時(shí)量：120 分值：150
命題人：黃愛(ài)民 審題人：張?chǎng)蹋盱?br>一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知復(fù)數(shù)z滿足：，則（ ）
A. B. C. 5D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用已知先求共軛復(fù)數(shù)，再求得，利用公式求解模長(zhǎng)即可.
【詳解】∵，∴
∴，∴.
故選：D.
2. 函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上的圖象大致為 ( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)的奇偶性、三角函數(shù)的正負(fù)性，運(yùn)用排除法進(jìn)行求解即可.
【詳解】，
因?yàn)椋?br>所以為偶函數(shù)，且，
當(dāng)時(shí)，則， A選項(xiàng)符合，
故選：A
3. 等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則（ ）
A. 5B. 10C. 4D.
【答案】A
【解析】
【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算求解即可；
【詳解】由題有，則
.
故選：A.
4. 橢圓的焦距為2，則m的值等于（ ）.
A. 5B. 8C. 5或3D. 5或8
【答案】C
【解析】
【分析】利用橢圓的焦距可求得的值，再討論橢圓的焦點(diǎn)位置，利用即可求得的值.
【詳解】因?yàn)闄E圓的焦距為2，所以，所以；
所以①當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在x軸上時(shí)：，，
所以，所以；
②當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在y軸上時(shí)：，，
所以，所以；
綜上或.
故選：C.
5. 已知向量，均為單位向量，且，則（ ）
A. 2B. C. 4D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)及垂直關(guān)系的向量表示即可求解.
【詳解】因?yàn)橄蛄?，均為單位向量，且，所以，?br>所以，
故選：B.
6. “杭幫菜”山膚水豢，回味無(wú)窮.今有人欲以“糟燴鞭筍”、“冰糖甲魚(yú)”、“荷葉粉蒸肉”、“宋嫂魚(yú)羹”、“龍井蝦仁”、“叫化童雞”共六道杭幫菜宴請(qǐng)遠(yuǎn)方來(lái)客.這六道菜要求依次而上，其中“冰糖甲魚(yú)”和“叫化章雞”不能接連相鄰上菜，請(qǐng)問(wèn)不同的上菜順序種數(shù)為（ ）
A. 480B. 240C. 384D. 1440
【答案】A
【解析】
【分析】利用插空法求解，先排列“糟燴鞭筍”、“荷葉粉蒸肉”、“宋嫂魚(yú)羹”、“龍井蝦仁”這4道菜，然后用“冰糖甲魚(yú)”和“叫化章雞”去插空即可.
【詳解】根據(jù)題意，先排列“糟燴鞭筍”、“荷葉粉蒸肉”、“宋嫂魚(yú)羹”、“龍井蝦仁”這4道菜，共有種方法，
4道菜排列后，有5個(gè)空，然后用“冰糖甲魚(yú)”和“叫化章雞”去插空，有種方法，
所以由分步計(jì)數(shù)原理可知共有種不同的上菜順序，
故選：A
7. 已知等差數(shù)列，滿足，，且數(shù)列的前n項(xiàng)和有最大值，那么取最小正值時(shí)，n等于（ ）
A. 4043B. 4042C. 4041D. 4040
【答案】A
【解析】
【分析】由題可知數(shù)列是遞減的等差數(shù)列，再由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式和下角標(biāo)和的性質(zhì)即可求解.
【詳解】因?yàn)閿?shù)列的前n項(xiàng)和有最大值，
所以數(shù)列是遞減的等差數(shù)列．
又，，
所以，即數(shù)列的前2022項(xiàng)為正數(shù)，從第2023項(xiàng)開(kāi)始為負(fù)數(shù)，
由等差數(shù)列求和公式和性質(zhì)可知，
，
，
所以當(dāng)取最小正值時(shí)，.
故選：A.
8. 已知雙曲線C：（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn).若，，則C的離心率為（ ）.
A. B. C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合條件可得為的中點(diǎn)且，即可得到雙曲線漸近線的斜率，再由雙曲線離心率的公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.
【詳解】
如圖，由，得.又，
得OA是三角形的中位線，即，.
由，得，，則有，
又OA與OB都是漸近線，得，
又，得，
所以該雙曲線的漸近線斜率為．
則雙曲線的離心率為．
故選：C
二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分或3分.
9. 設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，則（ ）
A. B. 是函數(shù)的極值點(diǎn)
C. 存在兩個(gè)零點(diǎn)D. 在(1，+∞)上單調(diào)遞增
【答案】AD
【解析】
【分析】首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的關(guān)系，即可判斷選項(xiàng).
