時量：120分鐘 滿分：150分
一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的.請把正確的選項填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.）
1. 已知集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出集合元素的范圍，再結(jié)合交集運算得到結(jié)果.
【詳解】，
又，所以.
故選：B.
2. 已知，則“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】先解不等式得，然后根據(jù)充分條件、必要條件的概念求解即可.
【詳解】由得，故成立時，不一定成立，
比如，滿足，但是，不滿足；
反之當成立時，一定成立.
所以“”是“”的必要不充分條件.
故選：B
3. 下列函數(shù)中最小正周期為且是奇函數(shù)的為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)，正切函數(shù)的奇偶性以及周期公式逐項判斷即可.
【詳解】對于A，的最小正周期，故A錯誤；
對于B，為非奇非偶函數(shù)，故B錯誤；
對于C，為奇函數(shù)，且最小正周期為，故C正確；
對于D，為偶函數(shù)，故D錯誤.
故選：C.
4. 已知是定義在上的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，設(shè)，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意，由奇函數(shù)的性質(zhì)可得在上為減函數(shù)，比較的大小，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析可得答案.
【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，
則在上也是減函數(shù)，則在上為減函數(shù)，
.
所以，
所以.
故選：C
5. 基本再生數(shù)與世代間隔T是流行病學基本參數(shù).基本再生數(shù)指一個感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指兩代間傳染所需的平均時間.在型病毒疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：描述累計感染病例數(shù)隨時間t(單位：天)的變化規(guī)律，指數(shù)增長率r與，T近似滿足.有學者基于已有數(shù)據(jù)估計出.據(jù)此，在型病毒疫情初始階段，累計感染病例數(shù)增加至的3倍需要的時間約為（ ）(參考數(shù)據(jù)：)
A. 2天B. 3天C. 4天D. 5天
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)已知數(shù)據(jù)先求出，可得，則由解出即可.
【詳解】，，即，解得，
，則，
解得，則，
故累計感染病例數(shù)增加至的3倍需要的時間約為5天.
故選：D.
6. 若關(guān)于x的不等式在區(qū)間上有解，則實數(shù)m的最小值為（ ）
A. 9B. 6C. D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】問題化為在區(qū)間上有解，應(yīng)用基本不等式求右側(cè)最小值，即可求參數(shù)范圍.
【詳解】關(guān)于x的不等式在區(qū)間上有解，
等價于在區(qū)間上有解，即在區(qū)間上有解，
又，當且僅當時，取最小值6.
故，可得.
故選：D
7. 在直角坐標系中，繞原點將x軸的正半軸逆時針旋轉(zhuǎn)角（）交單位圓于點A、順時針旋轉(zhuǎn)角（）交單位圓于點B，若點A的縱坐標為，且的面積為，則點B的縱坐標為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)題設(shè)得，，顯然，利用三角形面積公式列方程得，進而得到并求，結(jié)合點B在第四象限即可得答案.
【詳解】由題設(shè)，點A的縱坐標為，得，，顯然，
而，即，
又，則，故，則，
所以，
又點B在第四象限，所以點B的縱坐標為.
故選：A
8. 若集合，，均有恒成立，則t的最大值為（ ）
A. 2B. 4C. 8D. 16
【答案】B
【解析】
【分析】先根據(jù)指數(shù)對數(shù)轉(zhuǎn)化減少未知量得出，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得出不等關(guān)系即可求出最值.
【詳解】令，，，，
，
單調(diào)遞減，且，
當時，，，t的最大值為4.
故選：B.
二、多選題（本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）
9. 已知，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】由已知得，，確定的范圍判斷A；列方程組求解與的值，再求值，判斷B與C；由兩邊平方，可得，化簡，即可求值，判斷D.
【詳解】由，，
得，，則，故A正確；
，，，
則，
當時，聯(lián)立，
解得，，則；
當時，聯(lián)立，
解得，，則，故B、C錯誤；
由，兩邊平方可得，，
則，，故D正確.
故選：AD.
10. 若實數(shù)a，b滿足，，則下列說法正確的為（ ）
A. 當時，的最大值為18
B. 當時，的最小值為
C. 當時，ab的最小值為
D. 當時，的最小值為
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用基本不等式的變形，結(jié)合整體法逐一分析判斷各選項即可得解.
