本試卷共4頁，19小題；總分：150分，檢測用時：120分鐘
注意事項(xiàng)：
1.答卷前、考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.
2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 設(shè)全集，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由集合的并集與補(bǔ)集運(yùn)算求解即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，所以.
故選：D
2. 命題“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】由存在量詞命題得否定為全稱量詞命題即可得解.
【詳解】命題“，”的否定是，.
故選：B.
3. 函數(shù)的定義域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由且可求得結(jié)果.
【詳解】由題意得，解得且，
所以函數(shù)的定義域?yàn)?
故選：C
4. 已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸列不等式即可得解.
【詳解】由二次函數(shù)性質(zhì)可知，要使函數(shù)在上單調(diào)遞減，只需，
解得，即的取值范圍為.
故選：A
5. 已知關(guān)于的不等式的解集為，則的取值范圍為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】討論和時，從而求出不等式恒成立時實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】當(dāng)時，，解得，不合題意；
當(dāng)時，，解得.
故選：.
6. 不等式的解集中恰有三個整數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A. B. 或
C. 或
D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】由含參一元二次不等式的求解方法，對參數(shù)分類討論得到結(jié)果.
【詳解】，
①當(dāng)時，明顯不符合題意；
②當(dāng)時，不等式的解集為，
由于不等式的解集中恰有三個整數(shù)，則整數(shù)為2，3，4，故；
③當(dāng)時，不等式的解集為，
由于不等式的解集中恰有三個整數(shù)，則整數(shù)為0，，，故.
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為或.
故選：D.
7. 數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出“三斜求積術(shù)”，即假設(shè)一個三角形的三邊長分別為a，b，c，三角形的面積S可由公式求得，其中p為三角形周長的一半，這個公式也被稱為海倫—秦九韶公式．現(xiàn)有一個三角形的周長為12，，則此三角形面積的最大值為（ ）
A. 4B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由題意得，，代入化簡后利用基本不等式可求得答案
【詳解】由題意得，，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，此時三角形的面積有最大值，且最大值為．
故選：C
8. 已知則下列選項(xiàng)錯誤的是（ ）
A.
B.
C.
D
【答案】C
【解析】
【分析】由題意可知表示中的最小值，表示中的最大值．
依據(jù)最大值最小值的定義逐一分析選項(xiàng)可得結(jié)果.
【詳解】由題意可知表示中的最小值，表示中的最大值．
對于選項(xiàng)A，因?yàn)?，分別取中的一個最小值與一個最大值，
所以，故A正確．
對于選項(xiàng)B，當(dāng)，則，，
所以；
當(dāng)時，，，所以．
綜上所述，，故B正確．
對于選項(xiàng)C，取，則，
而，此時，故C錯誤．
對于選項(xiàng)D，當(dāng)，即時，，
因?yàn)?，所以，，所以?br>當(dāng)，即時，，
因?yàn)?，所以，，所以?br>綜上所述，，故D正確．
故選：C．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則（ ）
A. 的圖象經(jīng)過點(diǎn)B. 的圖象關(guān)于y軸對稱
C. 在定義域上單調(diào)遞減D. 在內(nèi)的值域?yàn)?br>【答案】AD
【解析】
【分析】代入已知點(diǎn)坐標(biāo)求得函數(shù)解析式，然后根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)判斷．
【詳解】將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，可得，
則，
所以的圖象經(jīng)過點(diǎn)，A正確；
根據(jù)冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，在定義域上不具有單調(diào)性，
函數(shù)在內(nèi)值域?yàn)?，故BC錯誤，D正確，
故選：AD．
10. 下列說法中，正確的是（ ）
A. 若，，則B. 若，則
C. 若，，則D. 若，，則
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用不等式的性質(zhì)一一判定選項(xiàng)即可.
【詳解】對于A，若，則，故A錯誤；
對于B，可知，不等式兩側(cè)同乘以，有，故B正確；
對于C，利用作差法知，
由，，知，
即，故C正確；
對于D，由，知，由不等式同向可加性的性質(zhì)知D正確.
故選：BCD
11. 高斯函數(shù)是數(shù)學(xué)中的一個重要函數(shù)，在自然科學(xué)、社會科學(xué)以及工程學(xué)等領(lǐng)域都能看到它的身影． 設(shè)，用符號表示不大于的最大整數(shù)，如稱函數(shù)叫做高斯函數(shù)． 下列關(guān)于高斯函數(shù)的說法正確的有（ ）
A.
B. 若，則
C. 函數(shù)的值域是
D. 函數(shù)在上單調(diào)遞增
【答案】ABD
【解析】
【分析】由高斯函數(shù)的定義逐一判斷即可.
【詳解】對A，由高斯函數(shù)的定義，可得，故A正確；
對B，若，則，而表示不大于x的最大整數(shù)，則，即，故B正確；
對C，函數(shù)，當(dāng)時，，故C錯誤；
對D，函數(shù)，即函數(shù)為分段函數(shù)，在上單調(diào)遞增，故D正確.
故選：ABD.
第二部分（非選擇題 共92分）
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 二次不等式的解集為，則的值為_______.
【答案】6
【解析】
【分析】由二次不等式與二次方程的關(guān)系可得，從而得解.
【詳解】二次不等式的解集為，
則，且的兩個根為和.
所以，解得.
所以
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次方程與二次不等式的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.
13. 已知函數(shù)是奇函數(shù)，且當(dāng)時，，則______，當(dāng)時，______.
【答案】 ①. 1 ②.
【解析】
【分析】不妨設(shè)，則，將代入解析式，由即可求解．
【詳解】設(shè)，則，又因?yàn)椋?，
所以，
是奇函數(shù)，，所以，
即，且.
故答案為：①1
②
14. 函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對稱的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù).已知函數(shù)圖象成中心對稱，則：__________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)給定的充要條件，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)的對稱中心，再求值即可.
【詳解】設(shè)函數(shù)圖象的對稱中心為，
設(shè)，則為奇函數(shù)，
且，則，
即，即，
整理得，于是，解得，
因此函數(shù)圖象的對稱中心為，則，
令，
則，
于是，解得，
所以.
故答案為：
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：函數(shù)的定義域?yàn)镈，，
①存在常數(shù)a，b使得，則函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對稱.
②存在常數(shù)a使得，則函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱.
四、解答題：本大題共5小題，其中15小題13分，16題與17題每小題15分，18題與19題每小題17分，共77分.
15. 已知函數(shù)

