一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 已知，則的虛部為（）
A. B. C. D. i
【答案】B
【解析】
【分析】直接計算可得，再用虛部的定義即可.
【詳解】由于，所以的虛部為.
故選：B.
2. 拋物線過點，則的準線方程為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】把點代入拋物線方程，再求得準線方程.
【詳解】把點代入拋物線方程，得，
解得，
所以拋物線方程為，準線方程為.
故選：B.
3. 已知向量，則“”是“”的（）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】計算時的取值，再根據(jù)必要與充分條件的定義判斷即可.
【詳解】當時，，即，
故，解得.
故“”是“”的充分不必要條件.
故選：A
4. 已知，且，則（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)結(jié)合可得與，進而可得.
【詳解】則，
即，
又因為，故，，，
故，因為，則，
結(jié)合可得，，則.
故.
故選：C
5. 為了迎接2025年第九屆亞冬會的召開，某班組織全班學(xué)生開展有關(guān)亞冬會知識的競賽活動．已知該班男生35人，女生25人．根據(jù)統(tǒng)計分析，男生組成績和女生組成績的方差分別為，該班成績的方差為，則下列結(jié)論中一定正確的是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】借助分層抽樣的方差公式計算即可得.
【詳解】設(shè)該班男生組成績和女生組成績的平均分分別為，，兩個班的總的平均分為，
則
，
故選：D.
6. 我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化，每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成，爻分為陽爻“”和陰爻“”，如圖就是一重卦．在所有重卦中隨機取一重卦，記事件“取出的重卦中至少有1個陰爻”，事件“取出的重卦中至少有3個陽爻”．則（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)條件概率的公式，分析求解即可.
【詳解】，事件“取出的重卦中有3陽3陰或4陽2陰或5陽1陰”，
則，則
故選：C
7. 在邊長為4的正三角形中，E，F(xiàn)分別是，的中點，將沿著翻折至，使得，則四棱錐的外接球的表面積是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】畫出圖形，通過分析得出，外接球球心在過底面外接圓圓心且垂直于底面（即平行于）的直線上面，且底面外接圓半徑為，設(shè)到平面的距離為，過作于點，從而，由此列出方程組求出結(jié)合球的表面積公式即可得解.
【詳解】
依題意取的中點為，且交于點，
注意到是的中點，三角形是等邊三角形，從而是三角形的中心，
同時有，，，面，面，
所以面，而面，所以平面面，
故而點在平面的投影在上面，
注意到三角形與三角形都是邊長為2的等邊三角形，即三角形與三角形全等，
從而，，面，面，
所以面，因為面，所以，
因為面，面，所以，
又因為，面，面，故有面，
所以，
注意到點是直角三角形斜邊上的中點，
所以是四邊形（或三角形）外接圓的圓心（這是因為，從而四點共圓），
所以四棱錐的外接球的球心在與平面垂直的上，
且底面四邊形外接圓的半徑為，
設(shè)到平面的距離為，過作于點，
所以，即，
解得，這意味著此時點與點重合，
四棱錐的外接球的表面積是.
故選：C.
8. 在同一平面直角坐標系內(nèi)，函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，已知兩圖象有且僅有一個公共點，其坐標為，則（）
A. 函數(shù)的最大值為1
B. 函數(shù)的最小值為1
C. 函數(shù)的最大值為1
D. 函數(shù)的最小值為1
【答案】C
【解析】
【分析】AB選項，先判斷出虛線部分為，實線部分為，求導(dǎo)得到在R上單調(diào)遞增，AB錯誤；再求導(dǎo)得到時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，故C正確，D錯誤.
【詳解】AB選項，由題意可知，兩個函數(shù)圖像都在x軸上方，任何一個導(dǎo)函數(shù)，
則另外一個函數(shù)應(yīng)該單調(diào)遞增，判斷可知，虛線部分為，
實線部分為，
故恒成立，
故在R上單調(diào)遞增，則A，B顯然錯誤，
對于C，D，，
由圖像可知，恒成立，故單調(diào)遞增，
當，，單調(diào)遞減，
所以函數(shù)在處取得極大值，也為最大值，，C正確，D錯誤.
故選：C
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．
9. 已知的部分圖象如圖所示，則（）
A.
B. 在區(qū)間單調(diào)遞減
C. 在區(qū)間的值域為
D. 在區(qū)間有3個極值點
【答案】AD
【解析】
【分析】求出函數(shù)解析式，進而求得函數(shù)值判斷A，舉反例判斷BC，利用整體代換法判斷D即可.
【詳解】由圖像得，，解得，
故，故此時有，
將代入函數(shù)解析式，得，
故，解得，
而，故，此時，
顯然成立，故A正確，
易知，，而，，
又，故在區(qū)間上并非單調(diào)遞減，故B錯誤，
易知，，
故在區(qū)間的值域不可能為，故C錯誤，
當時，，，
當時，取得極值，
可得在區(qū)間有3個極值點，故D正確.
故選：AD
10. 已知正四棱錐的所有棱長均相等，為頂點在底面內(nèi)的射影，則下列說法正確的有（）
A. 平面平面
