注意事項：
1．考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填涂在試卷和答題卡的規(guī)定位置。
2．考生要將答案寫在答題卡上，在試卷上答題一律無效?？荚嚱Y(jié)束后，本試卷和答題卡一并交回
3．本試卷滿分120分．考試時間120分鐘
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1. 的相反數(shù)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查相反數(shù)，根據(jù)“只有符號相反的兩個數(shù)互為相反數(shù)”進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：的相反數(shù)是，
故選：A．
2. 如圖，直線和被直線和所截，，，則的度數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定方法和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．先利用判定，再利用對頂角的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)即可求解．
【詳解】解：∵，
∴，
∴,
∵，
∴，
故選：B．
3. 下列運算正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了積乘方與冪的乘方、完全平方公式、合并同類項，熟練掌握運算法則是解題關(guān)鍵．根據(jù)積的乘方與冪的乘方、完全平方公式、合并同類項法則逐項判斷即可得．
【詳解】解：A、，則此項錯誤，不符合題意；
B、，則此項錯誤，不符合題意；
C、，則此項正確，符合題意；
D、與不是同類項，不可合并，則此項錯誤，不符合題意；
故選：C．
4. 如圖所示的幾何體，其主視圖是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了主視圖“從正面觀察物體所得到的視圖是主視圖”，熟記主視圖的定義是解題關(guān)鍵．
根據(jù)主視圖的定義求解即可得．
【詳解】解：這個幾何體的主視圖是
故選：A．
5. 我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《田畝比類乘除算法》中記錄了這樣一個問題：“直田積八百六十四步，只云闊與長共六十步，問闊及長各幾步？”其大意是：矩形面積是864平步，其中寬與長的和為60步，問寬和長各幾步？若設(shè)長為x步，則下列符合題意的方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了列一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．先求出寬為步，再利用矩形的面積公式列出方程即可得．
【詳解】解：由題意可知，寬為步，
則可列方程為，
故選：C．
6. 為了解某小區(qū)居民的家庭月平均用水量的情況，物業(yè)公司從該小區(qū)1500戶家庭中隨機(jī)抽取150戶家庭進(jìn)行調(diào)查，統(tǒng)計了他們的月平均用水量，將收集的數(shù)據(jù)整理成如下的統(tǒng)計圖表：
根據(jù)統(tǒng)計圖表得出以下四個結(jié)論，其中正確的是（ ）
A. 本次調(diào)查的樣本容量是1500
B. 這150戶家庭中月平均用水量為的家庭所占比例是
C. 在扇形統(tǒng)計圖中，月平均用水量為的家庭所對應(yīng)圓心角的度數(shù)是
D. 若以各組組中值（各小組的兩個端點的數(shù)的平均數(shù)）代表各組的實際數(shù)據(jù)，則這150戶家庭月平均用水量的眾數(shù)是12
【答案】D
【解析】
【分析】本題主要考查統(tǒng)計的應(yīng)用，熟練掌握利用統(tǒng)計圖表進(jìn)行數(shù)據(jù)分析的方法是解決問題的關(guān)鍵．根據(jù)統(tǒng)計圖表中的數(shù)據(jù)對選項中的每個結(jié)論進(jìn)行判斷即可找出正確答案．
【詳解】解：本次調(diào)查的樣本容量是150，故A不正確；
，故B不正確；
96°，故C不正確；
以各組組中值（各小組的兩個端點的數(shù)的平均數(shù)）代表各組的實際數(shù)據(jù)，組的實際數(shù)據(jù)為12，這組的數(shù)量最多為40戶，所以12是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)，即這150戶家庭月平均用水量的眾數(shù)是12，故D正確．
故選：D．
