本試卷共4頁，19題．全卷滿分150分．考試用時120分鐘．
注意事項：
1．答題前，先將自己的姓名、考號等填寫在答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．
2．選擇題的作答：選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．
3．填空題和解答題的作答：用簽字筆直接寫在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．
4．考試結(jié)束后，請將本試題卷和答題卡一并上交．
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 若，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)條件，利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算，得到，再利用復(fù)數(shù)的模長公式，即可求解.
【詳解】因為，得到，即，所以，
得到，
故選：D.
2. 的展開式中，的系數(shù)為（ ）
A. B. C. 80D. 160
【答案】A
【解析】
【分析】求出二項式展開式通項公式，再由給定冪指數(shù)求解即得.
【詳解】二項式展開式的通項為，
由，得，所以的展開式中的系數(shù)為.
故選：A
3. 若命題“，”為假命題，則a的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】轉(zhuǎn)化為“，”為真命題，再利用判別式即可得到答案.
【詳解】由題意得命題“，”為真命題，
則對恒成立，則對恒成立，
則，解得.
故選：A.
4. 已知向量，，若，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)條件，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算得到，再利用向量垂直的坐標(biāo)表示，得到，即可求解.
【詳解】因為，，得到，
又，所以，解得，
故選：B.
5. 某企業(yè)五個部門年第三季度的營業(yè)收入占比和凈利潤占比統(tǒng)計如下表所示：
若該企業(yè)本季度的總營業(yè)利潤率為（營業(yè)利潤率是凈利潤占營業(yè)收入的百分比），則（ ）
A. 各部門營業(yè)收入占比的極差為
B. 各部門營業(yè)收入占比的第百分位數(shù)為
C. 第二部門本季度的營業(yè)利潤為正
D. 第三部門本季度的營業(yè)利潤率大約為
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)計算極差、百分位數(shù)、營業(yè)利潤率，逐項判斷即可.
【詳解】對于A選項，各部門營業(yè)收入占比的極差為，A錯；
對于B選項，各部門營業(yè)收入占比由小到大依次為、、、、，
且，所以，各部門營業(yè)收入占比的第百分位數(shù)為，B錯；
對于C選項，第二部門本季度的營業(yè)利潤率，
故第二部門本季度的營業(yè)利潤為負(fù)，C錯；
對于D選項，第三部門本季度的營業(yè)利潤率為，D對.
故選：D.
6. 已知圓，點，點在圓上運(yùn)動，線段的中垂線與交于點，則點的軌跡方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)條件得到，從而點的軌跡是以為焦點，且長軸長為，焦距為的橢圓，即可求解.
【詳解】如圖，易知，所以，
由橢圓的定義知，點的軌跡是以為焦點，且長軸長為，焦距為的橢圓，
而焦點在上，長軸長為，焦距為的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
又點軌跡的中心為，所以的軌跡方程為，
故選：C.
7. 已知四邊形的外接圓半徑為，若，四邊形的周長記為，則當(dāng)取最大值時，四邊形的面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
分析】利用余弦定理和基本不等式可確定當(dāng)且時，取得最大值；
根據(jù)此時為四邊形外接圓直徑和解三角形的知識，可求得此時四邊形的面積.
【詳解】在中，，
（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），
；
，，
在中，，
（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），
；
；
當(dāng)取得最大值時，且，
為弦的垂直平分線，為四邊形外接圓的直徑，
，，
又此時，
，，
當(dāng)取得最大值時，四邊形的面積.
故選：A.
8. 當(dāng)時，，則正數(shù)的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)條件，利用同構(gòu)思想，得到，構(gòu)造函數(shù)，利用的單調(diào)性得到在區(qū)間上恒成立，再構(gòu)造函數(shù)，求出在區(qū)間上的最大值，即可求解.
【詳解】因為，由，得到，即，
令，則，因為，所以在區(qū)間上恒成立，
即在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，
所以，可得，即在區(qū)間上恒成立，
令，則，由，得到，由，得到，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以，得到，
故選D.
