1．頻率分布直方圖
(1)頻率分布表與頻率分布直方圖的意義
為了探索一組數(shù)據(jù)的取值規(guī)律，一般先要用表格對數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，或者用圖將數(shù)據(jù)直觀表示出來.在初
中，我們曾用頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布圖來整理和表示這種數(shù)值型數(shù)據(jù)，由此能使我們清楚地知道數(shù)據(jù)分布在各個小組的個數(shù).
有時，我們更關(guān)心各個小組的數(shù)據(jù)在樣本容量中所占比例的大小，所以選擇頻率分布表和頻率分布直方圖來整理和表示數(shù)據(jù).
(2)頻率分布表與頻率分布直方圖的制作步驟
與畫頻數(shù)分布直方圖類似，我們可以按以下步驟制作頻率分布表、畫頻率分布直方圖.
第一步，求極差
極差為一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差.
第二步，決定組距與組數(shù)
第三步，將數(shù)據(jù)分組
通常對組內(nèi)數(shù)據(jù)取左閉右開區(qū)間，最后一組數(shù)據(jù)取閉區(qū)間.
第四步，列頻率分布表
計(jì)算各小組的頻率，作出頻率分布表.
第五步，畫頻率分布直方圖
畫圖時，以橫軸表示分組，縱軸（小長方形的高度）表示.
2．其他幾類常用統(tǒng)計(jì)圖——條形圖、折線圖、扇形圖
3．總體百分位數(shù)的估計(jì)
(1)概念
一般地，一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個
值，且至少有(100-p)%的數(shù)據(jù)大于或等于這個值.
(2)求解步驟
可以通過下面的步驟計(jì)算一組n個數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)：
第1步，按從小到大排列原始數(shù)據(jù).
第2步，計(jì)算i=n×p%.
第3步，若i不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為j，則第p百分位數(shù)為第j項(xiàng)數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則第p
百分位數(shù)為第i項(xiàng)與第(i+1)項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù).
4．總體集中趨勢的估計(jì)
在初中的學(xué)習(xí)中我們已經(jīng)了解到，平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)等都是刻畫“中心位置”的量，它們從不同角度
刻畫了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢.具體概念回顧如下：
5．總體離散程度的估計(jì)
(1)方差和標(biāo)準(zhǔn)差
假設(shè)一組數(shù)據(jù)是，，，，用表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，則我們稱為這組數(shù)據(jù)的
方差.有時為了計(jì)算方差的方便，我們還把方差寫成的形式.
我們對方差開平方，取它的算數(shù)平方根，稱為這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差.
(2)總體（樣本）方差和總體標(biāo)準(zhǔn)差
①一般式：如果總體中所有個體的變量值分別為，，，，總體平均數(shù)為，則總體方差=
.
②加權(quán)式：如果總體的N個變量值中，不同的值共有k(kN)個，不妨記為，，，，其中出
現(xiàn)的頻數(shù)為(i=1，2，，k)，則總體方差為=.
總體標(biāo)準(zhǔn)差：S=.
(3)標(biāo)準(zhǔn)差與方差的統(tǒng)計(jì)意義
①標(biāo)準(zhǔn)差刻畫了數(shù)據(jù)的離散程度或波動幅度，標(biāo)準(zhǔn)差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小.
②在刻畫數(shù)據(jù)的分散程度上，方差與標(biāo)準(zhǔn)差是一樣的，但在解決實(shí)際問題時，一般多采用標(biāo)準(zhǔn)差.
③標(biāo)準(zhǔn)差(方差)的取值范圍為[0,+).若樣本數(shù)據(jù)都相等，表明數(shù)據(jù)沒有波動幅度，數(shù)據(jù)沒有離散性，則
標(biāo)準(zhǔn)差為0.反之，標(biāo)準(zhǔn)差為0的樣本，其中的數(shù)據(jù)都相等.
6．頻率分布直方圖中的統(tǒng)計(jì)參數(shù)
(1)頻率分布直方圖中的“眾數(shù)”
根據(jù)眾數(shù)的意義可知，在頻率分布直方圖中最高矩形中的某個(些)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).一般用
中點(diǎn)近似代替.
(2)頻率分布直方圖中的“中位數(shù)”
根據(jù)中位數(shù)的意義，在樣本中，有50%的個體小于或等于中位數(shù)，也有50%的個體大于或等于中位數(shù).
因此，在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等，由此可估計(jì)中位數(shù)的值.