【詳解】，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)不存在極值點(diǎn)，故B錯(cuò)誤，D正確；，故A正確；
，得，中，，
所以恒成立，即方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，即，故C錯(cuò)誤.
故選：AD
10. 如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別在線段，上，則下列命題正確的是（ ）
A. 直線BC與平面所成的角等于B. 點(diǎn)到平面的距離為
C. 異面直線和所成的角為.D. 線段長(zhǎng)度的最小值為
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)直線和平面所成的夾角，點(diǎn)到平面的距離，異面直線所成的角以及異面直線距離的計(jì)算方法進(jìn)行逐項(xiàng)判斷.
【詳解】解：由題意得：
正方體棱長(zhǎng)為2
對(duì)于選項(xiàng)A：連接，設(shè)交于O點(diǎn)
平面
即為直線BC與平面所成的角，且，故A正確；
對(duì)于選項(xiàng)B：連接，設(shè)交于O點(diǎn)
平面
點(diǎn)到平面的距離為,故B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C：連接、，由正方體性質(zhì)可知∥
故異面直線和所成的角即為和所成的角
又
為等邊三角形
故C錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D：過(guò)作，過(guò)作，連接PQ
為異面直線之間的距離，這時(shí)距離最??；
設(shè)，為等腰直角三角形，則，
也為等腰直角三角形，則
為直角三角形
故
當(dāng)時(shí)，取最小值，故，故D正確；
故選：ABD
11. 已知F是拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作兩條互相垂直的直線，，與C相交于A，B兩點(diǎn)，與C相交于E，D兩點(diǎn)，M為A，B中點(diǎn)，N為E，D中點(diǎn)，直線l為拋物線C的準(zhǔn)線，則（ ）
A. 點(diǎn)M到直線l的距離為定值B. 以為直徑的圓與l相切
C. 的最小值為32D. 當(dāng)最小時(shí)，
【答案】BCD
【解析】
【分析】設(shè)直線方程，并聯(lián)立拋物線方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系式，求得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，結(jié)合拋物線定義，可判斷A;利用拋物線定義推得,由此判斷B;
計(jì)算出弦長(zhǎng)，可得的表達(dá)式，利用基本不等式求得其最小值，判斷C;
求出的表達(dá)式，采用換元法，利用二次函數(shù)的單調(diào)性求得其最小值，判斷D.
【詳解】設(shè)，，，， ，
直線的方程為，則直線的方程為,
將直線的方程代入，化簡(jiǎn)整理得，
則，，
故,
所以，,
因?yàn)辄c(diǎn)A到直線l的距離，點(diǎn)B到直線l的距離，
點(diǎn)M到直線l的距離，
又，所以，故A錯(cuò)誤；
因?yàn)椋?br>所以以為直徑圓的圓心M到l的距離為，
即以為直徑的圓與l相切，故B正確；
同理，，所以，，，
則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故C正確；
.
設(shè)，則，，.
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，最小，這時(shí)，故D正確,
故選:BCD.
【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的焦點(diǎn)弦的性質(zhì)，具有較強(qiáng)的綜合性，要求學(xué)生有較好的計(jì)算能力和思維能力，解答時(shí)要注意直線方程的設(shè)法，以及聯(lián)立后結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系式的化簡(jiǎn)，涉及到焦半徑以及弦長(zhǎng)和距離的計(jì)算，比較繁雜，要細(xì)心運(yùn)算.
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 在5道試題中有2道代數(shù)題和3道幾何題，每次從中抽出1道題，抽出的題不再放回，則在第1次抽到代數(shù)題的條件下，第2次抽到幾何題的概率為_(kāi)_________.
【答案】##
【解析】
【分析】設(shè)事件表示“第1次抽到代數(shù)題”，事件表示“第2次抽到幾何題”，然后利用古典概型公式代入求解出與，再代入條件概率公式即可求解.
【詳解】設(shè)事件：第1次抽到代數(shù)題，事件：第2次抽到幾何題，
則，，所以.
故答案為：
13. 在展開(kāi)式中，的系數(shù)為_(kāi)_________.
【答案】80
【解析】
【分析】由二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)求解即可；
【詳解】，
二項(xiàng)式的展開(kāi)式的第項(xiàng)為，
令，則，令，則，
則展開(kāi)式中，的系數(shù)為.
故答案為：80.
14. 已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，記為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且滿足，則不等式的解集為_(kāi)_________.
【答案】
【解析】
【分析】利用偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)必為奇函數(shù)，可求得，再代入不等式構(gòu)造函數(shù)即可求解.
