有光線經(jīng)折射后全部匯聚在點處并在此成像.（提示：光線從平凸透鏡的平面進入時不發(fā)生折射）
（1）設該平凸透鏡縱截面中的曲線為曲線，試判斷屬于哪一種圓錐曲線，并求出其相應的解析式.
（2）設曲線為解析式同的完整圓錐曲線，直線與交于兩點，交軸于點，交軸于點（點不與的頂點重合）.若，試求出點所有可能的坐標.
19.（17分）已知函數(shù).
（1）若曲線在處的切線方程為，求的值及的單調(diào)區(qū)間.
（2）若的極大值為，求的取值范圍.
（3）當時，求證：.
雅禮中學2025屆高三綜合自主測試（9月）
數(shù)學參考答案
一?選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分）
1.D 【解析】，
，故選：D.
2.C 【解析】由，得，則，所以.
故選：C.
3.D 【解析】當時，要使得的圖象與直線存在兩個交點，則，解得，
又因為，所以，所以，
此時曲線的對稱軸為，
解得，
故選：D
4.C 【解析】設，
對任意，
所以，
所以的定義域為，
，
所以函數(shù)為奇函數(shù).
令，
可得，即，
所以，可得，
由可得，解得，
所以的定義域為，
又，
所以函數(shù)為奇函數(shù)，排除BD選項，
當時，是減函數(shù)，
則，
所以，排除A選項.
故選：C
5.A 【解析】法一由得，所以，
所以，故選：A.
法二由題意可設，
則，得，
又，則，故，
所以.
故選：A
6.C 【解析】延長與交于點.由，
得.
因為所對的圓心角為直角，所以.
所以該梅花磚雕的側(cè)面積，
扇環(huán)的面積為，
則該梅花磚雕的表面積.
故選：C.
7.A 【解析】設，由的中點為，得，
由拋物線的定義可得，
又，所以，故拋物線的方程為.
易知點在直線上，
設與平行且與拋物線相切的直線方程為，
由，可得，
則，得，
則切線與直線之間的距離即的最小值，故的最小值為.
故選：A
8.D 【解析】由，得數(shù)列是首項為3，公差為2的等差數(shù)列，則，于是，
當為偶數(shù)時，，
當為奇數(shù)時，，
當為偶數(shù)時，；當為奇數(shù)時，，因此
，
由不等式恒成立，得，即，解得，所以的取值范圍為.
二?多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分）
9.ABD 【解析】，且，所以，當且僅當時等號成立，故A正確；，當且僅當時等號成立，，故B正確；
，故C錯誤；
，當且僅當，即時等號成立，故D正確.
故選：ABD.
10.BD 【解析】設正方體的棱長為4，以為原點，以所在的直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系.如圖所示：
對于A選項，時，在A點，，
由可知，所以截面即為四邊形；
由圖形知，截面為五邊形或六邊形.故A錯誤.
對于B選項，當時，，
所以，所以平面，
又平面，所以，
三棱錐體積為，故B正確.
對于C選項，當時，且平面，
所以根據(jù)球的性質(zhì)容易判斷，三棱錐的外接球的球心在過線段的中點，且垂直于平面的直線上，，
所以的中點，可記球心，外接球的半徑，解得，
所以三棱錐的外接球表面積為，故C錯誤.
對于D選項，當時，，所以，設平面的一個法向量為，
則，令，則，所以可取，
由平面知，平面的法向量為，
記平面與平面的交線的一個方向向量為，
則，令，則，所以可取，
又平面的法向量為，則，
設與平面所成的角為，則，故D正確.
故選：BD.
11.ABD 【解析】已知函數(shù)的定義域均為，
因為，可得，
又因為為奇函數(shù)，則，可得，即為偶函數(shù)，
則，即，可得，
所以，可知的周期為8.
對于選項A：因為
令，則，可得，故A正確；
對于選項B：因為，令，可得，故B正確；
對于選項C：因為，且為偶函數(shù)，則，
令，可得，
又因為，令，則，
可得，可得，
但由題設條件無法推出，故C錯誤；
對于選項D：因為的周期為8，故，故D正確；故選：ABD.