【詳解】A，當時，，，，
當且僅當時等號成立，有最大值，最大值為18，選項A正確；
B，當時，，則，
所以，即，
當且僅當時，，有最小值，最小值為，選項B正確；
C，當時，，則，
當時，，
當且僅當時等號成立，此時，無解；
當時，，
當且僅當時等號成立，此時，
解得或，故ab有最小值為，選項C錯誤；
D，當時，，，
則，當且僅當或時等號成立，
有最小值，最小值為，選項D正確.
故選：ABD.
11. 已知函數(shù)則下列說法正確的是（ ）
A. 函數(shù)有3個零點
B. 關(guān)于x方程有個不同的解
C. 對于實數(shù)，不等式恒成立
D. 在區(qū)間內(nèi)，函數(shù)的圖象與x軸圍成的圖形的面積為
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)題意求出函數(shù)的解析式，再畫出函數(shù)的圖象，然后結(jié)合圖象逐個分析判斷即可.
【詳解】當時，，當時，，
當時，則，，
當時，則，，
當時，則，，
當時，則，，
依次類推，可得函數(shù)解析式，作出函數(shù)的大致圖象如圖所示，
對于A，由，得，
令，由圖象可知與的圖象只有3個交點，
所以函數(shù)有3個零點，所以A正確，
對于B，當時，，即，由圖象可知與圖象只有3個交點，
所以關(guān)于x的方程有3個不同的解，而當時，，所以B錯誤，
對于C，對于實數(shù)，不等式恒成立，即恒成立，
由圖可知函數(shù)的圖象的每一個上頂點都在曲線上，所以恒成立，所以C正確，
對于D，當時，則，此時函數(shù)的圖象與x軸圍成的圖形的面積為，
當時，則，此時函數(shù)的圖象與x軸圍成的圖形的面積為，
當時，則，此時函數(shù)的圖象與x軸圍成的圖形的面積為，……，
當時，函數(shù)的圖象與x軸圍成的圖形的面積為，所以D正確，
故選：ACD
【點睛】方法點睛：已知函數(shù)有零點(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；
（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；
（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.
三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）
12. 若命題“，使得”為真命題，則實數(shù)a的取值范圍是__________.
【答案】
【解析】
【分析】問題化為時能成立，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求參數(shù)范圍.
【詳解】由題設(shè)命題為真命題，即時能成立，故能成立，
所以.
故答案為：
13. 已知函數(shù)且在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，外層函數(shù)是增函數(shù)，結(jié)合對任意的，恒成立，根據(jù)這兩個條件可得出關(guān)于實數(shù)的不等式組，解之即可.
【詳解】因為且，則內(nèi)層函數(shù)在上為減函數(shù)，
由于函數(shù)且在區(qū)間上單調(diào)遞減，
則外層函數(shù)是增函數(shù)，則，
且對任意的，恒成立，即，解得，
綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
14. 已知函數(shù)和的圖象相鄰的兩個交點為A，B，若，則的取值范圍為__________.
【答案】
【解析】
【分析】作出函數(shù)圖象，結(jié)合三角形的等價條件進行轉(zhuǎn)化，求出三角形的底和高，結(jié)合三角函數(shù)的相交性質(zhì)進行求解即可.
【詳解】作出兩個函數(shù)的圖象如圖，則由對稱性設(shè)，且，
即為等腰三角形，，且，
取AC中點M，連接BM，
則，，
由，得，
得，得，得，
則，
即A點縱坐標為1，，，
因為，所以，解得，
即，解得，所以的取值范圍為.
故答案為：.
四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）
15. 已知，為銳角，，.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）
（2）1
【解析】
【分析】（1）利用二倍角的余弦公式可得，再由齊次式求的值；
（2）由，求得，再根據(jù)可求的值.
【小問1詳解】
因為，
所以.
【小問2詳解】
由，為銳角，則，而，
則，于是得，
所以.
16. 已知函數(shù)，，.
（1）當，且時，解關(guān)于x的不等式；
（2）若，，，求的最小值.
【答案】（1）答案見解析
（2）.
【解析】
【分析】（1）解含參數(shù)的一元二次不等式，分、和求解即可；
（2）代入，再變形為，結(jié)合基本不等式求解即可.
