本試題卷共4頁，19題，全卷滿分150分.考試用時120分鐘.
★祝考試順利★
注意事項：
1.答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號、座位號填寫在答題卡上，并認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號、姓名、考場號、座位號及科目，在規(guī)定的位置貼好條形碼.
2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈，再選涂其它答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 設(shè)集合，，若，則（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)交集為空集，即可求解.
【詳解】由于，所以，
故選：A
2. 已知向量，，則在上的投影向量的模為（）
A. B. 1C. 0D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出，根據(jù)投影向量的概念求出向量在向量方向上的投影向量，根據(jù)模的計算公式，即可求得答案.
【詳解】由題意知向量，，則，
故向量在上的投影向量為，
故向量在向量方向上的投影向量的模為.
故選：C
3. 設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過焦點(diǎn)的直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，則的最小值為（）
A. 1B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】聯(lián)立方程得韋達(dá)定理，即可根據(jù)焦點(diǎn)弦公式求解.
【詳解】由得，，
由題意可知直線的斜率存在，故設(shè)其方程為，
聯(lián)立與可得，
設(shè)，則，故，
因此，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
故選：C
4. 已知一組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)是，則的取值范圍為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)上四分位數(shù)的定義將條件轉(zhuǎn)化為中第二大的數(shù)是，再求解.
【詳解】在五個數(shù)中，上四分位數(shù)為第二大的數(shù)，故中第二大的數(shù)是，所以.
故選：C.
5. 若，則（）
A. 180B. C. D. 90
【答案】A
【解析】
【分析】由寫出其通項公式，依題意對賦值即可求得.
【詳解】因，其二項展開式的通項為：
，
而是的系數(shù)，故只需取，得，
即.
故選：A.
6. 已知菱形，，將沿對角線折起，使以四點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐體積最大，則異面直線與所成角的余弦值為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】當(dāng)三棱錐的體積最大時，平面平面，以E為原點(diǎn)，分別為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求出向量的坐標(biāo)，根據(jù)向量夾角的坐標(biāo)表示可解.
【詳解】記的 中點(diǎn)分別為，因為，所以，
同理，，記，
因為，所以，
所以，，
易知，當(dāng)平面平面時，三棱錐的體積最大，此時，
以E為原點(diǎn)，分別為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
則
所以，
所以，
所以異面直線與所成角的余弦值為.
故選：C
7. 拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣次，記事件“次中既有正面朝上又有反面朝上”，“次中至多有一次正面朝上”，下列說法不正確的是（）
A. 當(dāng)時，B. 當(dāng)時，事件與事件不獨(dú)立
C. 當(dāng)時，D. 當(dāng)時，事件與事件不獨(dú)立
【答案】D
【解析】
【分析】分和的情況分別考慮四個選項.
【詳解】當(dāng)時，表示一正一反，故，故A正確；
此時，，
，故B正確；
當(dāng)時，表示并非每次都是正面朝上，
故，故C正確；
此時，，
，所以，故D錯誤.
故選：D.
8. 在三角形中，角，，的對邊分別為，，且滿足，，則面積取最大值時，（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根據(jù)條件，結(jié)合正、余弦定理，得到角的關(guān)系，再用角的三角函數(shù)表示的面積，換元，利用導(dǎo)數(shù)的分析面積最大值，對應(yīng)的角的三角函數(shù)值，再利用角的關(guān)系，求.
【詳解】因為，
又由余弦定理：，所以，
所以.
由正弦定理得：，
所以或（舍去），故.
因為，所以.
由正弦定理：.
所以.
因為，所以.
設(shè)，.
則，
由，
由，
所以在上單調(diào)遞增，在上遞減，
所以當(dāng)時，有最大值.
即當(dāng)時，的面積最大.
此時
故選：A
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題用到了三倍角公式，因為有些教材不講這個公式，所以該公式的記憶或推導(dǎo)在該題中就格外重要.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分.
