考試時(shí)間：120分鐘 滿分：150分
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 已知數(shù)列首項(xiàng)，且滿足，則（ ）
A. 8B. 32C. 16D. 64
2. 已知數(shù)列是等差數(shù)列，，則（ ）
A. 19B. 51C. 69D. 87
3. 若在等差數(shù)列中，．則的公差為（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 6
4. 設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，則的值為（ ）
A. B. C. D.
5. 已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（ ）
A. B. C. 5D. 15
6. 已知數(shù)列滿足，，則（ ）
A. B. C. D.
7. 已知等差數(shù)列公差為，前項(xiàng)和為，且，則下列不正確的是（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知雙曲線左，右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)，在雙曲線右支上存在點(diǎn)，使得成等比數(shù)列，則雙曲線離心率取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．
9. 已知等比數(shù)列是遞減數(shù)列，是其公比，則下列說法一定正確的是（ ）
A. B. C. D.
10. 已知數(shù)列是等差數(shù)列，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，則下列說法中正確的是（ ）
A. 若，數(shù)列的前10項(xiàng)和或前11項(xiàng)和最大，則等差數(shù)列的公差
B. 若，，則使成立最大的n為4039
C. 若，則
D. 若，則
11. 意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)：1，1，2，3，5，8，13，….該數(shù)列的特點(diǎn)是前兩個(gè)數(shù)都是1，從第三個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都等于它前面相鄰兩個(gè)數(shù)的和，人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”.若記此數(shù)列為，有，，前n項(xiàng)和為，則下列對“斐波那契數(shù)列”的描述正確的是（ ）
A. B. 該數(shù)列的前2024項(xiàng)中能被3整除的有507項(xiàng)
C. 偶數(shù)D.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共15分．
12. 若數(shù)列是等比數(shù)列，且其前n項(xiàng)和為，則實(shí)數(shù)______
13. 若等比數(shù)列共有項(xiàng)，其公比為2，其奇數(shù)項(xiàng)和比偶數(shù)項(xiàng)和少100，則數(shù)列的所有項(xiàng)之和為______．
14. 已知等比數(shù)列的公比，存在，滿足，則的最小值為_________．
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．
16. 記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和
17. 如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，平面，為棱的中點(diǎn)．
（1）求證：平面；
（2）已知．
①求直線與平面所成角的正弦值；
②求點(diǎn)到平面的距離．
18. 在數(shù)列中，，.
（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列.
（2）求的通項(xiàng)公式.
（3）若，記數(shù)列的前項(xiàng)和，求.
19. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)和的距離之和為4．記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線．
（1）求曲線的方程；
（2）設(shè)直線與曲線交于兩點(diǎn)．
①若點(diǎn)，直線過點(diǎn)且與直線垂直，求的周長；
②若，求面積的取值范圍．
成都高新實(shí)驗(yàn)中學(xué)2024-2025學(xué)年下期高二3月月考
數(shù)學(xué)試卷
考試時(shí)間：120分鐘 滿分：150分
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足，則（ ）
A. 8B. 32C. 16D. 64
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)條件得出數(shù)列是以，公比為2的等比數(shù)列，即可求出結(jié)果.
【詳解】由可得為常數(shù)，所以數(shù)列是以，公比為2的等比數(shù)列；
因此.
故選：D.
2. 已知數(shù)列是等差數(shù)列，，則（ ）
A. 19B. 51C. 69D. 87
【答案】C
【解析】
【分析】利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.
【詳解】.
故選：C.
3. 若在等差數(shù)列中，．則的公差為（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，將已知等式化簡，兩式相減即可求得答案
【詳解】因?yàn)?，所?
解得,所以等差數(shù)列為正數(shù)等差數(shù)列，所以
故選：B
4. 設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，則的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用數(shù)列前項(xiàng)和與第項(xiàng)的關(guān)系求出.
【詳解】數(shù)列的前項(xiàng)和，則.
故選：A
5. 已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（ ）
A. B. C. 5D. 15
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)及求和公式得解.
【詳解】由等比數(shù)列性質(zhì)可知，，
又，解得或，
當(dāng)時(shí)，，
所以，故，
當(dāng)時(shí)，，
所以，故，
綜上，，
故選：D
6. 已知數(shù)列滿足，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由題意列舉數(shù)列的前幾項(xiàng)，可得數(shù)列的周期性，可得答案.
【詳解】由，，則，，，
所以數(shù)列的最小正周期為，
由，則.
故選：D.
7. 已知等差數(shù)列的公差為，前項(xiàng)和為，且，則下列不正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)等差數(shù)列前 項(xiàng)和 與 的關(guān)系，可判斷A、B正確，再由前 項(xiàng)和公式可判斷C錯(cuò)誤，D正確.
【詳解】由可得，且，
因此可得，故選項(xiàng)A、B正確.
因?yàn)?，可得?br>所以，即，選項(xiàng)C錯(cuò)誤
由等差數(shù)列前項(xiàng)和公式得，，選項(xiàng)D正確.