7. 如圖，正四邊形和正五邊形內(nèi)接于，AD和相交于點，則的度數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了圓內(nèi)接正多邊形的性質(zhì)，圓周角定理，三角形內(nèi)角和定理，對頂角的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，連接，設(shè)CD與相交于點，由圓的內(nèi)接正多邊形的性質(zhì)可得，，即得，即可由圓周角定理得，進(jìn)而由三角形內(nèi)角和定理得，再由直角三角形兩銳角互余得到，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：連接，設(shè)CD與相交于點，
∵正四邊形和正五邊形內(nèi)接于，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故選：．
8. 在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)和的圖象大致如圖所示，則函數(shù)的圖象大致為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的圖象，熟練掌握各函數(shù)的圖象特點是解題關(guān)鍵．先根據(jù)一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象可得，，再根據(jù)二次函數(shù)的圖象特點即可得．
【詳解】解：∵一次函數(shù)圖象經(jīng)過第一、二、四象限，
∴，即，
∵反比例函數(shù)的圖象位于第二、四象限，
∴，即，
∴函數(shù)的開口向下，與軸的交點位于軸的正半軸，對稱軸為直線，
故選：D．
9. 如圖，在中，，將沿BD翻折得到，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，點為AB的中點，連接．若，則的面積是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，線段垂直平分線的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，四點共圓，圓周角定理，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，三角形的面積，連接與BD相交于點，連接，由，可得，進(jìn)而由折疊可得，，得到，即得，即可得為等腰直角三角形，即得，，又由旋轉(zhuǎn)得，，，可得，，，即可得為等邊三角形，得到，，進(jìn)而得，，即得，可得，得到，即可得，由得四點共圓，即得，可得，由此可得，，得到，最后根據(jù)即可求解，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：連接與BD相交于點，連接，
∵，
∴，
由折疊可得，，
∴，
∴，
∴為等腰直角三角形，
∴，，
又由旋轉(zhuǎn)得，，，
∴，，，
∴為等邊三角形，
∴，，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四點共圓，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故選：．
10. 下列說法中，正確的個數(shù)有（ ）
①二次函數(shù)的圖象經(jīng)過兩點，m，n是關(guān)于x的元二次方程的兩個實數(shù)根，且，則恒成立．
②在半徑為r的中，弦互相垂直于點P，當(dāng)時，則．
③為平面直角坐標(biāo)系中的等腰直角三角形且，點A的坐標(biāo)為，點B的坐標(biāo)為，點C是反比例函數(shù)的圖象上一點，則．
④已知矩形的一組鄰邊長是關(guān)于x的一元二次方程的兩個實數(shù)根，且矩形的周長值與面積值相等，則矩形的對角線長是．
A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個
【答案】C
【解析】
【分析】利用二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系及二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可判斷①；過點O作，垂足分別為M，N，連接，先證明四邊形是矩形，再利用勾股定理，垂徑定理求解即可判斷②；先證明，進(jìn)而得出點C的坐標(biāo)，即可求解，進(jìn)而判斷③；先由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得出的值，再根據(jù)題意得出一元二次方程，求出a的值，進(jìn)而求解即可判斷④．
【詳解】∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過兩點，
∴當(dāng)時，，
∵m，n是關(guān)于x的元二次方程的兩個實數(shù)根，且，
∴，故①正確；
如圖，過點O作，垂足分別為M，N，連接，
∴M、N分別為的中點，，
