注意事項(xiàng)：
1.全卷共120分，考試時(shí)間120分鐘．
2.考生必須將姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)等個(gè)人信息填（涂）寫在試卷及答題卡上．
3.考生務(wù)必將答案直接填（涂）寫在答題卡的相應(yīng)位置上．
4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．
一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1. 的絕對(duì)值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題主要考查了絕對(duì)值的意義，熟練掌握一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身是解題的關(guān)鍵．根據(jù)絕對(duì)值的意義解答即可．
【詳解】解：的絕對(duì)值是，
故選：A．
2. 已知∠A＝80°，則∠A的補(bǔ)角是（ ）
A. 100°B. 80°C. 40°D. 10°
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用互補(bǔ)兩角的關(guān)系進(jìn)而得出答案．
【詳解】解：∵∠A＝80°，
∴∠A補(bǔ)角為：180°﹣80°＝100°．
故選A．
【點(diǎn)睛】主要考查了互補(bǔ)兩角的關(guān)系，正確把握定義是解題關(guān)鍵．
3. 2024年一季度，蘭州市堅(jiān)持穩(wěn)中求進(jìn)、綜合施策，全市國民經(jīng)濟(jì)起步平穩(wěn)，開局良好．一季度全市地區(qū)生產(chǎn)總值87790000000元．?dāng)?shù)據(jù)87790000000用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)．絕對(duì)值大于1的數(shù)可以用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為，其中，，為正整數(shù)，且比原數(shù)的整數(shù)位數(shù)少1，據(jù)此可以解答．
【詳解】解：數(shù)據(jù)87790000000用科學(xué)記數(shù)法表示為．
故選：C
4. 計(jì)算：（ ）
A. aB. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題主要考查了整式的混合運(yùn)算，先計(jì)算單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，再合并同類項(xiàng)即可．
【詳解】解：
故選：D．
5. 一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】先判斷k、b的符號(hào)，再判斷直線經(jīng)過的象限，進(jìn)而可得答案．
【詳解】解：∵，
∴一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、三、四象限，不經(jīng)過第二象限；
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的系數(shù)與其圖象的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題型，熟練掌握一次函數(shù)的圖象與其系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
6. 如圖，小明在地圖上量得，由此判斷幸福大街與平安大街互相平行，他判斷的依據(jù)是（ ）
A. 同位角相等，兩直線平行B. 內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行
C. 同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行D. 對(duì)頂角相等
【答案】B
【解析】
【分析】本題主要考查了平行線的判定，由，即可得出福大街與平安大街互相平行，即內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．
【詳解】解：∵，
∴福大街與平安大街互相平行，
判斷的依據(jù)是：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，
故選：B．
7. 如圖，小張想估測(cè)被池塘隔開的A，B兩處景觀之間的距離，他先在外取一點(diǎn)C，然后步測(cè)出的中點(diǎn)D，E，并步測(cè)出的長(zhǎng)約為，由此估測(cè)A，B之間的距離約為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查三角形的中位線的實(shí)際應(yīng)用，由題意，易得為的中位線，根據(jù)三角形的中位線定理，即可得出結(jié)果．
【詳解】解：∵點(diǎn)D，E，分別為的中點(diǎn)，
∴為的中位線，
∴；
故選：C．