【小問1詳解】
當時，；
當時，即時，；
當時，即時，不等式無解；
當時，即時，，
綜上，時，解集為；
時，解集為；時，解集為.
【小問2詳解】
由，，
當且僅當時，取到等號，，
由于，，解得，
當且僅當時，取到等號，故的最小值為.
17. 設(shè)函數(shù).
（1）當時，求方程的實數(shù)解；
（2）當時，
（?。┐嬖?，使不等式成立，求k的范圍；
（ⅱ）設(shè)函數(shù)，若對任意的，總存在，使，求實數(shù)b的取值范圍.
【答案】（1）或；
（2）（?。?；（ⅱ）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)已知有，應(yīng)用絕對值方程解法及指數(shù)函數(shù)性質(zhì)求解即可；
（2）根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)及解析式判斷單調(diào)性，（?。├煤瘮?shù)單調(diào)性，將問題化為上，即可求參數(shù)范圍；（ⅱ）求出兩個函數(shù)在上的值域，將問題化為求參數(shù)范圍.
【小問1詳解】
當時，，由題意得，
所以或，解得或.
【小問2詳解】
當時，，該函數(shù)在上單調(diào)遞增.
（?。┐嬖?，使不等式成立，
即成立，即成立，從而，
又當時，，所以.
（ⅱ）當時，的值域為，
當時，的值域為，
根據(jù)題意，得，從而，解得.
故實數(shù)b的取值范圍為.
18. 已知.
（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若對任意的恒成立，求a的取值范圍；
（3）已知函數(shù)，記方程在區(qū)間上的根從小到大依次為，，…，，求的值.
【答案】（1），.
（2）
（3）92
【解析】
【分析】（1）結(jié)合二倍角公式和輔助角公式將函數(shù)化簡為，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性，得解；
（2）分離參數(shù)，結(jié)合二倍角公式和齊次式運算 求對勾函數(shù)最值即可求解根；
（3）令，原問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)的交點個數(shù)，由交點個數(shù)確定的值，再結(jié)合函數(shù)對稱性即可求解．
【小問1詳解】
.
令，，則，，
故的單調(diào)遞增區(qū)間為，.
【小問2詳解】
，即對任意的恒成立，
則對任意恒成立，
令，
因為，則，
由對勾函數(shù)的性質(zhì)知在上單調(diào)遞減，
又，所以，
則的最大值為，故.
【小問3詳解】
令，
，，
令，又，
函數(shù)在上的圖象如下圖所示，
由圖可知，的圖象與直線共有6個交點，即，
，
.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查正弦函數(shù)圖像及應(yīng)用，關(guān)鍵是利用整體思想結(jié)合對稱性求解第三問.
19. 函數(shù)的定義域為D，若存在正實數(shù)k，對任意的，總有，則稱函數(shù)具有性質(zhì).
（1）分別判斷函數(shù)與是否具有性質(zhì)，并說明理由；
（2）已知為二次函數(shù)，且具有性質(zhì)，判斷的奇偶性；
（3）已知，k為給定的正實數(shù)，若函數(shù)具有性質(zhì)，求a的取值范圍.
【答案】（1）具有性質(zhì)，不具有性質(zhì)，理由見解析
（2）偶函數(shù) （3）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，由性質(zhì)的定義，代入計算，即可判斷；
（2）根據(jù)題意，由性質(zhì)的定義，即可得到，結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義即可判斷；
（3）根據(jù)題意，由性質(zhì)的定義，列出不等式，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及運算，代入計算，即可得到結(jié)果.
【小問1詳解】
對任意，得，
所以具有性質(zhì)；
對任意，得.
當時，，所以不具有性質(zhì).
【小問2詳解】
設(shè)二次函數(shù)滿足性質(zhì)，則對任意，
滿足.
當時，，此時b可以為任何實數(shù)；
當時，恒成立，所以，又，故.
綜上所述，函數(shù)具有性質(zhì)時，，
此時，即為偶函數(shù).
【小問3詳解】
由于，函數(shù)的定義域為，
易得，
若函數(shù)具有性質(zhì)，則對于任意實數(shù)x，
有，
即，即，
由于函數(shù)在上單調(diào)遞增，得，即，
當時，，由，得，
得，得，
由題意得對任意實數(shù)x恒成立，
所以即，所以a的取值范圍為.

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