【詳解】因?yàn)槭嵌x在上的偶函數(shù)，所以，故，
又，所以，即，
所以是定義在上的奇函數(shù)；
又因?yàn)椋?br>所以，即，
兩式相加，再整理得：，所以由得，即，
令，則，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又因?yàn)椋栽谏?，由，解得?br>又當(dāng)時(shí)，，，即，故，即，
綜上：的解集為，故的解集為.
故答案為：
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題主要考查不等式的求解，根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．對(duì)于解抽象函數(shù)的不等式問(wèn)題或者有解析式，但是直接根據(jù)解析式來(lái)解不等式非常麻煩的問(wèn)題，可以考慮研究函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性等，以及函數(shù)零點(diǎn)等，直接根據(jù)這些性質(zhì)將函數(shù)值的大
小關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量的大小關(guān)系即可得到解集．
四、解答題：共77分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
15. 已知分別為內(nèi)角的對(duì)邊，且
（1）求角；
（2）若的面積為，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）結(jié)合正弦定理，邊化角即可求解角；
（2）結(jié)合三角形面積公式與余弦定理求解，即可得的值.
【小問(wèn)1詳解】
解：，
由正弦定理得，
所以
由于，所以，則，又，所以；
【小問(wèn)2詳解】
解：由（1）得，
由余弦定理得，
，
.
16. 如圖，四棱錐中，平面平面ABCD，底面ABCD為梯形，，，且與均為正三角形，G為的重心.
（1）求證：平面PDC；
（2）求平面PAD與平面PBC所成銳二面角的余弦值.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.
【解析】
【分析】（1）設(shè)PD的中點(diǎn)為E，連接AE，CE，GF，由，，可得，由G為的重心，得，所以可得，從而由線面平行的判定定理可證得結(jié)論；
（2）設(shè)O為AD的中點(diǎn)，為正三角形，則，結(jié)合已知條件可得平面ABCD，從而過(guò)O分別作BC，AB的平行線，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，然后利用空間向量求解即可
【詳解】（1）設(shè)PD的中點(diǎn)為E，連接AE，CE，GF.
∵，，，
∴.
又∵G為的重心G，
∴，
∴
∴.
又∵面PDC，面PDC，
∴平面PDC.
（2）設(shè)O為AD的中點(diǎn)，為正三角形，則.
∵平面平面ABCD，平面平面，
∴平面ABCD.
過(guò)O分別作BC，AB的平行線，建系如圖.
∵，，，
易知平面PAD的法向量.
設(shè)平面PBC的法向量為，
∴，，
∴
得，，
從而，平面PAD與平面PBC所成銳二面角的余弦值為.
17. 已知橢圓C：（）的離心率為，過(guò)橢圓的焦點(diǎn)且與長(zhǎng)軸垂直的弦長(zhǎng)為1.
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)M為橢圓上位于第一象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，A，B分別為橢圓的左頂點(diǎn)和下頂點(diǎn)，直線MB與x軸交于點(diǎn)C，直線MA與y軸交于點(diǎn)D，求四邊形的面積.
【答案】（1）
（2）2
【解析】
【分析】（1）根據(jù)離心率及通徑長(zhǎng)得到方程組，求出、，即可得到橢圓方程；
（2）設(shè)（，），表示出直線、的方程，即可得到、，最后根據(jù)計(jì)算可得.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)殡x心率為，過(guò)橢圓的焦點(diǎn)且與長(zhǎng)軸垂直的弦長(zhǎng)為1，
所以，解得，所以橢圓的方程為．
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)闄E圓C的方程為，所以，，
設(shè)（，），
則，即，則直線的方程為，
令，得，同理，直線AM的方程為，
令，得，
所以
，
所以四邊形的面積為定值2．
18. 已知函數(shù)，，.
（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)
（2）記函數(shù)的最小值為m，求的最小值.
【答案】（1）答案見(jiàn)解析
（2）0
【解析】
【分析】（1）求導(dǎo)，分、和三種情況，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性和最值，進(jìn)而分析零點(diǎn)；
（2）對(duì)求導(dǎo)，分析的單調(diào)性和符號(hào)，即可得的單調(diào)性和最值，結(jié)合零點(diǎn)代換可得，再對(duì)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)分析其單調(diào)性和最值，結(jié)合零點(diǎn)代換分析求解.
【小問(wèn)1詳解】
由題意可知：的定義域?yàn)椋?
①當(dāng)時(shí)，，可知在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，
且，，所以函數(shù)有唯一零點(diǎn)；
②當(dāng)時(shí)，恒成立，所以函數(shù)無(wú)零點(diǎn)；
③當(dāng)時(shí)，令，解得；令，解得；
可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增．
則，
故當(dāng)時(shí)，，即，所以函數(shù)無(wú)零點(diǎn)；
綜上所述，當(dāng)時(shí)函數(shù)無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)，函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).
