1. 已知集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根據(jù)題意，，.
故選：A.
2. 已知復(fù)數(shù)，若是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)（ ）
A. B. C. 2D. 3
【答案】C
【解析】由于，故，所以，解得.
故選：C.
3. 若一個(gè)圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為1，2，母線與底面所成角為，則該圓臺(tái)的側(cè)面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】圓臺(tái)的軸截面如下圖：
因?yàn)槟妇€與下底面所成的角為，所以母線長為，
所以圓臺(tái)的側(cè)面積為：.
故選：D.
4. 若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由題意可得，
由于在上單調(diào)遞增，故，
因此恒成立，故，
由于，故，
故選：B.
5. 已知一種物質(zhì)的某種能量N與時(shí)間t的關(guān)系為，其中m是正常數(shù)，若經(jīng)過時(shí)間，該物質(zhì)的能量由減少到，則再經(jīng)過時(shí)間，該物質(zhì)的能量為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】設(shè)的能量為，則，又經(jīng)過時(shí)間，該物質(zhì)的能量由減少到，所以，所以，
則再經(jīng)過時(shí)間時(shí)，該物質(zhì)的能量為.
故選：C.
6. 已知定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且，則（ ）
A. B. 1C. 2D. 3
【答案】A
【解析】根據(jù)題意有，，故，從而.
所以.
故選：A.
7. 已知銳角，滿足，，則的最小值為（ ）
A 2B. 3C. 5D.
【答案】A
【解析】由題意得，
故.
于是，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
故選：A.
8. 已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，焦距為．若雙曲線的右支上存在點(diǎn)，使得，且的面積為，為銳角，則雙曲線的離心率（ ）
A. B. 2
C. D.
【答案】C
【解析】設(shè)，則，從而.
而在雙曲線的右支上，故，從而，即.
同時(shí)，由于，故.
移項(xiàng)可得，兩邊除以就得到.
所以，從而，即.
兩邊平方即得，整理得到.
去分母后即可得到關(guān)于的方程.
直接計(jì)算可得，故該方程等價(jià)于.
從而或，將這兩個(gè)方程分別看作關(guān)于的一元二次方程，即可分別解得和.
同時(shí)，由于為銳角，故，所以，故.
而，
故符合條件的解只有一個(gè).
而，，所以.
故選：C.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 下列說法正確的是（ ）
A. 已知隨機(jī)變量，若，則
B. 若隨機(jī)變量（其中），，則
C. 若事件，且，則
D. 若隨機(jī)變量，且，則
【答案】AC
【解析】對(duì)于A，由于，故，故A正確；
對(duì)于B，由于，故，解得，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，且，則，故C正確；
對(duì)于D，，故，進(jìn)而可得，故D錯(cuò)誤.
故選：AC.
