1.設(shè)集合A={x|x2?40)的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A，B，若∠APB=π3，則實(shí)數(shù)m=( )
A. 13B. 12C. 1D. 2
8.已知tanα+tanβ=3，sin(α+β)=2sinαsinβ，則tan(α+β)=( )
A. 4B. 6C. ?32D. ?6
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。
9.有一組從小到大排列的樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn?1，xn(n≥4)，若將第1個(gè)數(shù)據(jù)減1，最后一個(gè)數(shù)據(jù)加2，其余數(shù)據(jù)不變，得到新的一組數(shù)據(jù)x1?1，x2，…，xn?1，xn+2，則下列統(tǒng)計(jì)量中，相比原來(lái)的數(shù)據(jù)變大的有( )
A. 極差B. 中位數(shù)C. 平均數(shù)D. 方差
10.某大型商場(chǎng)開(kāi)業(yè)期間為吸引顧客，推出“單次消費(fèi)滿(mǎn)100元可參加抽獎(jiǎng)”的活動(dòng)，獎(jiǎng)品為本商場(chǎng)現(xiàn)金購(gòu)物卡，可用于以后在該商場(chǎng)消費(fèi)．抽獎(jiǎng)結(jié)果共分5個(gè)等級(jí)，等級(jí)工與購(gòu)物卡的面值y(元)的關(guān)系式為y=eax+b+k，3等獎(jiǎng)比4等獎(jiǎng)的面值多100元，比5等獎(jiǎng)的面值多120元，且4等獎(jiǎng)的面值是5等獎(jiǎng)的面值的3倍，則( )
A. a=?ln5B. k=15
C. 1等獎(jiǎng)的面值為3130元D. 3等獎(jiǎng)的面值為130元
11.已知函數(shù)y=f(x)在R上可導(dǎo)且f(0)=1，其導(dǎo)函數(shù)f′(x)滿(mǎn)足(x+1)[f′(x)?f(x)]>0，對(duì)于函數(shù)g(x)=f(x)ex，下列結(jié)論正確的是( )
A. 函數(shù)g(x) 在(?∞,?1)上為增函數(shù)B. x=?1是函數(shù)g(x)的極小值點(diǎn)
C. 函數(shù) g(x)必有2 個(gè)零點(diǎn)D. e2f(e)>ee f(2)
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.某校為促進(jìn)拔尖人才培養(yǎng)開(kāi)設(shè)了數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、生物、信息學(xué)五個(gè)學(xué)科競(jìng)賽課程，現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四位同學(xué)要報(bào)名競(jìng)賽課程，由于精力和時(shí)間限制，每人只能選擇其中一個(gè)學(xué)科的競(jìng)賽課程，則恰有兩位同學(xué)選擇數(shù)學(xué)競(jìng)賽課程的報(bào)名方法數(shù)為_(kāi)_____．
13.函數(shù)f(x)=sin(ωx+π3)(ω>0)的非負(fù)零點(diǎn)按照從小到大的順序分別記為x1，x2，…，xn，…，若x3?x2=π2，則xn的值可以是______.(寫(xiě)出符合條件的一個(gè)值即可)
14.如圖是一座山的示意圖，山大致呈圓錐形，山腳呈圓形，半徑為2km，山高為2 15km，B是山坡SA上一點(diǎn)，且AB=2km.現(xiàn)要建設(shè)一條從A到B的環(huán)山觀(guān)光公路，這條公路從A出發(fā)后先上坡，后下坡，當(dāng)公路長(zhǎng)度最短時(shí)，下坡路段長(zhǎng)為_(kāi)_____．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。
15.(本小題15分)
在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，
在條件：①asinC= 3ccsA；② 3cs(B+C)+sinA=0；
③sin2B+sin2C?sinBsinC=sin2A，從上述三個(gè)條件中任選一個(gè)作為題目的補(bǔ)充條件，你的選擇是________，并解答下面問(wèn)題：
(1)求角A的大小；
(2)若b+c=2 3,a= 3，求△ABC的面積．
16.(本小題15分)
如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，AC= 2，AB=1，E，F(xiàn)分別為A1C，BB1的中點(diǎn)，且EF⊥平面AA1C1C.
(1)求棱BC的長(zhǎng)度；
(2)若BB1⊥A1B1，且△A1FC的面積SΔA1FC= 22，求二面角B1?A1F?C的正弦值．
17.(本小題15分)
已知函數(shù)f(x)=1x+2lnx．
(1)求函數(shù)g(x)=f(x)?x的零點(diǎn)；
(2)證明：對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)k，存在x0>0，當(dāng)x∈(x0,+∞)時(shí)，恒有k x>f(x)．
18.(本小題16分)
已知?jiǎng)訄AP經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(? 3,0)，并且與圓B：(x? 3)2+y2=16相切，記圓心P的軌跡為曲線(xiàn)C．
(1)求曲線(xiàn)C的方程；
(2)若動(dòng)圓Q的圓心在曲線(xiàn)C上，定直線(xiàn)l：x=t與圓Q相切，切點(diǎn)記為M，探究：是否存在常數(shù)m使得|QB|=m|QM|？若存在，求m及直線(xiàn)l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
19.(本小題16分)
已知函數(shù)f(x)=ex?1ax+lnx?x．
(1)若a=1，求f(x)的極值；
(2)若f(x)有三個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，x3，x10時(shí)，k2 x>1x等價(jià)于x>(2k)23，k2 x>44x等價(jià)于x>(8k)4，
設(shè)(2k)23,(8k)4,1三個(gè)數(shù)中最大的數(shù)為x0，
所以當(dāng)x∈(x0,+∞)時(shí)，有k x>1x+44x>1x+2lnx=f(x)．
18.解：(1)如圖所示，