∵弦互相垂直，
∴四邊形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴，故②正確；
當(dāng)點C在第一象限時，過點C作于點D，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵點A的坐標(biāo)為1,0，點B的坐標(biāo)為，
∴，
∴，
∴
∵點C是反比例函數(shù)的圖象上一點，
∴；
當(dāng)點C在第二象限時，同理可得
∴；
綜上，或，故③錯誤；
設(shè)矩形兩邊分別為m，n，
∵矩形的一組鄰邊長是關(guān)于x的一元二次方程的兩個實數(shù)根，且矩形的周長值與面積值相等，
∴，
∴，
解得（負(fù)舍），
∴，
∵矩形對角線，故④正確；
綜上，正確的個數(shù)有3個，
故選：C．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，勾股定理，垂徑定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，反比例函數(shù)的解析式，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系等，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．
二、填空題（本大題共6小題，每題3分，共18分，本題要求把正確結(jié)果填在答題卡規(guī)定的橫線上，不需要解答過程）
11. 2023年呼和浩特市政府工作報告中指出，我市主要經(jīng)濟(jì)指標(biāo)增速達(dá)到十年來最好水平．地區(qū)生產(chǎn)總值完成3802億元．?dāng)?shù)據(jù)“3802億”用科學(xué)記數(shù)法表示為_________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了科學(xué)記數(shù)法“將一個數(shù)表示成的形式，其中，為整數(shù)，這種記數(shù)的方法叫做科學(xué)記數(shù)法”，熟記科學(xué)記數(shù)法的定義是解題關(guān)鍵．確定的值時，要看把原數(shù)變成時，小數(shù)點移動了多少位，的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的定義即可得．
【詳解】解：3802億，
故答案為：．
12. 如圖，有4張分別印有卡通西游圖案的卡片：唐僧、孫悟空、豬八戒、沙悟凈．現(xiàn)將這4張卡片（除圖案不同外，其余均相同）放在不透明的盒子中，攪勻后從中隨機(jī)取出1張卡片，然后放回并攪勻，再從中隨機(jī)取出1張卡片，則兩次取到相同圖案的卡片的概率為_________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了利用列舉法求概率，熟練掌握列舉法是解題關(guān)鍵．先畫出樹狀圖，從而可得隨機(jī)兩次取出卡片的所有等可能的結(jié)果，再找出兩次取到相同圖案的卡片的結(jié)果，然后利用概率公式求解即可得．
【詳解】解：將這4張卡片記為，畫出樹狀圖如下：
由圖可知，隨機(jī)兩次取出卡片的所有等可能的結(jié)果共有16種，其中，兩次取到相同圖案的卡片的結(jié)果有4種，
則兩次取到相同圖案的卡片的概率為，
故答案為：．
13. 如圖是平行四邊形紙片，，點M為的中點，若以M為圓心，為半徑畫弧交對角線于點N，則________度；將扇形紙片剪下來圍成一個無底蓋的圓錐（接縫處忽略不計），則這個圓錐的底面圓半徑為________．
【答案】 ①. 40 ②. 2
【解析】
【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、弧長公式、圓錐等知識，熟練掌握弧長公式是解題關(guān)鍵．先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，最后根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得的度數(shù)；先利用弧長公式求出扇形的弧長，再根據(jù)圓錐的底面圓的周長等于扇形的弧長求解即可得．
【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，，
∴，
∵，
∴，
由圓性質(zhì)可知，，
∴，
∴，
∴扇形的弧長為，
∴圓錐的底面圓半徑為，
故答案為：40；2．
14. 關(guān)于x的不等式的解集是_________，這個不等式的任意一個解都比關(guān)于x的不等式的解大，則m的取值范圍是_________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本題考查了解一元一次不等式，熟練掌握不等式的解法是解題關(guān)鍵．先分別求出不等式的解集，再根據(jù)題意列出關(guān)于的不等式，求解即可得．
