1.復(fù)數(shù)z=?1?3i，則z的虛部為( )
A. 3iB. ?3iC. 3D. ?3
2.cs2π12?sin2π12=( )
A. 12B. 33C. 22D. 32
3.若α?β=60°，則tanα?tanβ? 3tanαtanβ=( )
A. 0B. 1C. 3D. 2
4.已知|a|= 2，且a?b=?2，則向量b在向量a上的投影向量為( )
A. 12aB. 12bC. ?aD. ?b
5.已知向量a，b滿(mǎn)足：|a|=1，|a+2b|=2，且(b?2a)⊥b，則|b|=( )
A. 12B. 22C. 32D. 1
6.若cs2α=35，則sin4α+cs4α=( )
A. ?1725B. 1725C. ?825D. 825
7.要得到函數(shù)y=sinx+csx的圖象，只需將函數(shù)y= 2cs2x的圖象上所有的點(diǎn)( )
A. 先向右平移π8個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)
B. 先向左平移π8個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的12(縱坐標(biāo)不變)
C. 先向右平移π4個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)
D. 先向左平移π4個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的12(縱坐標(biāo)不變)
8.已知△ABC中，AB=2，BC=3，∠ABC=60°，BD=2DC，AE=EC，則AD?BE=( )
A. 1
B. ?2
C. 12
D. ?12
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。
9.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3,?4)下列說(shuō)法正確的有( )
A. sinα=35
B. sinα+csαsinα?csα=17
C. sin(π2+α)sin(2π+α)tan(?α?π)cs(?π+α)=35
D. csα 1+sinα1?sinα+sinα 1+csα1?csα=?75
10.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，下列說(shuō)法正確的是( )
A. cs(A+B)=csC
B. 若A：B：C=1：2：3，則a：b：c=1：2：3
C. 若sinA>sinB，則A>B
D. 若sin2A+sin2B?sin2C0,ω>0,|φ|0)在[0,π]上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則t∈[56,43)
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知csα=35，α為銳角，則cs(α+π6)= ______．
13.已知向量a，b的夾角為5π6，|a|=2 3,b=(3,4)，則|a+2b|= ______．
14.在△ABC中，|BA+BC|=4，|AC+AB|=2，則△ABC面積的最大值為_(kāi)_____．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。
15.(本小題13分)
在平面直角坐標(biāo)系中，已知a=(1,?2)，b=(3,4)．
(1)若(3a?b)//(a+kb)，求實(shí)數(shù)k的值；
(2)若(a?tb)⊥b，求實(shí)數(shù)t的值．
16.(本小題15分)
已知函數(shù)f(x)=2sinxcsx+2 3cs2x.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)當(dāng)x∈[?π3,π3]時(shí)，求函數(shù)f(x)的值域．
17.(本小題15分)
在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知csC=35
(1)若CB?CA=92，求△ABC的面積；
(2)設(shè)向量x=(2sinB2, 3)，y=(csB,csB2)，且x//y，b=5 3，求a的值．
18.(本小題17分)
養(yǎng)殖戶(hù)承包一片靠岸水域，如圖所示，AO、OB為直線岸線，OA=2千米，OB=3千米，∠AOB=π3，該承包水域的水面邊界是某圓的一段弧AB，過(guò)弧AB上一點(diǎn)P按線段PA和PB修建養(yǎng)殖網(wǎng)箱，已知∠APB=2π3．
(1)求岸線上點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的直線距離；
(2)如果線段PA上的網(wǎng)箱每千米可獲得2萬(wàn)元的經(jīng)濟(jì)收益，線段PB上的網(wǎng)箱每千米可獲得4萬(wàn)元的經(jīng)濟(jì)收益.記∠PAB=θ，則這兩段網(wǎng)箱獲得的經(jīng)濟(jì)總收益最高為多少萬(wàn)元？
19.(本小題17分)
已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)于函數(shù)f(x)=asinx+bcsx，稱(chēng)向量OM=(a,b)為函數(shù)f(x)的相伴特征向量，同時(shí)稱(chēng)函數(shù)f(x)為向量OM的相伴函數(shù)．
(1)若OT=(? 3,1)為?(x)=msin(x?π6)的相伴特征向量，求實(shí)數(shù)m的值；
(2)記向量ON=(1, 3)的相伴函數(shù)為f(x)，求當(dāng)f(x)=85且x∈(?π3,π6)時(shí)sinx的值；
(3)已知A(?2,3)，B(2,6)，?(x)為(1)中函數(shù)，φ(x)=?(x2?π3)，請(qǐng)問(wèn)在y=φ(x)的圖象上是否存在一點(diǎn)P，使得AP⊥BP，若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．
參考答案
1.D
2.D
3.C
4.C
5.B
6.B
7.A
8.C
9.BCD
10.CD
11.AD
12.3 3?410
13.2 13
14.43
15.解：(1)∵a=(1,?2)，b=(3,4)，
∴3a?b=3(1,?2)?(3,4)=(0,?10)，
a+kb=(1,?2)+k(3,4)=(3k+1,4k?2)，
∵(3a?b)//(a+kb)，∴0+10(3k+1)=0，解得k=?13．
(2)a?tb=(1,?2)?t(3,4)=(1?3t,?2?4t)，
∵(a?tb)⊥b，∴(a?tb)?b=3×(1?3t)+4×(?2?4t)=?25t?5=0，
解得t=?15．
16.解：(1)函數(shù)f(x)=2sinxcsx+2 3cs2x=sin2x+ 3cs2x+ 3
=2sin(2x+π3)+ 3，
令2x+π3∈[2kπ?π2,2kπ+π2],k∈Z，解得x∈[kπ?5π12,kπ+π12],k∈Z，
令2x+π3∈[2kπ+π2,2kπ+3π2],k∈Z，解得x∈[kπ+π12,kπ+7π12],k∈Z，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ?5π12,kπ+π12]，k∈Z，
單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+π12,kπ+7π12]，k∈Z；
(2)當(dāng)x∈[?π3,π3]時(shí)，2x+π3∈[?π3,π]，
當(dāng)2x+π3=π2時(shí)，f(x)max=2+ 3，
當(dāng)2x+π3=?π3時(shí)，f(x)min=2×(? 32)+ 3=0，
所以函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇0,2+ 3].
17.解：(1)由CB?CA=92，得abcsC=92．
又因?yàn)閏sC=35，所以ab=92csC=152．
又C為△ABC的內(nèi)角，所以sinC=45. 所以△ABC的面積S=12absinC=3．
(2)因?yàn)橄蛄縳=(2sinB2, 3)，y=(csB,csB2)，且x//y，
所以2sinB2csB2= 3csB，即sinB= 3csB．
因?yàn)閏sB≠0，所以tanB= 3．
因?yàn)锽為三角形的內(nèi)角，0

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