10. 如圖，在棱長為2的正方體，中，點(diǎn)分別是梭，，，的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（ ）
A. 若正方體的各頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的體積為
B. 異面直線與所成角的余弦值為
C. 平面和平面分正方體成三部分的體積由小到大的比值為1：8：16
D. 平面和平面之間的距離為
【答案】ABD
【解析】對(duì)于A,正方體的外接球的直徑為,故外接球的半徑為，故體積為，故A正確，
對(duì)于B，由于,因此為異面直線與所成角或其補(bǔ)角，,由余弦定理可得,故B正確；
對(duì)于C，,延長和相交于點(diǎn),由于是的中點(diǎn)，,所以是的中點(diǎn)，同理可知與也相交于點(diǎn)，故為三棱臺(tái)，因此
，因此平面和平面之間的體積為,
因此三部分的體積由小到大的比值為1：7：16，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，由于,故，平面，平面，故平面，同理由可得平面，平面，故平面平面，
因此到平面的距離即為平面和平面之間的距離，
,故到平面的距離為，故D正確，
故選：ABD
11. 已知曲線C：，則（ ）
A. 曲線C的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱
B. 曲線C上任意一點(diǎn)的橫坐標(biāo)的最小值為
C. 若點(diǎn)在曲線C上，則
D. 若直線與曲線C有三個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為
【答案】ACD
【解析】對(duì)于A；由，可得，
所以曲線C的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱，故A正確；
對(duì)于B；令，可得，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，
又，所以，所以，
所以曲線C上任意一點(diǎn)的橫坐標(biāo)的最小值為，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C；若點(diǎn)在曲線C上，則，
令，求導(dǎo)得，
，
求導(dǎo)可得，
所以在上單調(diào)遞增，又，
所以當(dāng)時(shí)，，即，所以在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，即，所以在上單調(diào)遞增，
所以，所以，
所以，所以，故C正確；
若直線與曲線C有三個(gè)交點(diǎn)，所以在上有三個(gè)解，
顯然時(shí)，方程不成立，所以在上有三個(gè)解，
令，則，
令，求導(dǎo)可得，
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，
又，所以當(dāng)時(shí)，，即，
當(dāng)時(shí)，，即，
當(dāng)，，所以，
所以，所以，即在上為增函數(shù)，
又，所以時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
又，
要使在上有三個(gè)解，
則需，解得或，
所以若直線與曲線C有三個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為，故D正確.
故選：ACD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分
12. 若單位向量，滿足，則向量與的夾角為______．
【答案】
【解析】由可得，
故，故，由于，故，
故答案為：.
13. 已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，且，則______．
【答案】
【解析】設(shè)，由題意，由圖象可知，則，
又，所以，即，因?yàn)?，即符合題意，
則，因?yàn)椋?br>所以，
所以或，
所以或，
因?yàn)?，即符合題意，
綜上.
故答案為：.
14. 冰雹猜想又稱考拉茲猜想、角谷猜想、猜想等，其描述為：任一正整數(shù)x，如果是奇數(shù)就乘以3再加1，如果是偶數(shù)就除以2，反復(fù)計(jì)算，最終都將會(huì)得到數(shù)字1．例如：給出正整數(shù)6，則進(jìn)行這種反復(fù)運(yùn)算的過程為，即按照這種運(yùn)算規(guī)律進(jìn)行8次運(yùn)算后得到1．若從正整數(shù)3，11，12，13，14中任取2個(gè)數(shù)按照上述運(yùn)算規(guī)律進(jìn)行運(yùn)算，則運(yùn)算次數(shù)均被4整除余1的概率為______．
【答案】
【解析】按照題中運(yùn)算規(guī)律，正整數(shù)3的運(yùn)算過程為，運(yùn)算次數(shù)為；
正整數(shù)11的部分運(yùn)算過程為，
當(dāng)運(yùn)算到10時(shí)，運(yùn)算次數(shù)為9，由正整數(shù)3的運(yùn)算過程可知，正整數(shù)7總的運(yùn)算次數(shù)為；
正整數(shù)12的運(yùn)算次數(shù)為，共次；
正整數(shù)13的運(yùn)算次數(shù)為9；
正整數(shù)14的運(yùn)算次數(shù)為，共
故能被4整除余1共3個(gè)，概率為．
故答案為：.
四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，．
（1）求A；
（2）若，，求．
解：（1）由可得，
故，即，
故，
由于，故，
（2）由可得，
由，
由正弦定理可得.
16. 如圖，在四棱錐中，底面ABCD為矩形，平面ABCD，E是DP的中點(diǎn)，，垂足為F，，
（1）證明：平面AEF；
（2）求二面角的正弦值．
（1）證明：因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形，平面ABCD，平面，
所以，即兩兩互相垂直，
故以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
注意到，不妨設(shè)，
所以，
所以，
從而，即，
由題意，又平面，
所以平面AEF；
（2）解：由（1）可知平面的一個(gè)法向量可以是，
注意到三點(diǎn)共線，從而可設(shè)，
而，，
所以，
解得，
所以，
由（1）可知，
設(shè)平面的法向量為，
則，
令，解得，
所以，
設(shè)二面角的大小為，
則，
故所求為.
