1.已知集合A={x||x?3|b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，直線x=2a與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)且|AB|=|F1F2|，則雙曲線C的離心率為( )
A. 62B. 2C. 32D. 102
6.設(shè)a=ln54,b=sin14,c=0.2，則a，b，c的大小關(guān)系為( )
A. a>b>cB. b>a>cC. b>c>aD. c>b>a
7.已知正數(shù)a，b滿足(a+b)3?4=ab(3a+3b?2)，則a+b的取值范圍為( )
A. [23,1)B. (32,+∞)C. (0,23)D. (34,2]
8.數(shù)列{an}滿足a1∈Z，an+1+an=2n+3，且其前n項(xiàng)和為Sn.若S17=am，則正整數(shù)m=( )
A. 99B. 103C. 137D. 169
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。
9.已知函數(shù)f(x)=lnx+ln(2?x)，則下列結(jié)論中正確的是( )
A. f(x)在(0,1)單調(diào)遞增B. f(x)在(1,2)單調(diào)遞減
C. y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)D. y=f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(0,1)對(duì)稱(chēng)
10.在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，點(diǎn)E是棱BB1的中點(diǎn)，點(diǎn)F在底面ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)(含邊界)，則( )
A. 若F是棱CD的中點(diǎn)，則EF//平面A1BD
B. 若EF⊥平面A1C1E，則F是BD的中點(diǎn)
C. 若F在棱AD上運(yùn)動(dòng)(含端點(diǎn))，則點(diǎn)F到直線A1E的距離最小值為4 55
D. 若F與B重合時(shí)，四面體A1C1EF的外接球的表面積為19π
11.如圖，心形曲線L：x2+(y?|x|)2=1與y軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是L上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則( )
A. 點(diǎn)( 22,0)和(?1,1)均在L上
B. 點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的最大值為 2
C. |OP|的最大值與最小值之和為3
D. |PA|+|PB|≤2 3
三、填空題：本題共3小題，共20分。
12.函數(shù)f(x)=ax2+ex,x≥0,x3?ax2+a,xb>0)的右頂點(diǎn)，上頂點(diǎn)，若C的離心率為 32，且O到直線AB的距離為25 5．
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過(guò)點(diǎn)P(2,1)的直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，其中點(diǎn)M在第一象限，點(diǎn)N在x軸下方且不在y軸上，設(shè)直線BM，BN的斜率分別為k1，k2．
①求證：1k1+1k2為定值，并求出該定值；
②設(shè)直線BM與x軸交于點(diǎn)T，求△BNT的面積S的最大值．
19.(本小題12分)
已知函數(shù)f(x)=ex?ax?csx，且f(x)在[0,+∞)上的最小值為0．
(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(2)設(shè)函數(shù)y=φ(x)在區(qū)間D上的導(dǎo)函數(shù)為y=φ′(x)，若x?φ′(x)?(x)>1對(duì)任意實(shí)數(shù)x∈D恒成立，則稱(chēng)函數(shù)y=φ(x)在區(qū)間D上具有性質(zhì)S．
①求證：函數(shù)f(x)在(0,+∞)上具有性質(zhì)S；
②記 ni=1p(i)=p(1)p(2)…p(n)，其中n∈N?，求證： ni=1i?sin1i>1n(n+1)．
參考答案
1.D
2.B
3.D
4.D
5.A
6.B
7.D
8.D
9.ABC
10.ACD
11.ABD
12.[0,1]
13.1728
14.{6,7,8,9} 21
15.解：(1)設(shè)等差數(shù)列{bn}的公差為d，
由lg2an=1+bn?lg23=lg22+lg23bn=lg2(2?3bn)，得an=2?3bn(n≥2)，
由a2=2，得b2=0，
由a3=6，得b3=1，
∴d=b3?b2=1，b1=b2?d=?1，
∴bn=?1+(n?1)×1=n?2