8. 七巧板、九連環(huán)、華容道、魯班鎖是深受大家喜愛的益智玩具，現(xiàn)將1個(gè)七巧板，2個(gè)九連環(huán)，1個(gè)華容道，2個(gè)魯班鎖分別裝在6個(gè)不透明的盒子中（每個(gè)盒子裝1個(gè)），所有盒子除里面的玩具外均相同．從這6個(gè)盒子中隨機(jī)抽取1個(gè)盒子，抽中七巧板的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題主要考查了根據(jù)概率公式計(jì)算概率，分析可知6個(gè)益智玩具中有1個(gè)七巧板，根據(jù)概率公式計(jì)算即可．
【詳解】解：∵一共6個(gè)盒子里面有6個(gè)益智玩具，6個(gè)益智玩具中有1個(gè)七巧板，
∴從這6個(gè)盒子中隨機(jī)抽取1個(gè)盒子，抽中七巧板的概率是：，
故選：D．
9. 關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此題考查了根的判別式，根據(jù)根的情況確定參數(shù)的取值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程根的判別式，當(dāng)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，；當(dāng)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，；當(dāng)方程沒有實(shí)數(shù)根時(shí)，．
【詳解】解：∵關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
∴，
解得：，
故選：．
10. 數(shù)學(xué)家朱世杰所著的《四元玉鑒》是中國元代重要的數(shù)學(xué)著作之一，書中記載著這樣一個(gè)問題，大意是：999文錢買了周果和苦果共1000個(gè)，11文錢可買9個(gè)甜果，4文錢可買7個(gè)苦果，問甜果，苦果各買了多少個(gè)？設(shè)買了甜果x個(gè)，苦果y個(gè)，則可列方程組為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查根據(jù)實(shí)際問題列二元一次方程組，根據(jù)999文錢買了周果和苦果共1000個(gè)，11文錢可買9個(gè)甜果，4文錢可買7個(gè)苦果，列出方程組即可．
【詳解】解：設(shè)買了甜果x個(gè)，苦果y個(gè)，由題意，得：
；
故選A．
11. 如圖，在中，，，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得，再由三角形外角的性質(zhì)，即可求解．
【詳解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故選：B
12. 如圖1，在菱形中，，連接，點(diǎn)M從B出發(fā)沿方向以的速度運(yùn)動(dòng)至D，同時(shí)點(diǎn)N從B出發(fā)沿方向以的速度運(yùn)動(dòng)至C，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，的面積為，y與x的函數(shù)圖象如圖2所示，則菱形的邊長(zhǎng)為（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題主要考查菱形的性質(zhì)和二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)題意可知，，結(jié)合菱形的性質(zhì)得，過點(diǎn)M作于點(diǎn)H，則，那么，設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為a，則，那么點(diǎn)M和點(diǎn)N同時(shí)到達(dá)點(diǎn)D和點(diǎn)C，此時(shí)的面積達(dá)到最大值為，利用最大值即可求得運(yùn)動(dòng)時(shí)間，即可知菱形邊長(zhǎng)．
【詳解】解：根據(jù)題意知，，，
∵四邊形為菱形，，
∴，
過點(diǎn)M作于點(diǎn)H，連接交于點(diǎn)O，如圖，

則，
那么，的面積為，
設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為a，
∴，
∴點(diǎn)M和點(diǎn)N同時(shí)到達(dá)點(diǎn)D和點(diǎn)C，此時(shí)的面積達(dá)到最大值為，
∴，解得，（負(fù)值舍去），
∴．
故選：C．
二、填空題（本大題共4小題，每小題3分，共12分）
13. 因式分解______．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用乘法公式分解因式得出答案．
【詳解】解：（x﹣1）2．
故答案為：（x﹣1）2．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了公式法分解因式，正確應(yīng)用乘法公式是解題關(guān)鍵．
14. 如圖，四邊形為正方形，為等邊三角形，于點(diǎn)F，若，則______．
【答案】2
【解析】
【分析】本題考查正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形，根據(jù)正方形和等邊三角形的性質(zhì)，得到為含30度角的直角三角形，，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)求解即可．
【詳解】解：∵四邊形為正方形，為等邊三角形，，，
∴，
∴，
∴；
故答案為：2．