(3)頻率分布直方圖中的“平均數(shù)”
平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”.因?yàn)槠骄鶖?shù)可以表示為數(shù)據(jù)與它的頻率的乘積之和，所以在頻率分
布直方圖中，樣本平均數(shù)可以用每個小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)與小矩形的面積的乘積之和近似代替.
【題型1 頻率分布直方圖的相關(guān)計(jì)算問題】
【方法點(diǎn)撥】
由頻率分布直方圖進(jìn)行相關(guān)計(jì)算時，需掌握下列關(guān)系式：
(1)小長方形的面積=組距×=頻率；
(2)各小長方形的面積之和等于1；
(3)=頻率，此關(guān)系式的變形為=樣本容量，樣本容量×頻率=頻數(shù).
【例1】（2023春·天津?yàn)I海新·高三開學(xué)考試）隨著若卡塔爾世界杯的舉辦，全民對足球的熱愛程度有所提高，組委會在某場比賽結(jié)束后，隨機(jī)抽取了若干名球迷對足球“喜愛度”進(jìn)行調(diào)查評分，把喜愛程度較高的按年齡分成5組，其中第一組：[20,25)，第二組：[25,30)，第三組：[30,35)，第四組：[35,40)，第五組：[40,45]，得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知第一組與第二組共有32人，第三組中女性球迷有4人，則第三組中男性球迷人數(shù)為（ ）
A．16B．18C．20D．24
【解題思路】由已知可求出第一組與第二組的頻率之和0.4，進(jìn)而得到樣本容量.然后根據(jù)第三小組的頻率，即可求出第三小組的人數(shù)，得出答案.
【解答過程】由題意結(jié)合頻率分布直方圖可得，第一組與第二組的頻率之和為0.01+0.07×5=0.4，第三組頻率為0.06×5=0.3.
因?yàn)榈谝唤M與第二組共有32人，所以樣本容量n=320.4=80，
所以，第三組人數(shù)為80×0.3=24，所以第三組中男性球迷人數(shù)為24-4=20.
故選：C.
【變式1-1】（2023春·天津和平·高三開學(xué)考試）某單位組織全體員工登錄某網(wǎng)絡(luò)培訓(xùn)平臺進(jìn)行學(xué)習(xí)并統(tǒng)計(jì)積分，得到頻率分布直方圖如圖所示，已知學(xué)習(xí)積分在1,1.5（單位：萬分）的人數(shù)是60人，并且學(xué)習(xí)積分超過2萬分的員工可獲得“學(xué)習(xí)達(dá)人”稱號，則該單位可以獲得該稱號的員工人數(shù)為（ ）
A．15B．16C．30D．32
【解題思路】根據(jù)學(xué)習(xí)積分在1,1.5的頻率及人數(shù)，故可得全體員工的人數(shù)，再根據(jù)在2,2.5的頻率即可求解.
【解答過程】學(xué)習(xí)積分在1,1.5的頻率為0.8×0.5=0.4，學(xué)習(xí)積分在2,2.5的頻率為0.2×0.5=0.1，
因?yàn)閷W(xué)習(xí)積分在1,1.5（單位：萬分）的人數(shù)是60人，
所以全體員工的人數(shù)為600.4=150人，
所以該單位可以獲得該稱號的員工人數(shù)為150×0.1=15人.
故選:A.
【變式1-2】（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖是一學(xué)校期末考試中某班物理成績的頻率分布直方圖，數(shù)據(jù)的分組依次為40,50、50,60、60,70、70,80、80,90、90,100，若成績不低于70分的人數(shù)比成績低于70分的人數(shù)多4人，則該班的學(xué)生人數(shù)為（ ）
A．45B．50C．55D．60
【解題思路】根據(jù)頻率分布直方圖求出a的值，即得解.
【解答過程】解：由題得10(0.004+a+0.022+0.026+a+0.008)=1,∴a=0.02
由題得低于70分的頻率為10(0.004+0.02+0.022)=0.46，
所以不低于70分的頻率為1-0.46=0.54，
設(shè)該班的學(xué)生人數(shù)為n，則n×0.54-n×0.46=4，
所以n=50.
故選：B.