B. 側(cè)面內(nèi)存在無窮多個點，使得平面
C. 在正方形的邊上存在點，使得直線與底面所成角大小為
D. 動點分別在棱和上（不含端點），則二面角的范圍是
【答案】BD
【解析】
【分析】過作直線，則為平面與平面的交線，取中點中點F，連接，求得可判斷A；取中點中點H，連接，可得，，可判斷B；由已知可知當Q在正方形各邊中點時，與底面所成的角最大，可得，判斷C；作垂直于，連接，則為二面角的平面角，求得二面角范圍是，判斷D.
【詳解】已知所有棱長都相等，不妨設(shè)為1．
對于A：過S作直線，因為，所以，
所以為平面與平面的交線，
取中點中點F，連接，由正四棱錐，
可得，所以，
所以為二面角的平面角，連接，
在中，
所以平面與平面不垂直，故A錯誤；
對于B：取中點中點H，連接，
因為，又平面，平面，
所以平面，平面，又，
所以平面平面，所以當時，平面，這樣的點P有無窮多，故B正確；
對于C：由已知可知當Q在正方形各邊中點時，與底面所成的角最大，，所以，所以不布存Q使得與底面成的角為，故C錯誤；
對于D：作垂直于，連接，
因為平面，又平面，所以，
又，所以平面，因為平面，所以，
因為則為二面角的平面角，
當都無限向點B靠攏時，；當時，，
所以二面角范圍是，故D正確．
故選：BD.
11. 已知定義在上的函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且滿足，，則（）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)抽象函數(shù)性質(zhì)可確定關(guān)于直線對稱，關(guān)于點對稱，從而可確定其周期性，再結(jié)合單調(diào)性可得函數(shù)的大致圖象，結(jié)合周期性、對稱性、對數(shù)函數(shù)性質(zhì)、三角函數(shù)性質(zhì)逐項判斷即可得結(jié)論.
【詳解】對于函數(shù)有，，則函數(shù)關(guān)于直線對稱，
由，則函數(shù)關(guān)于點對稱，
所以，所以得，
則，故函數(shù)的周期為，且，故函數(shù)為偶函數(shù)，
因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則函數(shù)的大致圖象如下圖：
由對稱性可得，
所以，故A不正確；
由于，，所以，故B正確；
又，，所以，故C正確；
，且，
因為，所以，故，
所以，故D正確.
故選：BCD.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：抽象函數(shù)的性質(zhì)主要是函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性、對稱性，解決本題的關(guān)鍵是結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)確定函數(shù)的圖象，從而可確定函數(shù)值的大小關(guān)系、對稱關(guān)系.考查學(xué)生的基本分析能力與計算能力，屬于中等難度的題型.
第Ⅱ卷（非選擇題共92分）
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，其中14小題第一空2分，第二空3分，共15分．
12. 已知函數(shù)，則________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式結(jié)合自變量范圍求解即可.
【詳解】，，
，
故答案為：
13. 已知，若平面內(nèi)滿足到直線的距離為1的點有且只有3個，則實數(shù)________．
【答案】或
【解析】
【分析】設(shè)出動點的坐標，由求得其軌跡方程，由題意知，只需使圓心到直線的距離等于1即可.
【詳解】設(shè)點，由可得：，
兩邊平方整理得：，即點的軌跡是圓,圓心在原點，半徑為2.
若該圓上有且只有3個點到直線的距離為1，
則圓心到直線的距離，解得．
故答案為：或.
14. 有序?qū)崝?shù)組稱為維向量，為該向量的范數(shù)，范數(shù)在度量向量的長度和大小方面有著重要的作用．已知維向量，其中．記范數(shù)為奇數(shù)的的個數(shù)為，則______；______．（用含的式子表示）
【答案】 ①. 40 ②.
【解析】
【分析】根據(jù)乘法原理和加法原理即可求解；根據(jù)和的展開式相減得到的通項公式.
【詳解】根據(jù)乘法原理和加法原理得到．
奇數(shù)維向量，范數(shù)為奇數(shù)，則的個數(shù)為奇數(shù)，即1的個數(shù)為1，3，5，…，，
根據(jù)乘法原理和加法原理得到，
兩式相減得到.
故答案為：2；.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 已知函數(shù)的圖像在處的切線與直線平行．
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若，且時，，求實數(shù)m的取值范圍．
【答案】（1）在遞增，在遞減
（2）
【解析】
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出，直接利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間；
（2）根據(jù)式子結(jié)構(gòu)構(gòu)造，由在為增函數(shù)，得到在恒成立，令，利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值，即可求解.
小問1詳解】
的導(dǎo)數(shù)為，
可得的圖象在處的切線斜率為，
由切線與直線平行，可得，即，
，，
由，可得，由，可得，則在遞增，在遞減．
【小問2詳解】
因，若，由，
即有恒成立，設(shè)，