15. “輪動(dòng)發(fā)石車”是我國古代的一種投石工具，在春秋戰(zhàn)國時(shí)期被廣泛應(yīng)用，圖1是陳列在展覽館的仿真模型，圖2是模型驅(qū)動(dòng)部分的示意圖，其中，的半徑分別是1cm和10cm，當(dāng)順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)3周時(shí)，上的點(diǎn)P隨之旋轉(zhuǎn)，則______．
【答案】108
【解析】
【分析】本題主要考查了求弧長(zhǎng)．先求出點(diǎn)P移動(dòng)的距離，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算，即可求解．
【詳解】解：根據(jù)題意得：點(diǎn)P移動(dòng)的距離為，
∴，
解得：．
故答案為：108
16. 甲，乙兩人在相同條件下各射擊10次，兩人的成績(jī)（單位：環(huán)）如圖所示，現(xiàn)有以下三個(gè)推斷：
①甲的成績(jī)更穩(wěn)定；
②乙的平均成績(jī)更高；
③每人再射擊一次，乙的成績(jī)一定比甲高．其中正確的是______．（填序號(hào)）
【答案】①②##②①
【解析】
【分析】本題考查了平均數(shù)、方差的意義．解答本題的關(guān)鍵是掌握它們的定義：方差是用來衡量一組數(shù)據(jù)波動(dòng)大小的量，方差越大，表明這組數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越大，即波動(dòng)越大，數(shù)據(jù)越不穩(wěn)定；反之，方差越小，表明這組數(shù)據(jù)分布比較集中，各數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越小，即波動(dòng)越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定．根據(jù)方差、平均數(shù)的意義進(jìn)行判斷即可求出答案．
【詳解】解：根據(jù)圖象可知甲的波動(dòng)比乙小，則甲的成績(jī)更加穩(wěn)定，故①正確；根據(jù)圖象可知甲的平均成績(jī)穩(wěn)定在5以下，而乙的平均成績(jī)穩(wěn)定在7.5左右，則乙的平均成績(jī)更高，故②正確；如果每人再射擊一次，但乙的成績(jī)不一定比甲高，只能是可能性較大，因?yàn)橐业钠骄煽?jī)更高，但是波動(dòng)較大，故③錯(cuò)誤．
故答案為：①②．
三、解答題（本大題共12小題，共72分．解答時(shí)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）
17. 計(jì)算：．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查二次根式的運(yùn)算，先根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，進(jìn)行乘法運(yùn)算，再合并同類二次根式即可．
【詳解】解：原式
．
18. 解不等式組：
【答案】
【解析】
【分析】本題考查求不等式組的解集，先求出每一個(gè)不等式的解集，找到它們的公共部分，即可得出結(jié)果．
【詳解】解：
由①，得：；
由②，得：；
∴不等式組的解集為：．
19. 先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本題考查分式的化簡(jiǎn)求值，先通分計(jì)算括號(hào)內(nèi)，將除法變乘法，進(jìn)行約分化簡(jiǎn)后，再代值計(jì)算即可．
【詳解】解：原式
；
當(dāng)時(shí)，原式．
20. 如圖，反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，點(diǎn)B是反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，軸于點(diǎn)C，交一次函數(shù)的圖象于點(diǎn)D，連接．
（1）求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）當(dāng)時(shí)，求的面積．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】本題主要考查了一次函數(shù)與反例函數(shù)的綜合問題，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)以及一次函數(shù)的解析式．一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題，兩點(diǎn)之間的距離公式等知識(shí)，掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)以及一次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
（1）利用待定系數(shù)法即可求出反比例函數(shù)以及一次函數(shù)的解析式．
（2）由已知條件求出點(diǎn)C，點(diǎn)B，點(diǎn)D的坐標(biāo)，過點(diǎn)B作軸交一次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作與點(diǎn)F，利用兩點(diǎn)之間的距離公式分別求出，，的值，最后根據(jù)即可求出答案．
【小問1詳解】