【詳解】解：，
，
，
．
解不等式得：，
∵不等式任意一個解都比關(guān)于的不等式的解大，
∴，
解得，
故答案為：；．
15. 2024年春晚吉祥物“龍辰辰”，以十二生肖龍的專屬漢字“辰”為名．某廠家生產(chǎn)大小兩種型號的“龍辰辰”，大號“龍辰辰”單價比小號“龍辰辰”單價貴15元，且用2400元購進(jìn)小號“龍辰辰”的數(shù)量是用2200元購進(jìn)大號“龍辰辰”數(shù)量的1.5倍，則大號“龍辰辰”的單價為_________元．某網(wǎng)店在該廠家購進(jìn)了兩種型號的“龍辰辰”共60個，且大號“龍辰辰”的個數(shù)不超過小號“龍辰辰”個數(shù)的一半，小號“龍辰辰”售價為60元，大號“龍辰辰”的售價比小號“龍辰辰”的售價多30%．若兩種型號的“龍辰辰”全部售出，則該網(wǎng)店所獲最大利潤為_________元．
【答案】 ①. 55 ②. 1260
【解析】
【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用、一元一次不等式組的應(yīng)用、一次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．設(shè)大號“龍辰辰”的單價為元，則小號“龍辰辰”的單價為元，根據(jù)題意建立分式方程，解方程即可得；設(shè)購進(jìn)小號“龍辰辰”的數(shù)量為個，則購進(jìn)大號“龍辰辰”的數(shù)量為個，先求出的取值范圍，再設(shè)該網(wǎng)店所獲利潤為元，建立關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，利用一次函數(shù)的性質(zhì)求解即可得．
【詳解】解：設(shè)大號“龍辰辰”的單價為元，則小號“龍辰辰”的單價為元，
由題意得：，
解得，
經(jīng)檢驗，是所列分式方程的解，
所以大號“龍辰辰”的單價為55元，小號“龍辰辰”的單價為40元．
設(shè)購進(jìn)小號“龍辰辰”的數(shù)量為個，則購進(jìn)大號“龍辰辰”的數(shù)量為個，
由題意得：，
解得，
設(shè)該網(wǎng)店所獲利潤為元，
則，
由一次函數(shù)的性質(zhì)可知，在內(nèi)，隨的增大而減小，
則當(dāng)時，取得最大值，最大值為，
即該網(wǎng)店所獲最大利潤為1260元，
故答案為：55；1260．
16. 如圖，正方形的面積為50，以為腰作等腰，平分交于點G，交的延長線于點E，連接．若，則_________．
【答案】
【解析】
【分析】過點作于點，連接，交于點，先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理求出的長，再求出，從而可得，，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出的長，最后在和中，利用勾股定理求解即可得．
【詳解】解：如圖，過點作于點，連接，交于點，
∵正方形的面積為50，
∴，，
∵，，
∴，平分，，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，，
∴，
∴，
又∵，平分，
∴垂直平分，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
設(shè)OG=xx>0，則，
在和中，，
即，
解得，
即，
則，
故答案為：．
【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、線段垂直平分線的判定與性質(zhì)、勾股定理、二次根式的化簡等知識，熟練掌握等腰三角形的三線合一是解題關(guān)鍵．
三、解答題（本大題共8小題，滿分72分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
17. （1）計算：
（2）解方程：
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本題考查了正切、零指數(shù)冪、實數(shù)的絕對值、化簡二次根式、解分式方程，熟練掌握運算法則和分式方程的解法是解題關(guān)鍵．
（1）先計算正切、零指數(shù)冪、化簡絕對值和二次根式，再計算乘法與加減法即可得；
（2）先化成整式方程，再計算一元一次方程，最后進(jìn)行檢驗即可得．
【詳解】解：（1）原式
；
（2），
，
，
，
，
，
，
經(jīng)檢驗，是原方程的解，
所以方程的解是．
18. 如圖，，平分，．
（1）求證：四邊形是平行四邊形；
（2）過點B作于點G，若，請直接寫出四邊形的形狀．
【答案】（1）證明見詳解
（2）四邊形為正方形
【解析】
【分析】（1）由角平分線的定義可得出，由平行線的性質(zhì)可得出，等量代換可得出，利用證明 ，由全等三角形的性質(zhì)得出，結(jié)合已知條件可得出四邊形是平行四邊形．