【變式1-3】（2023春·天津·高三期末）為倡導(dǎo)“節(jié)能減排，低碳生活”的理念，某社區(qū)對家庭的人均月用電量情況進(jìn)行了調(diào)查，通過抽樣，獲得了某社區(qū)100個家庭的人均月用電量（單位：千瓦時），將數(shù)據(jù)按照[40,60),[60,80),[80,100),[100,120),[120,140),140,160分成6組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.若該社區(qū)有3000個家庭，估計(jì)全社區(qū)人均月用電量低于80千瓦時的家庭數(shù)為（ ）
A．300B．450C．480D．600
【解題思路】根據(jù)給定的頻率分布直方圖，求出人均月用電量低于80千瓦時的頻率即可計(jì)算作答.
【解答過程】由頻率分布直方圖知，人均月用電量低于80千瓦時的頻率為(0.002+0.008)×20=0.2，
而該社區(qū)有3000個家庭，所以全社區(qū)人均月用電量低于80千瓦時的家庭數(shù)約為0.2×3000=600.
故選：D.
【題型2 統(tǒng)計(jì)圖的綜合應(yīng)用問題】
【方法點(diǎn)撥】
條形圖可以直觀地表示各個項(xiàng)目的具體數(shù)量，扇形圖能夠清晰地顯示各個項(xiàng)目占總體的百分比，折線圖可
以清楚地看到數(shù)據(jù)變動趨勢，解決統(tǒng)計(jì)類問題時常需將若干種統(tǒng)計(jì)圖結(jié)合，不能孤立分開.
【例2】（2023春·四川成都·高三開學(xué)考試）某保險(xiǎn)公司為客戶定制了A，B，C，D，E共5個險(xiǎn)種，并對5個險(xiǎn)種參保客戶進(jìn)行抽樣調(diào)查，得出如下的統(tǒng)計(jì)圖：
用該樣本估計(jì)總體，以下四個說法錯誤的是（ ）．
A．57周歲以上參保人數(shù)最少
B．18～30周歲人群參?？傎M(fèi)用最少
C．C險(xiǎn)種更受參保人青睞
D．31周歲以上的人群約占參保人群80％
【解題思路】根據(jù)扇形圖、散點(diǎn)圖、頻率圖對選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.
【解答過程】A選項(xiàng)，57周歲以上參保人數(shù)所占比例是10%，是最少的，A選項(xiàng)正確.
B選項(xiàng)，“18～30周歲人群參保平均費(fèi)用”比“57周歲以上人群參保平均費(fèi)用”的一半還多，
而18～30周歲人群參保人數(shù)所占比例是57周歲以上參保人數(shù)所占比例的兩倍，
所以57周歲以上參保人群參?？傎M(fèi)用最少，B選項(xiàng)錯誤.
C選項(xiàng)，C險(xiǎn)種參保比例0.358，是最多的，所以C選項(xiàng)正確.
D選項(xiàng)，31周歲以上的人群約占參保人群30%+40%+10%=80%，D選項(xiàng)正確.
故選：B.
【變式2-1】（2023·全國·高一專題練習(xí)）世界人口變化情況的三幅統(tǒng)計(jì)圖如圖所示．
下列結(jié)論中錯誤的是（ ）
A．從折線圖能看出世界人口的總量隨著年份的增加而增加
B．2050年亞洲人口比其他各洲人口的總和還要多
C．1957年到2050年各洲中北美洲人口增長速度最慢
D．2050年南美洲及大洋洲人口之和與歐洲人口基本持平
【解題思路】結(jié)合圖像逐一辨析即可.