解：∵反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，
∴，，
∴，，
∴反比例函數(shù)為：，一次函數(shù)的解析式為：．
【小問2詳解】
∵，
∴，
∵軸于點(diǎn)C，交一次函數(shù)的圖象于點(diǎn)D，
∴點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為4．點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為4．
∴，
∴，
∴
過點(diǎn)B作軸交一次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作與點(diǎn)F，
∴，點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為，
∴，
把代入，得，
∴，
∴點(diǎn)，
∴，
∴
21. 如圖，在中，，D是的中點(diǎn)，，，．
（1）求證：四邊形是矩形；
（2）若，求的長(zhǎng)．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】本題主要考查了矩形的判定以及性質(zhì)，三腰三角形三線合一的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
（1）由等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出，有平行線的性質(zhì)得出，結(jié)合已知條件可得出，即可證明四邊形是矩形．
（2）由（1）可知四邊形是矩形．由矩形的性質(zhì)得出，，，由已知條件可得出，由勾股定理求出，最后根據(jù)等面積法可得出，即可求出．
【小問1詳解】
證明：∵， D是BC的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴四邊形是矩形．
【小問2詳解】
由（1）可知四邊形矩形．
∴，，，
∵D是的中點(diǎn)，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴
即，
∴．
22. 在校園科技節(jié)期間，科普員為同學(xué)們進(jìn)行了水火箭的發(fā)射表演，圖1是某型號(hào)水火箭的實(shí)物圖，水火箭發(fā)射后的運(yùn)動(dòng)路線可以看作是一條拋物線．為了解水火箭的相關(guān)性能，同學(xué)們進(jìn)一步展開研究．如圖2建立直角坐標(biāo)系，水火箭發(fā)射后落在水平地面A處．科普員提供了該型號(hào)水火箭與地面成一定角度時(shí)，從發(fā)射到著陸過程中，水火箭距離地面的豎直高度與離發(fā)射點(diǎn)O的水平距離的幾組關(guān)系數(shù)據(jù)如下：
（1）根據(jù)上表，請(qǐng)確定拋物線的表達(dá)式；
（2）請(qǐng)計(jì)算當(dāng)水火箭飛行至離發(fā)射點(diǎn)O的水平距離為時(shí)，水火箭距離地面的豎直高度．
【答案】（1）拋物線的表達(dá)式
（2）水火箭距離地面的豎直高度米
【解析】
【分析】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，
根據(jù)題意可設(shè)拋物線的表達(dá)式，結(jié)合體圖標(biāo)可知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，代入求解即可；
由題意知，代入拋物線的表達(dá)式即可求得水火箭距離地面的豎直高度．
【小問1詳解】
解：根據(jù)題意可知拋物線過原點(diǎn)，設(shè)拋物線的表達(dá)式，
由表格得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，則，解得，
則拋物線的表達(dá)式，
【小問2詳解】
解：由題意知，則，
那么，水火箭距離地面的豎直高度米．
23. 觀察發(fā)現(xiàn)：勞動(dòng)人民在生產(chǎn)生活中創(chuàng)造了很多取材簡(jiǎn)單又便于操作的方法，正如木匠劉師傅的“木條畫直角法”，如圖1，他用木條能快速畫出一個(gè)以點(diǎn)A為頂點(diǎn)的直角，具體作法如下：
①本條的兩端分別記為點(diǎn)M，N，先將木條的端點(diǎn)M與點(diǎn)A重合，任意擺放木條后，另一個(gè)端點(diǎn)N的位置記為點(diǎn)B，連接；
②木條的端點(diǎn)N固定在點(diǎn)B處，將木條繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度，端點(diǎn)M的落點(diǎn)記為點(diǎn)C（點(diǎn)A，B，C不在同一條直線上）；
③連接并延長(zhǎng)，將木條沿點(diǎn)C到點(diǎn)B的方向平移，使得端點(diǎn)M與點(diǎn)B重合，端點(diǎn)N在延長(zhǎng)線上的落點(diǎn)記為點(diǎn)D；
④用另一根足夠長(zhǎng)的木條畫線，連接，，則畫出的是直角．
操作體驗(yàn)：（1）根據(jù)“觀察發(fā)現(xiàn)”中的信息重現(xiàn)劉師傅的畫法，如圖2，，請(qǐng)畫出以點(diǎn)A為頂點(diǎn)的直角，記作；
推理論證：（2）如圖1，小亮嘗試揭示此操作的數(shù)學(xué)原理，請(qǐng)你補(bǔ)全括號(hào)里的證明依據(jù)：
證明：，
與是等腰三角形．