由題意知，圓B圓心為B( 3,0)，半徑為4，設(shè)動(dòng)圓P的半徑為R，
因?yàn)?? 3? 3)2|AB|=2 3，
所以圓心P的軌跡為以A、B為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓．
所以2a=4，2c=2 3，故a=2，c= 3，則b= a2?c2=1．
所以曲線(xiàn)C的方程為x24+y2=1．
(2)如圖所示，

存在常數(shù)m使得|QB|=m|QM|，理由如下：
設(shè)Q(x0,y0)，則x024+y02=1，x0∈[?2,2]，M(t,y0)，
所以|QB|= (x0? 3)2+y02= (x0? 3)2+(1?x024)= 3x024?2 3x0+4，|QM|=|x0?t|，
假設(shè)存在常數(shù)m使得|QB|=m|QM|，
則(3x024?2 3x0+4)2=m2(x0?t)2對(duì)于任意的x0∈[?2,2]恒成立，
即：34(x0?4 33)2=m2(x0?t)2對(duì)于任意的x0∈[?2,2]恒成立，
所以m2=34，t=4 33．
即：存在常數(shù)m=± 32使得|QB|=m|QM|，此時(shí)直線(xiàn)l方程為x=4 33．
19.解：(1)當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=ex?1x+lnx?x(x>0)，
所以f′(x)=(x?1)ex?1x2+1x?1=(x?1)(ex?1?x)x2，
設(shè)q(x)=ex?1?x，則q′(x)=ex?1?1，
當(dāng)00時(shí)，ex?1?ax≥ex?1?x≥0，
所以當(dāng)01時(shí)，設(shè)r(x)=ex?1?ax，r′(x)=ex?1?a，
所以當(dāng)0x2，
所以ex>(e2)2x2>x2，
取m=max{2,ae}，則r(m)=em?1?am>1em2?am=m(me?a)≥0，
由零點(diǎn)的存在性定理知存在唯一x3∈(lna+1,m)，使得r(x3)=0，ex3?1=ax3，
由以上推理可得0

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