17. 已知橢圓C：的長半軸長為2，離心率為．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)A為橢圓C的左頂點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線與橢圓C分別相交于P，Q（點(diǎn)P，Q不在坐標(biāo)軸上）兩點(diǎn)，直線AP，AQ分別交y軸于M，N兩點(diǎn)，判斷直線PN和QM的交點(diǎn)是否在定直線上，并說明理由．
解：（1）由題意：，
又，所以.
則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）設(shè)，則，且，即，
，
直線方程為：，，
直線方程為：，，
直線方程為：，
直線方程為：，
聯(lián)立直線方程與直線方程得，
化簡可得恒成立,
因此直線與直線的交點(diǎn)過定直線.
18. 已知函數(shù)．
（1）若曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為，求實(shí)數(shù)的值；
（2）討論函數(shù)單調(diào)性；
（3）當(dāng)時(shí)，令函數(shù)，證明：．
（1）解：由于，故，解得或.
（2）解：首先有.
若，則在上遞減；
若，則對(duì)有，
對(duì)有.
所以在上遞減，在上遞增；
若，則對(duì)有，
對(duì)有.
所以在上遞減，在上遞增.
綜上，當(dāng)時(shí)，在上遞減；
當(dāng)時(shí)，在上遞減，在上遞增；
當(dāng)時(shí)，在上遞減，在上遞增.
（3）證明：為使有意義，需要，下面的討論默認(rèn)為正數(shù).
先證明一些結(jié)論作為準(zhǔn)備工作：
①設(shè)，則對(duì)有，對(duì)有.
所以在上遞減，在上遞增，從而，.
②設(shè)，則.
所以對(duì)有，對(duì)有.
從而在上遞減，在上遞增，故.
③設(shè)，則對(duì)有，對(duì)有.
從而在上遞減，在上遞增，故.
④由于，故，所以.
由于，，故.
所以，即，從而.
將和結(jié)合，即得.
最后，由于，故.
所以
.
從而原命題得證.
19. 已知正項(xiàng)數(shù)列滿足：對(duì)任意的正整數(shù)n，都有，其中d為非零常數(shù)．
（1）若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）證明：；
（3）若且，從，，，…，（且）中任取兩個(gè)數(shù)，記這兩個(gè)數(shù)是無理數(shù)，且這兩個(gè)無理數(shù)中間僅包含一個(gè)整數(shù)概率為，若，求正整數(shù)的最小值．
公式：（其中n為正整數(shù)）．
（1）解：由可得，
數(shù)列滿足遞推關(guān)系，
因此是以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列，
因此，
又為正項(xiàng)數(shù)列，可得，
因此數(shù)列的通項(xiàng)公式為；
（2）證明：根據(jù)遞推關(guān)系可得：
所以
,
因此
（3）解：由（2）中結(jié)論且可得；
又，即可得，
因此，即可得；
又，即，即可知；
所以，即，
因此此時(shí)；
數(shù)列中無理數(shù)項(xiàng)對(duì)應(yīng)的為非平方數(shù)項(xiàng)，因此，，，…，中共有個(gè)無理數(shù)；
符合條件的無序?qū)橄噜弲^(qū)間和中的無理數(shù)對(duì)，
即在區(qū)間和上分別任取一個(gè)無理數(shù)構(gòu)成無理數(shù)對(duì)，
相鄰兩區(qū)間上符合題意的無理數(shù)對(duì)為；
因此總對(duì)數(shù)共有
；
總的組合數(shù)為從個(gè)數(shù)中隨機(jī)取出兩個(gè)，即，
因此，
又，即可得，即，
解得，
易知；
所以正整數(shù)的需滿足，
因此正整數(shù)的最小值為22.

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