．（依據(jù)1______）
．
，（依據(jù)2______）
，
．
依據(jù)1：______；依據(jù)2：______；
拓展探究：（3）小亮進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，用這種方法作直角存在一定的誤差，用平時(shí)學(xué)習(xí)的尺規(guī)作圖的方法可以減少誤差．如圖3，點(diǎn)O在直線l上，請(qǐng)用無刻度的直尺和圓規(guī)在圖3中作出一個(gè)以O(shè)為頂點(diǎn)的直角，記作，使得直角邊（或）在直線l上．（保留作圖痕跡，不寫作法）
【答案】（1）見詳解，（2）等邊對(duì)等角（等腰三角形的性質(zhì)）；三角形內(nèi)角和定理；（3）見詳解
【解析】
【分析】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理以及尺規(guī)作圖的作垂線，
（1）根據(jù)“觀察發(fā)現(xiàn)”延長(zhǎng)至點(diǎn)D，且，連接即可知以點(diǎn)A為頂點(diǎn)的為直角；
（2）根據(jù)作圖可知利用了等邊對(duì)等角，以及三角形內(nèi)角和定理；
（3）根據(jù)過定點(diǎn)作已知直線的垂線的方法作圖即可．
【詳解】解：[操作體驗(yàn)] （1）

[推理論證]（2）依據(jù)1：等邊對(duì)等角（等腰三角形的性質(zhì)）；依據(jù)2：三角形內(nèi)角和定理；
故答案為：等邊對(duì)等角（等腰三角形的性質(zhì)）；三角形內(nèi)角和定理；
[拓展探究]（3）
24. 為落實(shí)“雙減”政策，培養(yǎng)德智體美勞全面發(fā)展的時(shí)代新人，某校組織調(diào)研學(xué)生體育和美育發(fā)展水平，現(xiàn)從七年級(jí)共180名學(xué)生中隨機(jī)抽取20名學(xué)生，對(duì)每位學(xué)生的體育和美育水平進(jìn)行測(cè)評(píng)后按百分制分?jǐn)?shù)量化，并進(jìn)行等級(jí)評(píng)定（成績(jī)用x表示，分為四個(gè)等級(jí)，包括優(yōu)秀：；良好：；合格：；待提高：）．對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，描述和分析，部分信息如下．
信息一：體育成績(jī)的人數(shù)（頻數(shù)）分布圖如下．
信息二：美育成績(jī)的人數(shù)（頻數(shù)）分布表如下．
信息三：20位學(xué)生的體育成績(jī)和美育成績(jī)得分統(tǒng)計(jì)如下（共20個(gè)點(diǎn)）．
根據(jù)以上信息，回答下列問題：
（1）填空：______；
（2）下列結(jié)論正確的是______；（填序號(hào)）
①體育成績(jī)低于80分的人數(shù)占抽取人數(shù)的；
②參與測(cè)評(píng)的20名學(xué)生美育成績(jī)的中位數(shù)對(duì)應(yīng)的等級(jí)是“合格”；
③在信息三中，相比于點(diǎn)A所代表的學(xué)生，點(diǎn)B所代表的學(xué)生的體育水平與其大致相同，但美育水平還存在一定差距，需要進(jìn)一步提升；
（3）請(qǐng)結(jié)合以上信息，估計(jì)七年級(jí)全體學(xué)生中體育和美育兩項(xiàng)成績(jī)均屬于“優(yōu)秀”等級(jí)的人數(shù)．
【答案】（1）4 （2）①③
（3）18
【解析】
【分析】本題主要考查了條形統(tǒng)計(jì)圖的相關(guān)知識(shí)，個(gè)體占比，中位數(shù)定義，用樣本估計(jì)總體等知識(shí)，掌握這些知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
（1）用樣本總體減去良好成績(jī)的人生，合格成績(jī)的人數(shù)，待提高成績(jī)的人數(shù)即可得出答案．
（2）①用體育成績(jī)低于80分的人數(shù)8除以樣本總體20即可得出判斷．②用中位數(shù)的定義判斷即可．③根據(jù)坐標(biāo)得出點(diǎn)A和點(diǎn)B各自的美育和體育的成績(jī)判斷即可．
（3）用樣本估計(jì)總體即可．
【小問1詳解】
解：，
故答案為：4．
【小問2詳解】
①根據(jù)20位學(xué)生的體育成績(jī)和美育成績(jī)得分統(tǒng)計(jì)圖可知：
體育成績(jī)低于80分的人數(shù)有8人，
∴體育成績(jī)低于80分的人數(shù)有占抽取人數(shù)的，故①正確．
②∵一共有20人，成績(jī)從小到大排序，中位數(shù)為第10位和第11位的平均數(shù)，
∴中位數(shù)位于之間，
即參與測(cè)評(píng)的20名學(xué)生美育成績(jī)的中位數(shù)對(duì)應(yīng)的等級(jí)是“良好”，故②錯(cuò)誤．
③在信息三中，點(diǎn)A的美育成績(jī)?yōu)?0，體育成績(jī)?yōu)?0，點(diǎn)B的美育成績(jī)?yōu)?0，體育成績(jī)?yōu)?0，所以相比于點(diǎn)A所代表的學(xué)生，點(diǎn)B所代表的學(xué)生的體育水平與其大致相同，但美育水平還存在一定差距，需要進(jìn)一步提升，故③正確，
故有①③正確，
故答案為①③．
【小問3詳解】
根據(jù)信息三，可知：美育和體育成績(jī)都在90分以及以上的只有2人．