（2）由已知條件可得出，由平行四邊形的性質(zhì)可得出，，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得出，，由全等三角形的性質(zhì)可得出，等量代換可得出， 即可得出四邊形為正方形．
【小問1詳解】
證明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
由∵，
∴四邊形是平行四邊形．
【小問2詳解】
四邊形是正方形．
過點B作于點G，
∴，
∵四邊形是平行四邊形．
∴，，
∴，，
∴，，
由（1），
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四邊形是正方形．
【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定以及性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)和判定，正方形的判定，以及平行線的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定以及性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)和判定，正方形的判定定理是解題的關(guān)鍵．
19. 近年來，近視的青少年越來越多且年齡越來越小·研究表明：這與學(xué)生長期不正確的閱讀、書寫姿勢和長時間使用電子產(chǎn)品等有很大的關(guān)系，呼和浩特市某校為了解兒年級學(xué)生右眼視力的情況，計劃采用抽樣調(diào)查的方式來估計該校九年級840名學(xué)生的右眼視力情況．制定以下兩種抽樣方案：
①從九年級的一個班級中隨機(jī)抽取42名學(xué)生（九年級每個班級至少有50名學(xué)生）；
②從九年級中隨機(jī)抽取42名學(xué)生．
你認(rèn)為更合理的方案是_________（填“①”或“②”）
該校用合理的方案抽取了42名學(xué)生進(jìn)行右眼視力檢查，檢查結(jié)果如下：
4.5 4.8 4.9 4.4 4.5 4.2 5.0
4.0 4.2 4.3 5.0 4.2 4.4 4.9
4.2 4.4 4.5 4.6 4.8 4.9 4.1
5.0 4.9 4.8 4.7 4.5 4.8 5.0
4.9 4.5 4.3 4.9 4.3 5.0 4.9
4.8 4.9 5.0 4.1 4.9 4.3 4.2
整理上面的數(shù)據(jù)得到如下表格：
請根據(jù)所給信息，解答下列問題：
（1）_________，_________；
（2）計算該樣本的平均數(shù)；（結(jié)果精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：）
（3）若該校九年級小明同學(xué)右眼視力為4.5，請你用調(diào)查得到的數(shù)據(jù)中位數(shù)推測他在九年級全體學(xué)生中的右眼視力狀況；
（4）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，估計該校九年級學(xué)生右眼視力在4.7及4.7以上的學(xué)生人數(shù)．
【答案】（1）②，5，9
（2）4.6 （3）小明同學(xué)右眼視力在九年級全體學(xué)生中屬于視力較弱偏下游．接近中位數(shù)．
（4）人
【解析】
【分析】（1）根據(jù)抽樣調(diào)查的特點回答即可，從檢查結(jié)果的數(shù)據(jù)可得出m，n的值
（2）根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的計算求解即可．
（3）根據(jù)中位數(shù)的定義求出中位數(shù)，然后和小明比較即可得出答案．
（4）用樣本估計總體即可．
【小問1詳解】
解：認(rèn)為更合理的方案是②，因為抽樣調(diào)查應(yīng)具有廣泛性和可靠性.
從檢查結(jié)果的數(shù)據(jù)可知視力為的人數(shù)有5人，視力為的人數(shù)有9人，
故，
故答案為∶ ②5，9．
【小問2詳解】
解：樣本的平均數(shù)為：
【小問3詳解】
解：∵一共有42名學(xué)生，且第21位和22位的數(shù)據(jù)為：4.6和4.7，
∴中位數(shù)為：，
∵小明同學(xué)右眼視力為4.5，且
∴小明同學(xué)右眼視力在九年級全體學(xué)生中屬于視力較弱偏下游．接近中位數(shù)．
【小問4詳解】
解：，
故該校九年級學(xué)生右眼視力在4.7及4.7以上的學(xué)生人數(shù)有420人．
【點睛】本題主要考查了抽樣調(diào)查的特點，加權(quán)平均數(shù)，中位數(shù)，用樣本估計總體等知識，掌握加權(quán)平均數(shù)，中位數(shù)，用樣本估計總體是解題的關(guān)鍵．