【點睛】關(guān)鍵點點晴：本題的關(guān)鍵在于利用“同構(gòu)”思想，將條件變形成，構(gòu)造函數(shù)，利用的單調(diào)性，將問題轉(zhuǎn)化成在區(qū)間上恒成立，再構(gòu)造函數(shù)，求出在區(qū)間上的最大值，即可求解.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9. 已知，是兩個不重合的平面，是兩條不重合的直線，則（ ）
A. 若，，則
B. 若，，，則
C. 若，，，則
D. 若，，，，，則
【答案】ACD
【解析】
【分析】選項A，利用面面平行的性質(zhì)，即可判斷；選項B，在正方體中，通過取特例，即可求解；選項C，根據(jù)條件，即可判斷；選項D，利用面面垂直的性質(zhì)，得到，即可判斷.
【詳解】對于選項A，因為，，由面面平行的性質(zhì)可知，所以選項A正確，
對于選項B，如圖，在正方體中，取平面為平面，平面為平面，直線為直線，直線為直線，
顯然滿足，，，但不平行，所以選項B錯誤，
對于選項C，因為，，，顯然有，所以選項C正確，
對于選項D，因為，，，，則，
又，則，所以選項D正確，
故選：ACD.
10. 將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到的圖象，的導(dǎo)函數(shù)為，則（ ）
A. 的圖象關(guān)于原點對稱
B. 函數(shù)的最小正周期為
C. 區(qū)間上單調(diào)遞減
D. 在區(qū)間內(nèi)的所有零點之和為
【答案】BC
【解析】
【分析】確定的解析式，借助三角函數(shù)性質(zhì)逐個判斷即可.
【詳解】由已知條件可知：，易知其為偶函數(shù)，
其圖象關(guān)于y軸對稱，故A錯誤；
由于的最小正周期為，
而的圖象可由的圖象，把軸下方圖象翻折上去，
軸上方圖象不變，故函數(shù)的最小正周期為，B正確；
，所以，
由，可得：，
由于余弦函數(shù)在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知在區(qū)間上單調(diào)遞減，C正確；
由，令，，
得到：，，
分別令可得對應(yīng)零點為，
所以在區(qū)間內(nèi)的所有零點之和為，D錯誤；
故選：BC
11. 已知拋物線的焦點為，點在上，過點的直線與交于兩點，與以為圓心，為半徑的圓交于兩點（點在第一象限內(nèi)），則（ ）
A. B. 的最小值為1
C. （為原點）的最大值為D. 的最小值不可能為6
【答案】AC
【解析】
【分析】選項A，將點代入，即可求解；選項B，分斜率存在和不存在兩種情況，聯(lián)立直線與拋物線方程，結(jié)合韋達(dá)定理即可求解；選項C，結(jié)合選項B中的結(jié)論，利用正切函數(shù)的倍角公式得到關(guān)于的表達(dá)式，從而得解；選項D，利用選項B中結(jié)果，可得，即可求解.
【詳解】對于選項A，因為點在上，所以，得到，所以，故選項A正確，
對于選項B，易知直線斜率不為，設(shè)，
當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線方程為，
由，消得到，
由韋達(dá)定理得，
又，
當(dāng)直線的斜率不存在時，，
所以，故選項B錯誤，
對于選項C，當(dāng)直線的斜率不存在時，，
此時，
當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)，
則，
又
，
由選項B知，，
所以，
易知，時，，時，，
又的兩根為或，
可得，
所以，所以選項C正確，
對于選項D，，
由選項B知，當(dāng)直線的斜率存在時，，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，此時斜率存在，所以選項D錯誤，
故選：AC.
【點睛】關(guān)鍵點點晴，本題的關(guān)鍵在選項C，設(shè)，再分直線斜率存在和不存在兩種情況，斜率不存在時，可求得，當(dāng)斜率存在時，利用選項B中結(jié)果，將表示成，再利用，得到，即可求解.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 已知數(shù)列的前項和為，且，則____________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)條件，利用與間的關(guān)系，得到，即可求解.
【詳解】因為，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，滿足，
所以，
得到，
所以，
故答案為：.
13. 已知，均為銳角，，，則____________．
【答案】
【解析】
【分析】首先求出，，再利用兩角差的余弦公式和二倍角公式即可.
【詳解】因為，均銳角，則，,
因為，，則，
，
,
，
則.
故答案為：．
14. 已知全集，集合是的非空子集，且?，定義為中的一對“子群”關(guān)系，則滿足這種“子群”關(guān)系的共有____________個．
【答案】
【解析】
【分析】利用組合求出符合條件的集合的個數(shù)，再求出相應(yīng)集合的非空真子集個數(shù)，利用分步計算原理，即可求解.