9. 已知（，，）的部分圖象如圖所示，則（）
A. B. 最小正周期為
C. 在內(nèi)有3個極值點(diǎn)D. 在區(qū)間上的最大值為
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的部分圖象求得，，值，可得函數(shù)解析式，進(jìn)而根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可逐一判斷得解.
【詳解】對于AB，根據(jù)函數(shù)的部分圖象知，，
，，故AB正確，
對于C，由五點(diǎn)法畫圖知，，解得，
由于，所以，
.
令，則，
時，，時，，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，
故在內(nèi)有2個極值點(diǎn)，分別為，，故C錯誤，
對于D，，可得：，
故當(dāng)此時取最大值，故D正確.
故選：ABD.
10. 在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓，圓，為圓上任意一點(diǎn)，為橢圓上任意一點(diǎn).過作橢圓的兩條切線，，當(dāng)，與坐標(biāo)軸不垂直時，記兩切線斜率分別為，，則（）
A. 橢圓的離心率為B. 的最小值為1
C. 的最大值為D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程判斷選項A，再由兩點(diǎn)間距離，判斷BC，利用切線方程的斜率和韋達(dá)定理求解判斷選項D.
【詳解】對于A，根據(jù)題意，，則，故，故A正確；
對于BC，設(shè)，則，
而圓的圓心，半徑為，
則，
因為，所以，則，
所以，即，
所以的最小值為，最大值為，故B錯誤，C正確；
對于D，設(shè)，過點(diǎn)的直線方程為：，
聯(lián)立，，
根據(jù)直線與橢圓的相切，則，
化簡可得，，
可知是方程的兩個根，所以，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)取等號，故D錯誤.
故選：AC
11. 對于函數(shù)，下列說法正確的是（）
A. 函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為
B.
C. 若方程有6個不等實數(shù)根，則
D對任意正實數(shù)，且，若，則
【答案】BCD
【解析】
【分析】對于A，分析導(dǎo)函數(shù)即得遞減區(qū)間，不能用“并”連接；對于B，由推理得，利用函數(shù)單調(diào)性比較即得；對于C，分析函數(shù)的奇偶性，分段討論函數(shù)的單調(diào)性和圖象趨勢，得圖象簡圖，結(jié)合圖象判斷兩函數(shù)交點(diǎn)個數(shù)即得；對于D，設(shè)函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)并判斷其單調(diào)性，利用單調(diào)性得出即可.
【詳解】函數(shù)的定義域為，，
對于A，由可得或，由可得，
即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為和，故A錯誤；
對于B，由A得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
因，，
故，即B正確；
對于C，易知偶函數(shù)，當(dāng)時，，
由A項知，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為和，增區(qū)間為.
又當(dāng)時，，當(dāng)時，，
當(dāng)時，，時，，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，時，，
故函數(shù)的圖象如圖所示.
由圖可得，直線與函數(shù)有6個不同交點(diǎn)，等價于，故C正確；
對于D，由圖，不妨設(shè)，由可得，
即，不妨取，
設(shè)，
則，
則當(dāng)時，，故，在上單調(diào)遞增，
又，又，，即.
因，則，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，
因，故得，即，故D正確.
故選：BCD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)和單調(diào)性應(yīng)用,屬于難題.
解決該題的關(guān)鍵，在于對函數(shù)的圖象性質(zhì)的探求，通過奇偶性單調(diào)性判斷，作出簡圖，利用函數(shù)零點(diǎn)與方程的根、兩函數(shù)的圖象交點(diǎn)的關(guān)系轉(zhuǎn)化解決；同時要根據(jù)待證不等式特征，設(shè)法構(gòu)造對應(yīng)的函數(shù)，利用該函數(shù)的單調(diào)性實現(xiàn)相關(guān)量的比較即得.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知復(fù)數(shù)滿足，則的最小值為______.
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)，由條件得，所求式消元后化成，結(jié)合點(diǎn)的軌跡圖形特征，求得的范圍，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性即得的最小值.
【詳解】設(shè)，由兩邊平方整理得：，
即而，
作出復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡的圖形如圖.
易得，因在定義域內(nèi)為增函數(shù)，
故，
即當(dāng)且僅當(dāng)時，取最小值.