故選：C.
8. 已知雙曲線左，右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)，在雙曲線右支上存在點(diǎn)，使得成等比數(shù)列，則雙曲線離心率取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】設(shè)，則得，由和可推得為關(guān)于的方程的兩根，求得，（*），在中，利用余弦定理得，將（*）代入化簡得，根據(jù)，可得，即，解不等式可得.
【詳解】
如圖，不妨設(shè)，
由題意，，
則，即①，
又，即②，
由①，② 可知，可看成關(guān)于的方程的兩根，
則，故得，（*）.
在中，因，
運(yùn)用余弦定理，由可得：，
化簡得：，
將（*）代入整理得：，
化簡得：，即，
由圖可得，則有，
即得：，也即，
分解因式得：，
即，
因，解得.
故選：B.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：選設(shè)未知數(shù)后，通過變形后求得，是關(guān)鍵，再利用余弦定理建立方程，結(jié)合圖形得將其化成關(guān)于的齊次不等式，求解即得.
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．
9. 已知等比數(shù)列是遞減數(shù)列，是其公比，則下列說法一定正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根據(jù)等比數(shù)列的單調(diào)性求解判斷.
【詳解】，為遞減數(shù)列，
則或.
故BD正確.
故選：BD.
10. 已知數(shù)列是等差數(shù)列，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，則下列說法中正確的是（ ）
A. 若，數(shù)列的前10項(xiàng)和或前11項(xiàng)和最大，則等差數(shù)列的公差
B. 若，，則使成立的最大的n為4039
C. 若，則
D. 若，則
【答案】BC
【解析】
【分析】應(yīng)用等差數(shù)列基本量運(yùn)算判定A，C，應(yīng)用絕對值左右平方結(jié)合基本量運(yùn)算判定B，根據(jù)成等差數(shù)列，計(jì)算求值判定D.
【詳解】若，數(shù)列的前10項(xiàng)或前11項(xiàng)和最大，則，
即，故A錯(cuò)誤；
由，得，
即，整理得，
解得或．
當(dāng)時(shí)，，不符題意，所以，
由，得，由，得，
所以n的最大值為4039，故B正確；
解得．
又，故C正確；
因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，即10，30，成等差數(shù)列，
所以，解得，故D錯(cuò)誤．
故選：BC.
11. 意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)：1，1，2，3，5，8，13，….該數(shù)列的特點(diǎn)是前兩個(gè)數(shù)都是1，從第三個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都等于它前面相鄰兩個(gè)數(shù)的和，人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”.若記此數(shù)列為，有，，前n項(xiàng)和為，則下列對“斐波那契數(shù)列”的描述正確的是（ ）
A. B. 該數(shù)列的前2024項(xiàng)中能被3整除的有507項(xiàng)
C. 是偶數(shù)D.
【答案】AD
【解析】
【分析】觀察分析“斐波那契數(shù)列”的特點(diǎn)和性質(zhì)，探索其規(guī)律，依次判斷各選項(xiàng)的準(zhǔn)確性.
【詳解】對A選項(xiàng)：因?yàn)?，即?br>所以，
又，所以.故A正確；
對B：因?yàn)椤办巢瞧鯏?shù)列”的前若干項(xiàng)依次為：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144，…，它們除以3所得的余數(shù)為：1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0，…，可以發(fā)現(xiàn)余數(shù)是以1,1,2,0,2,2,1,0為周期的，在一個(gè)周期內(nèi)有兩個(gè)能被3整除的數(shù).
又，所以該數(shù)列的前2024項(xiàng)中能被3整除的有個(gè).故B不正確；
對C：因?yàn)榫鶠槠鏀?shù)，且奇數(shù)奇數(shù)為偶數(shù)，所以為偶數(shù)；
因?yàn)槠鏀?shù)偶數(shù)為奇數(shù)，所以為奇數(shù)；…
所以“斐波那契數(shù)列”中的項(xiàng)是“奇，奇，偶”規(guī)律出現(xiàn)的，又，所以
為奇數(shù)，故C不正確；
對D：因?yàn)?br>…
因?yàn)?，所?故D正確.
故選：AD
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用遞推關(guān)系求數(shù)列中的項(xiàng)常見思路為：
（1）項(xiàng)的序號較小時(shí)，逐步遞推求出即可；
（2）項(xiàng)的序數(shù)較大時(shí)，考慮證明數(shù)列是等差、等比數(shù)列，或者是周期數(shù)列.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共15分．
12. 若數(shù)列是等比數(shù)列，且其前n項(xiàng)和為，則實(shí)數(shù)______
【答案】
【解析】
【分析】由等比數(shù)列前項(xiàng)和的特點(diǎn)即可求解；
【詳解】 ∵，且為等比數(shù)列，
由等比數(shù)列前項(xiàng)和特點(diǎn)，
可得：，即．
故答案為：
13. 若等比數(shù)列共有項(xiàng)，其公比為2，其奇數(shù)項(xiàng)和比偶數(shù)項(xiàng)和少100，則數(shù)列的所有項(xiàng)之和為______．
【答案】300
【解析】
【分析】設(shè)等比數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)之和為，偶數(shù)項(xiàng)之和為則，，則可求出,值，從而得出答案.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)之和為，偶數(shù)項(xiàng)之和為，
則，
，
由題意可得：，即，解得，
故數(shù)列的所有項(xiàng)之和是.