【詳解】因為，集合是的非空子集，?，
若中有個元素，此時符合條件的集合有個，又中有個元素時，集合的非空真子集個數(shù)有個，
若若中有個元素，此時符合條件的集合有個，又中有個元素時，集合的非空真子集個數(shù)有個，
若中有個元素，此時符合條件的集合有個，又中有個元素時，集合的非空真子集個數(shù)有個，
若中有個元素，此時符合條件的集合有個，又中有個元素時，集合的非空真子集個數(shù)有個，
所以滿足條件的共有，
故答案為：.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 已知數(shù)列的前n項和為，且．
（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；
（2）若，求數(shù)列的前n項和．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由條件可得，，故可證明數(shù)列為等比數(shù)列.
（2）表示數(shù)列的通項公式，利用錯位相減法可得結(jié)果.
【小問1詳解】
∵，
∴當(dāng)時，，
兩式相減得，，整理得，即，
令得，，，，
∴是以為首項，公比的等比數(shù)列.
【小問2詳解】
由（1）得，，，
∴.
，
，
兩式相減得，
，
∴.
16. 如圖，在平面五邊形中，，，，，將沿翻折，使點到達(dá)點的位置，得到如圖所示的四棱錐，且，為的中點．
（1）證明：；
（2）若，求平面與平面夾角的余弦值．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）推導(dǎo)出平面，可得出，利用等腰三角形三線合一可得出，利用線面垂直的判定定理可證得平面，再利用線面垂直的性質(zhì)可證得；
（2）推導(dǎo)出，以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得平面與平面夾角的余弦值.
【小問1詳解】
翻折前，在平面五邊形中，，，，，
則，
翻折后，在四棱錐，且，，
所以，，則，所以，，
又因為，，、平面，所以，平面，
因為平面，所以，，
因為，，則四邊形為平行四邊形，則，
所以，，
因為為的中點，則，
因為，、平面，所以，平面，
因為平面，故.
【小問2詳解】
因為，且，所以，，則，
因為平面，，則平面，
以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則A0,0,0、、、，
設(shè)平面的法向量為m=x1,y1,z1，，，
則，取，可得，
設(shè)平面的法向量為n=x2,y2,z2，，，
則，取，可得，
所以，，
因為，平面與平面夾角的余弦值為.
17. 已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時，曲線在點（）處的切線記為．
①求的方程；
②設(shè)的交點構(gòu)成，試判斷的形狀（銳角、鈍角或直角三角形）并加以證明．
（2）討論的極值．
【答案】（1）①；②為鈍角三角形，證明見解析；
（2）答案見解析.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)條件，得到，①利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求解；②利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出（）的方程，再求出三個頂點的坐標(biāo)，進(jìn)而可得，即可求解；
（2）對求導(dǎo)，得到，再分三種情況，利用極值的定義，即可求解.
【小問1詳解】
當(dāng)時，，則，
①因為，，所以的方程為.
②為鈍角三角形，證明如下:
由①知的方程為，
又，，
所以的方程為，即，
又，，
所以的方程為，即，
由，得到，所以，
由，得到，所以，
由，得到，所以，
得到，
，
則，
注意到，
所以，得到，
又B∈0,π，所以，即為鈍角三角形.
【小問2詳解】
因為，則，
當(dāng)時，，由，得到，當(dāng)時，，時，，
此時是的極小值點，極小值為，無極大值，
當(dāng)時，由，得到或，又，
若，當(dāng)時，，時，，
此時，是的極大值點，極大值為，
是的極小值點，極小值為，
若，當(dāng)時，，時，，
此時，是的極大值點，極大值為，
是的極小值點，極小值為.
綜上，當(dāng)時，極小值為，無極大值，
當(dāng)時，極大值為，極小值為.