所以在為增函數(shù)，即有對恒成立，
可得在恒成立，由的導(dǎo)數(shù)為，
當，可得，在遞減，在遞增，
即有在處取得極小值，且為最小值可得，解得
則實數(shù)m的取值范圍是．
【點睛】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用主要有：
（1）利用導(dǎo)函數(shù)幾何意義求切線方程；
（2）利用導(dǎo)數(shù)研究原函數(shù)的單調(diào)性，求極值（最值）；
（3）利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的取值范圍.
16. 面試是求職者進入職場的一個重要關(guān)口，也是機構(gòu)招聘員工的重要環(huán)節(jié)．某科技企業(yè)招聘員工，首先要進行筆試，筆試達標者才能進入面試．面試環(huán)節(jié)要求應(yīng)聘者回答3個問題，第一題考查對公司的了解，答對得1分，答錯不得分；第二題和第三題均考查專業(yè)知識，每道題答對得2分，答錯不得分．
（1）根據(jù)近幾年的數(shù)據(jù)統(tǒng)計，應(yīng)聘者的筆試得分服從正態(tài)分布，要求滿足為達標．現(xiàn)有1000人參加應(yīng)聘，求進入面試環(huán)節(jié)的人數(shù)．（結(jié)果四舍五入保留整數(shù)）
（2）某進入面試的應(yīng)聘者第一題答對的概率為，后兩題答對的概率均為，每道題是否答對互不影響，求該應(yīng)聘者的面試成績的分布列與數(shù)學(xué)期望．
附：若，則，
【答案】（1）159 （2）分布列見解析，
【解析】
【分析】（1）由正態(tài)分布曲線的性質(zhì)求得對應(yīng)概率，即得對應(yīng)人數(shù)；
（2）由題可知可能取值為，求得對應(yīng)的概率，記得分布列，進一步由期望公式求解即可.
【小問1詳解】
因為服從正態(tài)分布，所以．
因為，所以，
所以．
因此，進入面試的人數(shù)約為159．
【小問2詳解】
由題意可知，的可能取值為，
則；
；
．
所以的分布列為：
所以．
17. 如圖，在三棱柱中，，為的中點，平面.
（1）求證：；
（2）若，求二面角的余弦值.
【答案】（1）證明見解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)給定條件，借助余弦定理及勾股定理的逆定理證得，再利用線面垂直的判定、性質(zhì)推理即得.
（2）由（1）信息以為原點建立空間直角坐標系，利用面面角的向量求法求解即可.
【小問1詳解】
在三棱柱中，，則，
由，得，在中，，
由余弦定理，得，，
于是，由平面平面，得，
而平面，因此平面，又平面，
所以，
【小問2詳解】
由（1）知，兩兩垂直，以為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，
由，得，則，
于是，設(shè)為平面的一個法向量，
則，取，得，顯然為平面的一個法向量，
因此，顯然二面角的大小為銳角，
所以二面角的余弦值為.
18. 已知橢圓的上頂點為B，右焦點為F，點B、F都在直線上．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若圓的兩條相互垂直的切線均不與坐標軸垂直，且直線分別與相交于點A，C和B，D，求四邊形面積的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由點B、F都在直線上，結(jié)合平方關(guān)系即可列出關(guān)于的方程組并求解即可；
（2）設(shè)出直線方程，由直線與圓相切可得，聯(lián)立直線與橢圓方程結(jié)合橢圓方程表示出弦長，進一步表示出面積，從而即可得解.
【小問1詳解】
設(shè)橢圓的半焦距為，由已知點的坐標為，點的坐標為，
因為點B、F都在直線上，所以，，又，
所以，，，
所以橢圓的方程為：，
【小問2詳解】
由題知的斜率存在且不為0．
設(shè)．
因為與圓相切，所以，得．
聯(lián)立與的方程，
可得，
設(shè)，，
，
則，．
所以，
將代入，可得．
用替換，可得．
四邊形的面積．
令，則，可得，
再令，，則，
可得，等號成立當且僅當，即，即，
即四邊形面積的最小值為．
19. 已知數(shù)列的各項均為正整數(shù)，設(shè)集合，記T的元素個數(shù)為．
（1）若數(shù)列，且，，求數(shù)列和集合T；
（2）若是遞增的等差數(shù)列，求證：；
（3）請你判斷是否存在最大值，并說明理由
【答案】（1）；
（2）證明見解析； （3）存在，理由見解析.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)新定義列舉出集合的元素即可求；根據(jù)題意可知，求出，即可求解；
（2）設(shè)公差為d（），則，即可分析得.
（3）利用的定義結(jié)合特例可判斷存在最大值.
【小問1詳解】
由，且，得，均不相等，
則都是集合T中的元素，而，
于是，解得，
所以數(shù)列．
【小問2詳解】
因為為遞增的等差數(shù)列，設(shè)的公差為，
當時，，則，
所以．
【小問3詳解】
存在最大值，理由如下:
依題意，集合中的元素個數(shù)最多為個，即，
取，此時，
若存在，則，其中，
故，若，不妨設(shè)，
則，而，
故為偶數(shù)，為奇數(shù)，矛盾，
即有，，因此由得到的彼此相異，
于是，即的最大值為，所以必有最大值.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：數(shù)列新定義問題，解答的關(guān)鍵在于理解題意并根據(jù)數(shù)列中項的大小及數(shù)字特征分析清楚任意兩項的所有可能取值，從而分析得出的值.0
1
2
3
4
5