三?填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）
12.6
【解析】展開式的通項公式為
因為存在常數(shù)項，所以，故只有當時滿足題意，
即求展開式中含的項的系數(shù)，
令，即，
所以展開式中含的項為，
所以展開式中的系數(shù)為6.
故答案為：6
13.
【解析】以點為圓心，半徑為2的圓的方程為，
則該圓在軸上方的部分的方程為，
由是奇函數(shù)，得，當時，，
，
所以的解析式為.
故答案為：
14.1
【解析】函數(shù)，
因為
所以該函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.
過原點作的切線，設切點，
由，則切線的斜率為，
直線過，
，
即，由函數(shù)與的圖象在有且只有一個交點，
且當時滿足方程，故方程有唯一解，則；
過原點作的切線，設切點，
由，得切線的斜率，
則切線過原點，
則有，
則，則有，
兩切線垂直，曲線的相對于點的“確界角”為，
則.
故答案為：1.
四?解答題（本題共5小題，共77分）
15.（1）因為男生參觀科技展的概率為，所以參觀科技展的男生人數(shù)為.
因為參觀科技展的學生中女生占，所以參觀科技展的人數(shù)為.
則參觀科技展的女生人數(shù)為.
結(jié)合男?女生各有40人，填寫列聯(lián)表如下：
零假設為：學生參觀科技展情況與性別無關(guān).
根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，計算得到
.
根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認為該校學生參觀科技展情況與性別有關(guān)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.01.
（2）用分層隨機抽樣的方式從參觀科技展的人中抽取12人，抽男生8人，女生4人，所以的可能取值為，
則，
.
所以的分布列為
所以.
16.（1）由題意得
，
由正弦定理，得，即，
所以.又，所以.
（2）因為的面積為，
所以，所以.
因為，所以，
即，所以.
因為是邊的中點，所以，
所以，
所以，所以的長為.
17.（1）依題意可知點為的中點，，所以.
又平面，所以平面.
又平面，所以.
依題意可知平面，
所以平面.
又平面，所以.
因為平面，所以平面.
又平面，所以.
（2）由題意，得，
由（1），所以.
以點為坐標原點，所在直線分別為軸?軸，過點且平行于的直線為軸，建立空間直角坐標系，
如圖，則.
所以.
設，即，
則.
若存在點，使得，則，
解得，則.
設平面的法向量為，
則令，得，
所以平面的一個法向量為.
設平面的法向量為，
則令，得，
所以平面的一個法向量為.
所以.
由圖可知，二面角為銳角，
故二面角的余弦值為.
18.（1）設上任意一點，光線從點至點的光程為，光線穿過
凸透鏡后從點折射到點的光程為，
則，
由題意得，得，化簡得，
.令，得，
為雙曲線的一部分，解析式為.
（2）由題意知.
設，
則，
，
易知，得，
即.
將點A的坐標代入，得，
化簡整理得.
同理可得，
與為方程的兩個解，
.
由題知，解得，
點的坐標可能為或.
19.（1）由題意，得，所以.
因為曲線在處的切線方程為，
又，所以，所以.
所以.
令，得；令，得.
所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.
（2）由題意得.
當時，令，得；令，得.
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時只有極小值，不符合題意.
當時，令，得.
因為的極大值為，所以，解得.
綜上，的取值范圍為.
（3）當時，.
要證，即證，
只需證.
先證：.
設，則.
設，則.
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，即，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，所以.
再證：，即證.
設，則.
當時，單調(diào)遞增；
當時，單調(diào)遞減.所以.
設，則.
當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增.
所以.所以，即.
綜上，得證.
故.參觀科技展
未參觀科技展
合計
男生
女生
合計
0.1
0.05
0.025
0.01
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
參觀科技展
未參觀科技展
合計
男生
32
8
40
女生
16
24
40
合計
48
32
80
0
1
2
3
4

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