故七年級(jí)全體學(xué)生中體育和美育兩項(xiàng)成績(jī)均屬于“優(yōu)秀”等級(jí)的人數(shù)有人．
25. 單擺是一種能夠產(chǎn)生往復(fù)擺動(dòng)的裝置，某興趣小組利用擺球和擺線進(jìn)行與單擺相關(guān)的實(shí)驗(yàn)探究，并撰寫實(shí)驗(yàn)報(bào)告如下．
解決問題：根據(jù)以上信息，求長(zhǎng)．（結(jié)果精確到）
參考數(shù)據(jù)：，．
【答案】的長(zhǎng)為
【解析】
【分析】本題考查的是解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，先求解，再求解，從而可得答案；
【詳解】解：∵，，；
∴，
，
∴，
∵，，
∴，
∴；
∴的長(zhǎng)為；
26. 如圖，內(nèi)接于，為的直徑，點(diǎn)D為上一點(diǎn)，，延長(zhǎng)至E，使得．
（1）求證：是的切線；
（2）若，求的長(zhǎng)．
【答案】（1）見解析 （2）
【解析】
【分析】（1）連接，易得，圓周角定理得到，進(jìn)而得到，證明，推出，進(jìn)而得到，即可得證；
（2）等角的三角函數(shù)相等，得到，證明，得到，進(jìn)行求解即可．
【小問1詳解】
解：連接，則：，
∴，
∵為的直徑，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即：，
∴，
∵是的半徑，
∴是的切線；
【小問2詳解】
∵，
∴，
由（1）知：，
∴，
由（1）知：，
又∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，即：，
解得：（舍去）或，
∴
【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，切線的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，并靈活運(yùn)用，是解題的關(guān)鍵．
27. 綜合與實(shí)踐
【問題情境】在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐課上，同學(xué)們以特殊三角形為背景，探究動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的幾何問題，如圖，在中，點(diǎn)M，N分別為，上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），且．
【初步嘗試】（1）如圖1，當(dāng)為等邊三角形時(shí)，小顏發(fā)現(xiàn)：將繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，則，請(qǐng)思考并證明：
【類比探究】（2）小梁嘗試改變?nèi)切蔚男螤詈筮M(jìn)一步探究：如圖2，在中，，，于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，將繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，．試猜想四邊形的形狀，并說明理由；
【拓展延伸】（3）孫老師提出新的探究方向：如圖3，在中，，，連接，，請(qǐng)直接寫出的最小值．
【答案】（1）見詳解，（2）四邊形為平行四邊形，（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)等邊三角的性質(zhì)可得，再由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，從而可得，證明，即可得證；
（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，從而可得，由平行線的判定可得，證明，可得，利用等量代換可得，再由平行線的判定可得，根據(jù)平行四邊形的判定即可得證；
（3）過點(diǎn)A作，使，連接、，，延長(zhǎng)，過點(diǎn)G作于點(diǎn)O，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可證，證明，可得，從而可得當(dāng)點(diǎn)G、M、C三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，最小值為的值，根據(jù)平行線的性質(zhì)和平角的定義可得，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求得，從而可得，再利用勾股定理求解即可．
【詳解】（1）證明∵為等邊三角形，
∴，
∵繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：四邊形為平行四邊形，理由如下，
∵，，
∴，
∵繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，
∴，，
∴，
則，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
則四邊形為平行四邊形；
（3）解：如圖，過點(diǎn)A作，使，連接、，，延長(zhǎng)，過點(diǎn)G作于點(diǎn)O，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴當(dāng)點(diǎn)G、M、C三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，最小值為的值，