【解答過程】由折線圖可以看出世界人口的總量隨著年份的增加而增加，故A正確：
由扇形統(tǒng)計(jì)圖可知2050年亞洲人口比其他各洲人口的總和還要多，故B正確：
由條形統(tǒng)計(jì)圖可知2050年歐洲人口與南美洲及大洋洲人口之和基本持平，故D正確：
三幅統(tǒng)計(jì)圖并不能得到各個洲人口增長速度的快慢，故C錯誤．
故選：C．
【變式2-2】（2022·山西運(yùn)城·統(tǒng)考模擬預(yù)測）2021年，我國各地落實(shí)糧食生產(chǎn)責(zé)任和耕地保護(hù)制度，加大糧食生產(chǎn)扶持力度，支持復(fù)墾撂荒地，連續(xù)兩年實(shí)現(xiàn)增長.我國2020年與2021年糧食產(chǎn)量種類分布及占比統(tǒng)計(jì)圖如圖所示，則下列說法不正確的是（ ）
A．我國2020年的糧食總產(chǎn)量約為13390億斤
B．我國2021年豆類產(chǎn)量比2020年減產(chǎn)明顯，下降了約14.2%
C．我國2021年的各類糧食產(chǎn)量中，增長量最大的是玉米
D．我國2021年的各類糧食產(chǎn)量中，同2020年相比，所占比例下降的只有豆類
【解題思路】對于A：只需要將4237+2685+5213+597+458+200即可判斷；對于B：2021年豆類產(chǎn)量比2020年減少458-393=65 （億斤），下降率為65458×100% 即可判斷；對于C：分別計(jì)算出各類糧食產(chǎn)量增長或減少的量即可判斷；對于D：分別計(jì)算出各類糧食產(chǎn)量增長或減少的量即可判斷
【解答過程】由題得我國2020年的糧食總產(chǎn)量為4237+2685+5213+597+458+200=13390（億斤）.A正確；
我國2021年豆類產(chǎn)量比2020年豆類產(chǎn)量下降了458-393458×100%≈14.2%，B正確；
我國2021年類糧食產(chǎn)量中，只有豆類產(chǎn)量下降，而稻谷增長了4257-4237=20（億斤），小麥增長了2739-2685=54（億斤），玉米增長了5451-5213=238（億斤），薯類增長了609-597=12（億斤），其他增長了208-200=8（億斤），由此可得增長量最大的是玉米.C正確；
小麥，玉米，其他所長比例均是上升，薯類所占比例不變，豆類，稻谷所占比例均下降，所以D錯誤，
故選：D.
【變式2-3】（2023·全國·高二專題練習(xí)）某保險(xiǎn)公司推出了5個險(xiǎn)種：甲，一年期短險(xiǎn)；乙，兩全保險(xiǎn)；丙，理財(cái)類保險(xiǎn)；丁，定期壽險(xiǎn)；戊，重大疾病保險(xiǎn).現(xiàn)對5個險(xiǎn)種參?？蛻暨M(jìn)行抽樣調(diào)查，得出如下的統(tǒng)計(jì)圖：
用樣本估計(jì)總體，以下四個選項(xiàng)錯誤的是（ ）
A．30~41周歲參保人數(shù)最多
B．隨著年齡的增長，人均參保費(fèi)用越來越多
C．54周歲以下的參保人數(shù)約占總參保人數(shù)的8%
D．定期壽險(xiǎn)最受參保人青睞
【解題思路】根據(jù)所給的統(tǒng)計(jì)表與統(tǒng)計(jì)圖逐個選項(xiàng)分析即可
【解答過程】由扇形圖可知，31~41周歲的參保人數(shù)最多，故選項(xiàng)A正確；
由折線圖可知，隨著年齡的增長人均參保費(fèi)用越來越多，故選項(xiàng)B正確；
由扇形圖可知，54周歲以下的參保人數(shù)約占總參保人數(shù)的92%，故選項(xiàng)C錯誤；
由柱狀圖可知，丁險(xiǎn)種參保比例最高，故選項(xiàng)D正確.
故選：C.
【題型3 百分位數(shù)的求解】
【方法點(diǎn)撥】
根據(jù)計(jì)算一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟，結(jié)合具體問題，進(jìn)行求解即可.
【例3】（2023·山東臨沂·統(tǒng)考一模）某工廠隨機(jī)抽取20名工人,對他們某天生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),數(shù)據(jù)如下表,則該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是（ ）
A．8.5B．9C．9.5D．10
【解題思路】根據(jù)百分位數(shù)的求法求解即可.
【解答過程】抽取的工人總數(shù)為20,20×75%=15,
那么第75百分位數(shù)是所有數(shù)據(jù)從小到大排序的第15項(xiàng)與第16項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù),
第15項(xiàng)與第16項(xiàng)數(shù)據(jù)分別為9,10,
所以第75百分位數(shù)是9+102=9.5,
故選:C.
【變式3-1】（2023·全國·高一專題練習(xí)）某校從高一新生中隨機(jī)抽取了一個容量為10的身高樣本，數(shù)據(jù)（單位：cm）從小到大排序如下：158，165，165，167，168，169，x，172，173，175，若樣本數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)是170，則x=（ ）
A．169B．170C．171D．172
【解題思路】根據(jù)百分位數(shù)的定義求第60百分位數(shù)，由條件列方程可得.
【解答過程】因?yàn)闃颖救萘繛?0，且樣本數(shù)據(jù)從小到大排序如下：
158，165，165，167，168，169，x，172，173，175，
又10×60%=6，
所以第60百分位數(shù)為169+x2，由已知169+x2=170，
所以x=171，
故選：C.