相關(guān)試卷

2024湖北省沙市中學(xué)高三下學(xué)期5月模擬預(yù)測試題數(shù)學(xué)含解析：

這是一份2024湖北省沙市中學(xué)高三下學(xué)期5月模擬預(yù)測試題數(shù)學(xué)含解析，共10頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

湖北省沙市中學(xué)2024屆高三下學(xué)期模擬預(yù)測數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析）：

這是一份湖北省沙市中學(xué)2024屆高三下學(xué)期模擬預(yù)測數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析），文件包含湖北省沙市中學(xué)2024屆高三下學(xué)期模擬預(yù)測數(shù)學(xué)試題Word版含解析docx、湖北省沙市中學(xué)2024屆高三下學(xué)期模擬預(yù)測數(shù)學(xué)試題Word版無答案docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共24頁， 歡迎下載使用。

2024衡陽八中高三下學(xué)期高考模擬預(yù)測數(shù)學(xué)試題含解析：

這是一份2024衡陽八中高三下學(xué)期高考模擬預(yù)測數(shù)學(xué)試題含解析，文件包含湖南省衡陽市第八中學(xué)2024屆高三下學(xué)期高考適應(yīng)性練習(xí)數(shù)學(xué)試題含解析docx、湖南省衡陽市第八中學(xué)2024屆高三下學(xué)期高考適應(yīng)性練習(xí)數(shù)學(xué)試題無答案docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共28頁， 歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

海南省文昌中學(xué)2023屆高三模擬預(yù)測數(shù)學(xué)試題（含解析）

海南省文昌中學(xué)2023屆高三模擬預(yù)測數(shù)學(xué)試題（含解析）
2023屆北京市高三高考模擬預(yù)測考試數(shù)學(xué)試題含解析

2023屆北京市高三高考模擬預(yù)測考試數(shù)學(xué)試題含解析
江西省穩(wěn)派聯(lián)考2023屆高三模擬預(yù)測數(shù)學(xué)（文）試題（含解析）

江西省穩(wěn)派聯(lián)考2023屆高三模擬預(yù)測數(shù)學(xué)（文）試題（含解析）
河北省正定中學(xué)2023屆高三模擬預(yù)測（二）數(shù)學(xué)試題（含解析）

河北省正定中學(xué)2023屆高三模擬預(yù)測（二）數(shù)學(xué)試題（含解析）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部