當(dāng)n≥2時(shí)，an=2?3n?2，
又∵a1=1不滿足an=2?3n?2，
∴an=1,n=12?3n?2,n≥2．
(2)Tn=a1+2a2+3a3+?+nan，
當(dāng)n=1時(shí)，T1=1；
當(dāng)n≥2時(shí)，Tn=1+4?30+6?31+???+2n?3n?2，①
3Tn=3+4?31+6?32+???+2n?3n?1，②
①?②得：?2Tn=2+2(31+32+???+3n?2)?2n?3n?1
=2+2?3(1?3n?2)1?3?2n?3n?1
=?1+(1?2n)?3n?1，
∴Tn=(2n?1)?3n?1+12(n≥2)，
又T1=1也滿足Tn=(2n?1)?3n?1+12，
綜上：Tn=(2n?1)?3n?1+12(n∈N?)．
16.解：(1)根據(jù)1+tanBtanC=2ac，可得1+sinBcsCcsBsinC=2ac，
結(jié)合正弦定理化簡(jiǎn)得csBsinC+sinBcsCcsBsinC=2sinAsinC，即sin(B+C)csBsinC=2sinAsinC，
因?yàn)椤鰽BC中，sin(B+C)=sin(π?A)=sinA，所以sinAcsBsinC=2sinAsinC
結(jié)合sinA>0，化簡(jiǎn)得csB=12，因?yàn)锽為銳角，所以B=π3；
(2)在銳角△ABC中，由(1)得A∈(0,π2)C=2π3?A∈(0,π2)，解得π60，
所以S=4[1+t(t+1)2+1]=4(1+1t+2t+2)≤4(1+12 t?2t+2)=2 2+2，當(dāng)且僅當(dāng)t=2t，即t= 2，k2= 2+12時(shí)取等號(hào)，
所以△BNT面積S的最大值為2 2+2．
19.解：(1)f(x)=ex?ax?csx，x≥0，
則f(0)=e0?a×0?cs0=0，f′(x)=ex?a+sinx，f′(0)=e0?a+sin0=1?a，
所以f″(x)=ex+csx≥1+csx≥0，等號(hào)不同時(shí)取，
所以當(dāng)x≥0時(shí)，f″(x)>0，f′(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增，f′(x)≥f′(0)=1?a，
(i)若1?a≥0，即a≤1，f′(x)>1?a≥0，f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增，
所以f(x)在[0,+∞)上的最小值為f(0)=0，符合題意；
(ii)若1?a1，此時(shí)f′(0)=1?a2?1>0，
又函數(shù)f′(x)在[0,+∞)的圖象不間斷，
據(jù)零點(diǎn)存在性定理可知，存在x0∈(0,ln(a+2))，使得f′(x)=0，
且當(dāng)x∈(0,x0)時(shí)，f′(x)0，
要證：函數(shù)f(x)在(0,+∞)上具有性質(zhì)S，即證：當(dāng)x>0時(shí)，x?f′(x)f(x)>1，
即證：當(dāng)x>0時(shí)，x?f′(x)?f(x)>0，
令g(x)=x?f′(x)?f(x)，x>0，
則g(x)=x?(ex?a+sinx)?(ex?ax?csx)，即g(x)=(x?1)ex+xsinx+csx，x>0，
則g′(x)=x(ex+csx)>0，
所以g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，g(x)>g(0)=0，
即當(dāng)x>0時(shí)，x?f′(x)?f(x)>0，得證；
②由①得，當(dāng)x>0時(shí)，(x?1)ex+xsinx+csx>0，
所以當(dāng)x>0時(shí)，(1?x)exx+1，其中x>0；(ii)csx0，則p′(x)=ex?1>0，
所以p(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，
所以p(x)>p(0)=0，
即當(dāng)x>0時(shí)，ex>x+1，
(ii)令q(x)=tanx?x，x∈(0,1)，則q′(x)=1cs2x?1=sin2xcs2x>0，
所以q(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，故q(x)>q(0)=0，
即當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，tanx>x，故sinxcsx>x，得csxx(1?x)(1+x)x2+1>x(1?x)(1+x)(1+x)2=x(1?x)1+x，
所以當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，sinxx>1?x1+x，
當(dāng)n≥2，n∈N?時(shí)，1n∈(0,1)，有nsin1n>1?1n1+1n=n?1n+1，
所以 ni=2i?sin1i>13×24×35×…×n?1n+1=2n(n+1)，
又因?yàn)??sin1>sinπ6=12，
所以 ni=1i?sin1i>12×2n(n+1)=1n(n+1)．

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