故答案為:.
13. 已知，則______.
【答案】##0.875
【解析】
【分析】根據(jù)弦切互化可得，平方得，即可根據(jù)完全平方求解.
【詳解】由得，平方可得，
故，
，
故答案為：
14. 已知正四棱臺的上底面與下底面的邊長之比為，其內(nèi)切球的半徑為1，則該正四棱臺的體積為______.
【答案】##
【解析】
【分析】依題意作出棱臺的軸截面，利用切線長定理和射影定理求出上下底面邊長，代入棱臺的體積公式計算即得.
【詳解】
如圖，作出正四棱臺的軸截面,設(shè)上底面邊長為，則下底面邊長為，
則，,
故,
在中，,則由射影定理，得，解得，
于是棱臺的上底面面積為，下底面面積為，高為2，
故該正四棱臺的體積為：.
故答案為：.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知.
（1）求并寫出的表達(dá)式；
（2）證明：.
【答案】（1），
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）直接求導(dǎo)并令可得，再代入原表達(dá)式即可；
（2）構(gòu)造函數(shù)并用導(dǎo)數(shù)證明，然后利用即可.
【小問1詳解】
由有，取得到，解得.
將代入可得.
【小問2詳解】
設(shè)，則，故當(dāng)時，當(dāng)時.
所以在上遞減，在上遞增，故.
從而.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于使用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，屬于常規(guī)題.
16. 如圖，已知四棱錐中，平面，四邊形中，，，，，，點(diǎn)在平面內(nèi)的投影恰好是△的重心．
（1）求證：平面平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值．
【答案】（1）證明見解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）通過線線垂直先證明平面，即可由線面垂直證明面面垂直；
（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得直線的方向向量和平面的法向量，即可由向量法求得線面角的正弦值.
【小問1詳解】
因為平面，平面，所以，
因為，所以，
因為，平面，平面，
所以平面，
又因為平面，所以平面平面，所以平面平面．
【小問2詳解】
取中點(diǎn)，連接，
因為，，，，
所以四邊形是矩形，所以，
因為平面，所以，，
所以、、兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：
，，，，，
設(shè)，則，
，，，
因為點(diǎn)在平面內(nèi)的投影恰好是△的重心，所以，
所以，所以，，又，，
令，
因為，，
所以是平面的法向量，
的方向向量是，
所以直線與平面所成角的正弦值為
.
故直線與平面所成角的正弦值為.
17. 已知雙曲線，直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，直線與雙曲線交于，兩點(diǎn).
（1）若直線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，且直線，的斜率，均存在，求；
（2）設(shè)直線與直線的交點(diǎn)為，且，證明：直線與直線的斜率之和為0.
【答案】（1）1 （2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)斜率公式，結(jié)合點(diǎn)差法即可求解，
（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程得韋達(dá)定理，即可根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算得數(shù)量積,,進(jìn)而根據(jù)等量關(guān)系化簡即可求解.
【小問1詳解】
當(dāng)直線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)時，，兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱.
設(shè)，，，
于是，.
因，，三點(diǎn)都在雙曲線，
所以，兩式作差，，所以
.
【小問2詳解】
已知，由題意可知均有斜率，
可設(shè)直線，直線，，，，.
，.
聯(lián)立直線方程與雙曲線的方程：.
整理得，，
當(dāng)時，.
，.
于是，
同理可得，.
因為，所以
整理得，，而，所以.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中的范圍或最值或定值問題，可根據(jù)題意構(gòu)造關(guān)于參數(shù)的目標(biāo)函數(shù)，然后根據(jù)題目中給出的范圍或由判別式得到的范圍求解，解題中注意函數(shù)單調(diào)性和基本不等式的作用．另外在解析幾何中還要注意向量的應(yīng)用，如本題中根據(jù)向量的數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算.
18. 某企業(yè)生產(chǎn)一種零部件，其質(zhì)量指標(biāo)介于的為優(yōu)品.技術(shù)改造前，該企業(yè)生產(chǎn)的該種零部件質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布；技術(shù)改造后，該企業(yè)生產(chǎn)的同種零部件質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布.