20. 實驗是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的重要途徑．如圖是小亮同學(xué)安裝的化學(xué)實驗裝置，安裝要求為試管口略向下傾斜，鐵夾應(yīng)固定在距試管口的三分之一處．現(xiàn)將左側(cè)的實驗裝置圖抽象成右側(cè)示意圖，已知試管，試管傾斜角為．
（1）求試管口B與鐵桿的水平距離的長度；（結(jié)果用含非特殊角的三角函數(shù)表示）
（2）實驗時，導(dǎo)氣管緊靠水槽壁，延長交的延長線于點F，且于點N（點C，D，N，F(xiàn)在一條直線上），經(jīng)測得：，求線段的長度．（結(jié)果用含非特殊角的三角函數(shù)表示）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，通過作輔助線構(gòu)造直角三角形，掌握直角三角形中的邊角關(guān)系是解題關(guān)鍵．
（1）先求出，再在中，利用余弦的定義求解即可得；
（2）過點作于點，過點作于點，先解直角三角形可得的長，從而可得的長，再判斷出是等腰直角三角形，從而可得的長，最后根據(jù)求解即可得．
【小問1詳解】
解：∵，
∴，
由題意可知，，
在中，，
∴，
答：試管口與鐵桿的水平距離的長度．
【小問2詳解】
解：如圖，過點作于點，過點作于點，
則四邊形和四邊形都是矩形，
∴，
在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
答：線段的長度為．
21. 某研究人員對分別種植在兩塊試驗田中的“豐收1號”和“豐收2號”兩種小麥進(jìn)行研究，兩塊試驗田共產(chǎn)糧，種植“豐收1號”小麥的試驗田產(chǎn)糧量比種植“豐收2號”小麥的試驗田產(chǎn)糧量的1.2倍少，其中“豐收1號”小麥種植在邊長為的正方形去掉一個邊長為的正方形蓄水池后余下的試驗田中，“豐收2號”小麥種植在邊長為的正方形試驗田中．
（1）請分別求出種植“豐收1號”小麥和“豐收2號”小麥兩塊試驗田的產(chǎn)糧量；
（2）哪種小麥的單位面積產(chǎn)量高？高的單位面積產(chǎn)量是低的單位面積產(chǎn)量的多少倍？
【答案】（1）種植“豐收1號”小麥試驗田的產(chǎn)糧量為，種植“豐收2號”小麥試驗田的產(chǎn)糧量為
（2）“豐收2號”小麥試驗田單位面積產(chǎn)量高；倍
【解析】
【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用、不等式的性質(zhì)、分式除法的應(yīng)用，正確建立方程和熟練掌握分式除法的應(yīng)用是解題關(guān)鍵．
（1）設(shè)種植“豐收1號”小麥試驗田的產(chǎn)糧量為，則種植“豐收2號”小麥試驗田的產(chǎn)糧量為，根據(jù)題意建立一元一次方程，解方程即可得；
（2）先分別求出兩塊試驗田的面積，再求出單位面積產(chǎn)量，然后根據(jù)不等式的性質(zhì)和分式的除法求解即可得．
【小問1詳解】
解：設(shè)種植“豐收1號”小麥試驗田的產(chǎn)糧量為，則種植“豐收2號”小麥試驗田的產(chǎn)糧量為，
由題意得：，
解得，
則，
答：種植“豐收1號”小麥試驗田的產(chǎn)糧量為，種植“豐收2號”小麥試驗田的產(chǎn)糧量為．
【小問2詳解】
解：由題意得：“豐收1號”小麥試驗田的面積為，“豐收2號”小麥試驗田的面積為，
則“豐收1號”小麥試驗田的單位面積產(chǎn)量為，“豐收2號”小麥試驗田的單位面積產(chǎn)量為，
∵，
∴，
∴，
∴，
所以“豐收2號”小麥試驗田的單位面積產(chǎn)量高．
，
所以高的單位面積產(chǎn)量是低的單位面積產(chǎn)量的倍．
22. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與x軸、y軸分別交于A-2,0，兩點．
（1）求一次函數(shù)的解析式；
（2）已知變量的對應(yīng)關(guān)系如下表已知值呈現(xiàn)的對應(yīng)規(guī)律．
寫出與x的函數(shù)關(guān)系式，并在本題所給的平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的大致圖象；
（3）一次函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象相交于C，D兩點（點C在點D的左側(cè)），點C關(guān)于坐標(biāo)原點的對稱點為點E，點P是第一象限內(nèi)函數(shù)圖象上的一點，且點P位于點D的左側(cè)，連接，，．若的面積為15，求點P的坐標(biāo)．
【答案】（1）
（2），見解析
（3）點的坐標(biāo)為
【解析】