【小問(wèn)2詳解】
由題意可知的定義域?yàn)?，且?br>令，則，
可知在上為增函數(shù)，即在上為增函數(shù)．
且，，
可知在上存在唯一零點(diǎn)，
則，可得，，
當(dāng)時(shí)，，在上減函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，，在上為增函數(shù)；
可知的最小值
又因?yàn)榈亩x域?yàn)?，且?br>且在上為增函數(shù)，可知在上為增函數(shù)，
因?yàn)椋瑒t，，
可知在上存在唯一零點(diǎn)，則，
當(dāng)時(shí)，，在上減函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，，在上為增函數(shù)，
所以的最小值為，
因?yàn)椋瑒t，即，
又因?yàn)?，可得?br>且函數(shù)在上為增函數(shù)，所以，
可得，
又因?yàn)?，即，所以在上的最小值?.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值、最值的方法
（1）若求極值，則先求方程的根，再檢查在方程根的左右函數(shù)值的符號(hào)；
（2）若探究極值點(diǎn)個(gè)數(shù)，則探求方程在所給范圍內(nèi)實(shí)根的個(gè)數(shù)．
（3）若已知極值大小或存在情況，則轉(zhuǎn)化為已知方程根的大小或存在情況來(lái)求解；
（4）求函數(shù)在閉區(qū)間的最值時(shí)，在得到極值的基礎(chǔ)上，結(jié)合區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，與的各極值進(jìn)行比較，從而得到函數(shù)的最值．
19. 設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，對(duì)一切，，點(diǎn)都在函數(shù)圖象上.
（1）求，，，歸納數(shù)列的通項(xiàng)公式（不必證明）：
（2）將數(shù)列依次按1項(xiàng)、2項(xiàng)、3項(xiàng)、4項(xiàng)循環(huán)地分為、、、、、、、、、…，分別計(jì)算各個(gè)括號(hào)內(nèi)各數(shù)之和，設(shè)由這些和按原來(lái)括號(hào)的前后順序構(gòu)成新的數(shù)列為，求的值；
（3）設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)積，若不等式對(duì)一切都成立，求a的取值范圍.
【答案】（1），，，
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意求出前幾項(xiàng)，，利用歸納推理猜想通項(xiàng)公式；
（2）觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律可得，第25組中第四個(gè)括號(hào)內(nèi)各數(shù)之和，從而得解；
（3）將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值進(jìn)行求解，從而得解.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)辄c(diǎn)在函數(shù)的圖象上，故，所以，
令，得，所以，
令，得，所以，
令，得，所以，由此猜想：，
當(dāng)時(shí)，，且已知，，當(dāng)時(shí)，，
故，化簡(jiǎn)整理得，
當(dāng)時(shí)，，兩式相減可得，結(jié)合，
故數(shù)列是以4為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，即，
數(shù)列是以2為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，即，故，
經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，且當(dāng)時(shí)，，
，故成立
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)椋ǎ詳?shù)列依次按1項(xiàng)、2項(xiàng)、3項(xiàng)、4項(xiàng)循環(huán)地分為
，，，；
，，，；，…
每一次循環(huán)記為一組，由于每一個(gè)循環(huán)含有4個(gè)括號(hào)，
故是第25組中第4個(gè)括號(hào)內(nèi)各數(shù)之和，由分組規(guī)律知，
由各組第4個(gè)括號(hào)中所有第1個(gè)數(shù)組成的數(shù)列是等差數(shù)列，且公差為20，
同理，由各組第4個(gè)括號(hào)中所有第2個(gè)數(shù)、所有第3個(gè)數(shù)、所有第4個(gè)數(shù)分別組成的數(shù)列也都是等差數(shù)
列，且公差均為20，
故各組第4個(gè)括號(hào)中各數(shù)之和構(gòu)成等差數(shù)列，且公差為80，注意到第一組中第4個(gè)括號(hào)內(nèi)各數(shù)之和是68，
所以，又，所以.
【小問(wèn)3詳解】
因?yàn)?，故?br>所以，
，
故對(duì)一切都成立，
就是對(duì)一切都成立，
設(shè)，
則只需即可，
由于，
所以，故是單調(diào)遞減，于是，
令，即，解得或，
綜上所述，使得所給不等式對(duì)一切都成立的實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查用數(shù)學(xué)歸納法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，考察數(shù)列新定義問(wèn)題，考查數(shù)列中的不等式恒成立問(wèn)題，關(guān)鍵是讀懂新定義，通過(guò)尋找規(guī)律把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列的相關(guān)問(wèn)題，可將不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求數(shù)列的最值，確定數(shù)列的單調(diào)性是求最值常用方法.

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