∵，
∴ ，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴的最小值為．
【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、勾股定理、平行四邊形的判定、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)定理得出當(dāng)點(diǎn)G、M、C三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，最小值為的值是解題的關(guān)鍵．
28. 在平面直角坐標(biāo)系中，給出如下定義：點(diǎn)P是圖形W外一點(diǎn)，點(diǎn)Q在的延長(zhǎng)線上，使得，如果點(diǎn)Q在圖形W上，則稱點(diǎn)P是圖形W的“延長(zhǎng)2分點(diǎn)”，例如：如圖1，是線段外一點(diǎn)，在的延長(zhǎng)線上，且，因?yàn)辄c(diǎn)Q在線段上，所以點(diǎn)P是線段的“延長(zhǎng)2分點(diǎn)”．
（1）如圖1，已知圖形：線段，，，在中，______是圖形的“延長(zhǎng)2分點(diǎn)”；
（2）如圖2，已知圖形：線段，，，若直線上存在點(diǎn)P是圖形的“延長(zhǎng)2分點(diǎn)”，求b的最小值：
（3）如圖3，已知圖形：以為圓心，半徑為1的，若以，，為頂點(diǎn)的等腰直角三角形上存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)P是圖形的“延長(zhǎng)2分點(diǎn)”．請(qǐng)直接寫出t的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，畫出圖象，進(jìn)行判斷即可；
（2）作以原點(diǎn)為位似中心，位似比為的位似圖形，根據(jù)直線上存在點(diǎn)P是圖形的“延長(zhǎng)2分點(diǎn)”，得到直線與有交點(diǎn)，進(jìn)而得到當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，值最小，進(jìn)行求解即可；
（3）作以原點(diǎn)為位似中心，位似比為的位似，得到與有交點(diǎn)，求出與相切以及與相切，兩種情況求出的臨近值，即可得出結(jié)果．
【小問1詳解】
解：作線段以原點(diǎn)為位似中心，位似比為位似圖形，
∵，，
∴，，
∵點(diǎn)是圖形的“延長(zhǎng)2分點(diǎn)”，
∴點(diǎn)在線段上，
∵線段上，
∴是圖形“延長(zhǎng)2分點(diǎn)”；
故答案為：；
【小問2詳解】
作以原點(diǎn)為位似中心，位似比為的位似圖形，如圖，
∵，，
∴，，
∵直線上存在點(diǎn)P是圖形的“延長(zhǎng)2分點(diǎn)”，
∴直線與有交點(diǎn)，
∴當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，值最小，
把，代入，得：，
∴的最小值為；
【小問3詳解】
作以原點(diǎn)為位似中心，位似比為的位似，
∵，，，
∴，，，
∵等腰直角三角形上存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)P是圖形的“延長(zhǎng)2分點(diǎn)”，
∴當(dāng)與有交點(diǎn)時(shí)，滿足題意，
當(dāng)與相切時(shí)，如圖，則：或，
∴時(shí)，滿足題意；
當(dāng)與相切時(shí)，且切點(diǎn)為，連接，則：，

∵為等腰直角三角形，
∴為等腰直角三角形，
∵，，，
∴軸，
∴，
∵以為圓心，半徑為1的，
∴點(diǎn)在直線上，，
∴，
∴，
∴或，
∴；
綜上：或．
【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與圖形變換—位似，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，切線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，難度大，屬于壓軸題，理解并掌握新定義，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．水平距離
0
3
4
10
15
20
22
27
豎直高度
0
3.24
4.16
8
9
8
7.04
3.24
分組
人數(shù)
m
7
2
7
實(shí)驗(yàn)主題
探究擺球運(yùn)動(dòng)過程中高度的變化
實(shí)驗(yàn)用具
擺球，擺線，支架，攝像機(jī)等
實(shí)驗(yàn)說明
如圖1，在支架的橫桿點(diǎn)O處用擺線懸掛一個(gè)擺球，將擺球拉高后松手，擺球開始往復(fù)運(yùn)動(dòng)．（擺線的長(zhǎng)度變化忽略不計(jì)）
如圖2，擺球靜止時(shí)的位置為點(diǎn)A，拉緊擺線將擺球拉至點(diǎn)B處，，，；當(dāng)擺球運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C時(shí)，，．（點(diǎn)O，A，B，C，D，E在同一平面內(nèi)）
實(shí)驗(yàn)圖示

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