18. 某商場將年度消費總金額不低于萬的會員稱為尊享會員，超過萬不足萬的會員稱為星級會員．該商場從以上兩種會員中隨機(jī)抽取男、女會員各名進(jìn)行調(diào)研統(tǒng)計，其中抽到男性尊享會員名，女性尊享會員名．
（1）完成下面的列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，判斷是否可以認(rèn)為會員類型與性別有關(guān)？
（2）該商場在今年店慶時將舉辦尊享與星級會員消費返利活動，該活動以抽獎的形式進(jìn)行，參與抽獎的會員從放有個紅球和個白球（每個球除顏色不同外，其余完全相同）的抽獎箱中抽獎．抽獎規(guī)則：①每次抽獎時，每名會員從抽獎箱中隨機(jī)摸出個球，若摸出的個球顏色相同即為中獎，若顏色不同即為不中獎；②每名會員只能選一種抽獎方案進(jìn)行抽獎．抽獎方案如下：
方案一：共進(jìn)行兩次抽獎，第一次抽獎后將球放回抽獎箱，再進(jìn)行第二次抽獎；
方案二：共進(jìn)行兩次抽獎，第一次抽獎后將球不放回抽獎箱，直接進(jìn)行第二次抽獎．
會員甲欲參加本次抽獎活動，請從中獎次數(shù)的期望與方差的角度分析，會員甲選擇哪種方案較好？
附：，其中．
【答案】（1）列聯(lián)表答案見解析，有
（2）方案一，理由見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題中信息完善列聯(lián)表，計算出的觀測值，結(jié)合臨界值表可得出結(jié)論；
（2）設(shè)會員甲按照方案一、方案二抽獎的中獎次數(shù)分別為、，分別計算出、、、，比較與、與的大小關(guān)系，可得結(jié)論.
【小問1詳解】
根據(jù)題中信息得到如下列聯(lián)表：
由表格中的數(shù)據(jù)可得，
所以，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，可以認(rèn)為會員類型與性別有關(guān).
【小問2詳解】
設(shè)會員甲按照方案一、方案二抽獎的中獎次數(shù)分別為、，
對于方案一，則隨機(jī)變量的可能取值有、、，
會員甲每次中獎的概率為，則，
所以，，，
對于方案二，則隨機(jī)變量的可能取值有、、，
，，
，
所以，隨機(jī)變量的分布列如下表所示：
所以，，
，
所以，會員甲選擇方案一較好.
19. 已知雙曲線C上的所有點構(gòu)成集合，若坐標(biāo)平面內(nèi)一點，則稱直線為雙曲線C關(guān)于點N的“關(guān)聯(lián)直線”．
（1）試證明為定值（O為原點，直線，l斜率均存在）；
（2）判斷雙曲線C關(guān)于點N的“關(guān)聯(lián)直線”與雙曲線C的公共點個數(shù)，并說明理由；
（3）若雙曲線C的左、右焦點分別為，，離心率為，關(guān)聯(lián)直線l與坐標(biāo)軸不平行，分別過點，作關(guān)聯(lián)直線l的垂線，垂足分別為H，Q，求面積的最大值．
【答案】（1），證明見詳解；
（2）關(guān)聯(lián)直線與只有一個公共點，理由見詳解；
（3）
【解析】
【分析】（1）直接代入公式計算即可；
（2）直接證明計算量較大，可用反證法證明雙曲線與“關(guān)聯(lián)直線”只有一個交點；
（3）結(jié)合點到直線的距離公式，求出三角形的面積表達(dá)式，利用基本不等式確定最大值.
【小問1詳解】
由題意：，，則.
證明完成.
【小問2詳解】
當(dāng)時，關(guān)聯(lián)直線為或，此時直線斜率不存在，
與雙曲線相切于點或者，與雙曲線只有一個公共點.
當(dāng)時，假設(shè)關(guān)聯(lián)直線與雙曲線還有另外一個交點，
將和分別代入雙曲線并做差得：，
當(dāng)時，化簡得到，得到，
結(jié)合小問1的結(jié)論，即，可得.
當(dāng)時，與矛盾，此情況不成立；
當(dāng)時，，斜率不存在，，
直線不滿足題目中關(guān)聯(lián)直線的條件.
綜上，題目中給出的關(guān)聯(lián)直線和雙曲線只能有一個交點，證明完成.
【小問3詳解】
由已知可得雙曲線，，可做出示意圖
雙曲線方程為，設(shè)點，關(guān)聯(lián)直線方程為，
所在直線方程為：，所在直線方程為：，
兩直線均與垂直，可知的長度即為兩平行直線和的距離，則，
三角形的高為原點到的距離：，
三角形面積：，
點在雙曲線上，，
，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最大值.
即面積的最大值為.
第一部門
第二部門
第三部門
第四部門
第五部門
營業(yè)收入占比
凈利潤占比
會員類型
會員性別
合計
男性會員
女性會員
尊享會員
星級會員
合計
會員類型
會員性別
合計
男性會員
女性會員
尊享會員
星級會員
合計

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