附：若，取，.
（1）求該企業(yè)生產(chǎn)的這種零部件技術(shù)改造后的優(yōu)品率與技術(shù)改造前的優(yōu)品率之差；
（2）若該零件生產(chǎn)的控制系統(tǒng)中每個元件正常工作的概率都是，各個元件能否正常工作相互獨(dú)立，如果系統(tǒng)中有超過一半的元件正常工作，系統(tǒng)就能正常工作. 系統(tǒng)正常工作的概率稱為系統(tǒng)的可靠性.
①若控制系統(tǒng)原有個元件，計算該系統(tǒng)的可靠性，并判斷若給該系統(tǒng)增加一個元件，可靠性是否提高？
②假設(shè)該系統(tǒng)配置有個元件，若再增加一個元件，是否一定會提高系統(tǒng)的可靠性？請給出你的結(jié)論并證明.
【答案】（1）
（2）①可靠性為，增加一個元件后系統(tǒng)的可靠性會提高；②當(dāng)為奇數(shù)時，增加一個元件后系統(tǒng)的可靠性會下降；當(dāng)為偶數(shù)時，增加一個元件后系統(tǒng)的可靠性會提高.
【解析】
【分析】（1）直接根據(jù)題目條件及給定的正態(tài)分布數(shù)據(jù)求解；
（2）利用二項分布的概率性質(zhì)求解可靠性，并比較不同的取值下可靠性的大小關(guān)系即可，當(dāng)然也可以采取其它的思路求解.
【小問1詳解】
技術(shù)改造前，易知，，則其優(yōu)品率為；
技術(shù)改造后，，，則其優(yōu)品率為.
所以優(yōu)品率之差為.
【小問2詳解】
①記為原系統(tǒng)中正常工作元件個數(shù)，為增加一個元件后正常工作元件個數(shù).
由條件知，，.
，.
因為，所以可靠性提高.
②方法一：
根據(jù)上一問的假設(shè)，易知，.
當(dāng)為奇數(shù)時，設(shè)，原系統(tǒng)的可靠性為，新系統(tǒng)的可靠性為，由題意可知，
.
所以，，這說明可靠性降低.
當(dāng)為偶數(shù)時，設(shè)，原系統(tǒng)的可靠性為，新系統(tǒng)的可靠性為，由題意可知，
.
所以，，這說明可靠性提高.
綜上，當(dāng)為奇數(shù)時，增加一個元件后系統(tǒng)的可靠性會下降；當(dāng)為偶數(shù)時，增加一個元件后系統(tǒng)的可靠性會提高.
方法二：
當(dāng)為奇數(shù)時，設(shè)，原系統(tǒng)的可靠性為，新系統(tǒng)的可靠性為，由題意可知，
于是，
，
這說明可靠性降低.
當(dāng)為偶數(shù)時，設(shè)，原系統(tǒng)的可靠性為，新系統(tǒng)的可靠性為，由題意可知，
于是，
.
這說明可靠性提高.
綜上，當(dāng)為奇數(shù)時，增加一個元件后系統(tǒng)的可靠性會下降；當(dāng)為偶數(shù)時，增加一個元件后系統(tǒng)的可靠性會提高.
方法三：
設(shè)兩兩獨(dú)立且均服從二項分布，記，則該系統(tǒng)配置有個元件時，系統(tǒng)的可靠性為.
則
，且
.
這就得到，.
這表明，當(dāng)為奇數(shù)時，增加一個元件后系統(tǒng)的可靠性會下降；當(dāng)為偶數(shù)時，增加一個元件后系統(tǒng)的可靠性會提高.
注意到服從二項分布，故.
進(jìn)行完以上準(zhǔn)備工作后，我們回到原題.
①若控制系統(tǒng)原有個元件，則系統(tǒng)的可靠性為.