故答案為：300.
14. 已知等比數(shù)列的公比，存在，滿足，則的最小值為_________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得，再根據(jù)基本不等式結(jié)合對勾函數(shù)性質(zhì)求解即可．
【詳解】在等比數(shù)列中，由，得，即，
則，則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，此時(shí)，而，
由對勾函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，又，
所以當(dāng)時(shí)，取得最小值為.
故答案為：
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式列出等式，聯(lián)立方程組求得的值，從而寫出通項(xiàng)公式；
（2）由（1）寫出的通項(xiàng)公式，然后由裂項(xiàng)相消求得其前項(xiàng)和．
【小問1詳解】
設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得，
由，得，
所以，所以．
【小問2詳解】
由（1）知，
所以
16. 記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由的關(guān)系求的通項(xiàng)公式；
（2）應(yīng)用錯(cuò)位相減法及等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求
【小問1詳解】
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，滿足上式，所以.
【小問2詳解】
由題知，
所以，，
兩式相減得
所以
17. 如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，平面，為棱的中點(diǎn)．
（1）求證：平面；
（2）已知．
①求直線與平面所成角的正弦值；
②求點(diǎn)到平面距離．
【答案】（1）證明見解析；
（2）；.
【解析】
【分析】（1）連接，連，證明，再利用線面平行的判定推理作答.
（2）①以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量法求法向量再求線面角的正弦②應(yīng)用點(diǎn)到平面距離公式計(jì)算即可.
【小問1詳解】
連接，連，如圖，正方形中，N為的中點(diǎn)，而為棱的中點(diǎn)，
則，而平面，平面，
所以平面.
【小問2詳解】
因?yàn)榈酌娴酌?，
所以，正方形中, ，
又因?yàn)槠矫妫?所以平面，
因?yàn)槠矫?，所以?br>又因?yàn)椋?平面，
所以平面，平面,所以，為棱的中點(diǎn)．
所以，
如圖建立空間直角坐標(biāo)系，
依題意，則，所以 .
設(shè)平面的法向量，
因?yàn)?，所以?br>令，得 ，即，
設(shè)直線與平面所成角為
所以，所以直線與平面所成角的正弦值為 ；
②點(diǎn)到平面的距離.
18. 在數(shù)列中，，.
（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列.
（2）求的通項(xiàng)公式.
（3）若，記數(shù)列的前項(xiàng)和，求.
【答案】（1）證明見解析；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）利用給定的遞推公式變形，結(jié)合等差數(shù)列定義判斷得證.
（2）利用（1）的結(jié)論，利用等差數(shù)列定義求出通項(xiàng)公式.
（3）利用分組求和法，結(jié)合等差等比數(shù)列前項(xiàng)和公式求解即得.
【小問1詳解】
在數(shù)列中，由，得，
則，而，即，
所以數(shù)列是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列.
【小問2詳解】
由（1）得，則，即，
所以的通項(xiàng)公式是.
【小問3詳解】
由（2）得，
則
，
所以.
19. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)和的距離之和為4．記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線．
（1）求曲線的方程；
（2）設(shè)直線與曲線交于兩點(diǎn)．
①若點(diǎn)，直線過點(diǎn)且與直線垂直，求的周長；
②若，求面積的取值范圍．
【答案】（1）
（2）①8；②
【解析】
【分析】（1）利用橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程即可得出；
（2）①由（1）可知，為正三角形，得直線為線段的垂直平分線，則的周長為；②當(dāng)直線的斜率一條為0，另一條不存在時(shí)，的面積為；當(dāng)直線的斜率存在且都不為零時(shí)，設(shè)直線，與橢圓聯(lián)立消去得，則，則，則得，同理可得，，代入，變形后利用基本不等式，即可求得其取值范圍.
【小問1詳解】
由題意知，，
所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以和為焦點(diǎn)的橢圓，
故可設(shè)橢圓的方程為，
則，所以，
所以曲線的方程為．
【小問2詳解】
①由（1）知，，得為正三角形，
則由，得直線為線段的垂直平分線，
所以，且，
則的周長為
②（Ⅰ）當(dāng)直線的斜率一條為0，另一條不存在時(shí)，的面積為，
（Ⅱ）當(dāng)直線的斜率存在且都不為零時(shí)，設(shè)直線，
由，得，
即，則，
則，
同理可得，，
故面積為
．
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取最小值．
綜上，的面積的取值范圍為．

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