【變式3-2】（2023·全國·高一專題練習(xí)）一組數(shù)據(jù)如下：10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20，則該組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)是（ ）
A．12B．12.5C．13D．13.5
【解題思路】根據(jù)百分位數(shù)的定義，直接計(jì)算可得答案.
【解答過程】根據(jù)題意得，該組數(shù)據(jù)有11個數(shù)，且已經(jīng)從小到大排列，則該組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)是0.3×11=3.3，所以取第4個數(shù)13，
故選：C.
【變式3-3】（2023·全國·高一專題練習(xí)）《中國居民膳食指南（2022）》數(shù)據(jù)顯示，6歲至17歲兒童青少年超重肥胖率高達(dá)19.0%．為了解某地中學(xué)生的體重情況，某機(jī)構(gòu)從該地中學(xué)生中隨機(jī)抽取100名學(xué)生，測量他們的體重（單位：千克），根據(jù)測量數(shù)據(jù)，按[40,45),[45,50),[50,55),[55,60),[60,65),[65,70]分成六組，得到的頻率分布直方圖如圖所示．根據(jù)調(diào)查的數(shù)據(jù)，估計(jì)該地中學(xué)生體重的第75百分位數(shù)是（ ）
A．55B．57.25C．58.75D．60
【解題思路】確定第75百分位數(shù)在[55,60)內(nèi)，直接根據(jù)百分位數(shù)的概念計(jì)算得到答案.
【解答過程】因?yàn)?0.01+0.03+0.08)×5=0.60.75，
所以該地中學(xué)生體重的第75百分位數(shù)在[55,60)內(nèi)，
設(shè)第75百分位數(shù)為m，則(m-55)×0.04+0.6=0.75，解得m=58.75．
故選：C.
【題型4 眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的應(yīng)用】
【方法點(diǎn)撥】
中位數(shù)、眾數(shù)分別反映了一組數(shù)據(jù)的“中等水平”、“多數(shù)水平”，平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)的平均水平，我們需根
據(jù)實(shí)際需要選擇使用.
【例4】（2023·全國·高一專題練習(xí)）某企業(yè)有1000名職工，現(xiàn)按照總體的10%抽取樣本，通過分層抽樣得到如下年收入表：
某次工資上調(diào)中，只提高了最低收入，即從年收入1.2萬元提高到2萬元，其他職工的收入不變，則下列關(guān)于本企業(yè)職工年收入的說法中正確的是 （ ）
A．平均數(shù)和眾數(shù)都提高了B．平均數(shù)和中位數(shù)都提高了
C．平均數(shù)不變，中位數(shù)提高了D．中位數(shù)和眾數(shù)不變，平均數(shù)提高了
【解題思路】首先說明平均數(shù)提高了，再說明中位數(shù)和眾數(shù)沒有改變.
【解答過程】解：由于提高了最低收入，即從年收入1.2萬元提高到2萬元，其他職工的收入不變，所以平均數(shù)提高了.
提高最低收入后，有1人年收入50萬，6個人年收入15萬，15個人年收入8萬，55個人年收入4萬，20個人年收入3萬，3個人年收入2萬，所以眾數(shù)還是4萬，中位數(shù)還是4萬，眾數(shù)和中位數(shù)沒有變化.
故選：D.
【變式4-1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）某籃球運(yùn)動員練習(xí)罰籃，共20組，每組50次，每組命中球數(shù)如下表：
則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)分別為（ ）
A．48，4B．48.5，4C．48，49D．48.5，49
【解題思路】根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義即可求解.
【解答過程】數(shù)據(jù)總個數(shù)為20個，
因此中位數(shù)是第10個與第11個數(shù)據(jù)的中位數(shù)，即48+492=48.5，
眾數(shù)為出現(xiàn)最多的數(shù)據(jù)，即數(shù)據(jù)49（出現(xiàn)6次），
故選：D.
【變式4-2】（2023·全國·高一專題練習(xí)）經(jīng)團(tuán)委統(tǒng)計(jì)，某校申請“志愿服務(wù)之星”的10名同學(xué)在本學(xué)期的志愿服務(wù)時長（單位：小時）分別為26、25、23、24、29、25、32、25、24、23，記這一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為a，上四分位數(shù)為b，眾數(shù)為c，則（ ）
A．c

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