（1）求的值；
（2）在給出的坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的大致圖象，并寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域.
【答案】（1）1； （2）作圖見解析，增區(qū)間為，減區(qū)間為，值域是.
【解析】
【分析】（1）判斷并代入求出函數(shù)值.
（2）畫出給定函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象求出單調(diào)區(qū)間及值域.
【小問1詳解】
函數(shù)，則，所以.
【小問2詳解】
當(dāng)時，，其圖象是直線在軸及左側(cè)部分；
當(dāng)時，，其圖象是拋物線在軸右側(cè)部分，
函數(shù)的大致圖象，如圖：

函數(shù)的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，
當(dāng)時，；當(dāng)時，，
所以函數(shù)的值域是.
16. 設(shè)集合，.
（1）若，求；
（2）若“”是“”的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【答案】（1）；（2）；
【解析】
【分析】
（1）由集合描述求集合、，根據(jù)集合交運(yùn)算求；（2）由充分不必要條件知?，即可求m的取值范圍.
詳解】，
（1）時，，
∴；
（2）“”是“”的充分不必要條件，即?，
又且，
∴，解得；
【點(diǎn)睛】本題考查了集合基本運(yùn)算，及根據(jù)充分不必要條件得到集合的包含關(guān)系，進(jìn)而求參數(shù)范圍，屬于基礎(chǔ)題.
17. 如圖，在周長為8的矩形中（其中），現(xiàn)將沿折疊到，設(shè)與交于點(diǎn)，設(shè)，.
（1）求的周長；
（2）試用表示，并求的取值范圍；
（3）當(dāng)為何值時，的面積取得最大值，并求出該最大值.
【答案】（1）4； （2），；
（3）當(dāng)時，的面積取得最大值.
【解析】
【分析】（1）通過證明,即可得到,,從而求出的周長.
（2）在利用勾股定理并結(jié)合（1）即可建立和的關(guān)系，根據(jù)題意即實(shí)際意義可求出的范圍.
（3）將面積表示出來，再利用基本不等式求最大值即可.
【小問1詳解】
依題意，，
則≌，于是,
因此，
所以的周長為定值4.
【小問2詳解】
由折疊知，則，即,
由（1）知，即，則，
在中，由勾股定理得，
即，化簡得，
而,，則且，即，
所以，.
【小問3詳解】
在中,，，
則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，
所以當(dāng)時，的面積取得最大值，為.
18. 已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且
（1）求的值；
（2）用定義法判定的單調(diào)性；
（3）求使成立的實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）
（2）在上是增函數(shù).
（3）.
【解析】
【分析】（1）由函數(shù)在處有定義得，聯(lián)立待定系數(shù)，再利用定義證明函數(shù)的奇偶性即可；
（2）按“區(qū)間取值——作差變形——符號判斷”的步驟利用定義法判定即可得；
（3）結(jié)合函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性解抽象不等式的方法求解，注意函數(shù)的定義域.
【小問1詳解】
因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，
所以，得，解得，
驗(yàn)證：當(dāng)時，.
由題意，的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱.
且任意，都有，
所以是奇函數(shù)，滿足題意.
故.
【小問2詳解】
在上是增函數(shù).
由（1）知，，.
證明：設(shè)，且，
則，
，，，
，，
∴fx在上是增函數(shù).
【小問3詳解】
，
因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，
所以，
則，
由（2）知在上是增函數(shù)，
所以，即，解得.
故實(shí)數(shù)的取值范圍是.
19. 對于集合M，定義函數(shù)對于兩個集合，定義集合.已知
（1）寫出和的值，并用列舉法寫出集合；
（2）用表示有限集合M所含元素的個數(shù)，求的最小值；
（3）有多少個集合對，滿足，，且？
【答案】（1）,,，
（2）4 （3）128
【解析】
【分析】（1）依據(jù)定義直接得到答案；
（2）根據(jù)題意可知：對于集合，①且，則；②若且，則.，據(jù)此結(jié)論找出滿足條件的集合，從而求出的最小值．
（3）由?，且（△）△（△）=△求出集合所滿足的條件，進(jìn)而確定集合對（，）的個數(shù)．
試題解析：
【小問1詳解】
，，.
【小問2詳解】
根據(jù)題意可知：對于集合，
①且，則；
②若且，則.
所以要使的值最小，2，4，8一定屬于集合；1，6，10，16是否屬于不影響的值；集合不能含有之外的元素.
所以當(dāng)為集合{1，6，10，16}的子集與集合{2，4，8}的并集時，取到最小值4.
【小問3詳解】
因?yàn)椋?br>所以.
由定義可知：.
所以對任意元素，，
.
所以.
所以.
由知：.
所以.
所以.
所以，即.
因?yàn)椋?br>所以滿足題意的集合對的個數(shù)為.
【點(diǎn)睛】本題主要考查新定義問題、集合與集合間的基本關(guān)系、函數(shù)、集合的基本運(yùn)算，考查了分類討論思想與邏輯推理能力.理解新定義是解題關(guān)鍵.

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