【分析】本題考查了求一次函數(shù)的解析式、畫反比例函數(shù)的圖象、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合，熟練掌握反比例函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
（1）利用待定系數(shù)法求解即可得；
（2）根據(jù)表格中的規(guī)律即可得函數(shù)表達(dá)式，再利用描點法畫出函數(shù)圖象即可；
（3）先求出點的坐標(biāo)，再求出直線的解析式，設(shè)點的坐標(biāo)為，過點作軸的垂線，交直線于點，則，然后利用三角形的面積公式求解即可得．
【小問1詳解】
解：將點A-2,0，代入得：，
解得，
則一次函數(shù)的解析式．
【小問2詳解】
解：由表格可知，，
畫出函數(shù)圖象如下：
．
【小問3詳解】
解：聯(lián)立，解得或，
∵一次函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象相交于，兩點（點在點的左側(cè)），
∴，
∵點關(guān)于坐標(biāo)原點的對稱點為點，
∴，
設(shè)直線解析式為，
將點，代入得：，解得，
則直線的解析式為，
設(shè)點的坐標(biāo)為，
如圖，過點作軸的垂線，交直線于點，則，
∴，點到的距離與點到的距離之和為，
∵的面積為15，
∴，即，
解得或（不符合題意，舍去），
經(jīng)檢驗，是所列分式方程的解，
則，
所以點的坐標(biāo)為1,4．
23. 如圖，內(nèi)接于，直徑AB交CD于點，過點作射線，使得，延長交過點的切線于點，連接．
（1）求證：是的切線；
（2）若．
①求DE的長；
②求的半徑．
【答案】（1）證明見解析；
（2）①；②．
【解析】
【分析】（）連接，則，可得，由可得，進(jìn)而由等腰三角形的性質(zhì)可得，得到，即可求證；
（）①證明得到，據(jù)此即可求解；②由①可得，進(jìn)而得，，利用勾股定理得，再證明，得到，即可得，求出即可求解．
【小問1詳解】
證明：連接，則，
∵，
∴，
∵AB是的直徑，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
又∵為的半徑，
∴是的切線；
【小問2詳解】
解：①∵是的切線，
∴，
∴，
∴，
∵AB是的直徑，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴的半徑為．
【點睛】本題考查了圓周角定理，切線的性質(zhì)和判定，余角性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
24. 在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點．
（1）若，則_________，通過配方可以將其化成頂點式為_________；
（2）已知點在拋物線上，其中．若且，比較與的大小關(guān)系，并說明理由；
（3）若，將拋物線向上平移4個單位得到的新拋物線與直線交于A，B兩點，直線與y軸交于點C，點E為中點，過點E作x軸的垂線，垂足為點F，連接，．求證：．
【答案】（1）2，
（2），理由見解析
（3）證明見解析
【解析】
【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、二次函數(shù)圖象的平移、兩點之間的距離公式等知識，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
（1）將點代入二次函數(shù)的解析式即可得的值，再利用完全平方公式進(jìn)行配方，化成頂點式即可得；
（2）先求出，從而可得拋物線的對稱軸，再求出，得出點到對稱軸的距離大于到對稱軸的距離，然后根據(jù)拋物線的開口向上即可得；
（3）先分別求出點的坐標(biāo)，再利用兩點之間的距離公式即可得證．
【小問1詳解】
解：∵拋物線經(jīng)過點，且，
∴將點代入得：，
解得，
則化成頂點式為，
故答案為：2，．
【小問2詳解】
解：，理由如下：
∵拋物線經(jīng)過點，
∴，
∵，
∴，即，
二次函數(shù)的對稱軸為直線，
，
∴，
∴，
又∵，
∴點到對稱軸的距離大于到對稱軸的距離，
又∵拋物線的開口向上，
∴．
【小問3詳解】
證明：若，則，
將向上平移4個單位得到新拋物線，
∵拋物線與直線交于點，
∴設(shè)點的坐標(biāo)為，
將代入得：，
∴，
∵點為中點，
∴，
軸于點，
，
∴，
，
∴．
月平均用水量x（噸）
頻數(shù)
15
a
32
40
33
總計
150
右眼視力
4.0
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
5.0
人數(shù)
1
2
5
4
3
m
1
1
5
n
6
x
…
1
2
3
4
…
…
8
4
2
1
…

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