而是偶數(shù)，所以增加一個元件后系統(tǒng)的可靠性會提高；
②根據(jù)上面的結(jié)論，當(dāng)為奇數(shù)時，增加一個元件后系統(tǒng)的可靠性會下降；當(dāng)為偶數(shù)時，增加一個元件后系統(tǒng)的可靠性會提高.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第2小問②的結(jié)果本質(zhì)上是因為：當(dāng)是偶數(shù)時，若添加一個元件，那么要求的正常工作的元件的最小數(shù)量不變，還是，但是元件多了一個，所以正常工作的元件數(shù)目必然有更大的機(jī)會達(dá)到要求的值，所以可靠性一定更大了；
而當(dāng)是奇數(shù)時，若添加一個元件，那么要求的未能正常工作的元件的最大數(shù)量不變，還是，但是元件多了一個，所以未能正常工作的元件數(shù)目必然有更大的機(jī)會突破允許的最大值，所以可靠性一定更小了.
第2小問的方法三的關(guān)鍵在于：構(gòu)造一列獨(dú)立同分布隨機(jī)變量來比較不同的概率，相比構(gòu)造單個二項分布隨機(jī)變量，構(gòu)造一列獨(dú)立同分布隨機(jī)變量會更加便于比較不同的概率，因為此時每個隨機(jī)變量的取值范圍都非常有限，而進(jìn)行比較時只需要研究多出的一個隨機(jī)變量即可. 這就避免了花費(fèi)力氣對兩個取值范圍很廣的隨機(jī)變量進(jìn)行比較，那樣太過困難.
19. 混沌現(xiàn)象普遍存在于自然界和數(shù)學(xué)模型中，比如天氣預(yù)測、種群數(shù)量變化和天體運(yùn)動等等，其中一維線段上的拋物線映射是混沌動力學(xué)中最基礎(chǔ)應(yīng)用最廣泛的模型之一，假設(shè)在一個混沌系統(tǒng)中，用來表示系統(tǒng)在第個時刻的狀態(tài)值，且該系統(tǒng)下一時刻的狀態(tài)滿足，，其中.
（1）當(dāng)時，若滿足對，有，求的通項公式；
（2）證明：當(dāng)時，中不存在連續(xù)的三項構(gòu)成等比數(shù)列；
（3）若，，記，證明：.
【答案】（1）；
（2）證明見解析； （3）證明見解析.
【解析】
【分析】（1）把代入，利用給定的兩個遞推關(guān)系，建立方程組求解即得.
（2）利用反證法，結(jié)合已知定義導(dǎo)出矛盾即可得證.
（3）先確定數(shù)列的范圍和單調(diào)性，然后利用結(jié)合放縮法推理即得.
【小問1詳解】
當(dāng)時，，依題意，①，②，
兩式作差，，則或，
若，代入①式解得，或，而，于是；
若，將代入②式解得，.
因此必有.
注意到，，從而由歸納即知是常數(shù)列.
所以的通項公式為.
【小問2詳解】
假設(shè)，，構(gòu)成等比數(shù)列，則.
那么由，可知.
又，則，解得，與矛盾.
所以中不存在連續(xù)的三項構(gòu)成等比數(shù)列.
【小問3詳解】
由于當(dāng)時，有，，即.
而，，故歸納即知對任意正整數(shù)都有.
又由及可知，故數(shù)列單調(diào)遞減.
又由于，故
.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及給出遞推公式探求數(shù)列性質(zhì)的問題，認(rèn)真分析遞推公式并進(jìn)行變形，可借助累加、累乘求通項的方法分析、探討項間關(guān)系而解決問題.

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湖北省武漢市2024屆高三下學(xué)期5月模擬訓(xùn)練試題數(shù)學(xué)試卷：

這是一份湖北省武漢市2024屆高三下學(xué)期5月模擬訓(xùn)練試題數(shù)學(xué)試卷，共19頁。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

數(shù)學(xué)：湖北省武漢市2024屆高三下學(xué)期5月模擬訓(xùn)練試題試卷（解析版）：

這是一份數(shù)學(xué)：湖北省武漢市2024屆高三下學(xué)期5月模擬訓(xùn)練試題試卷（解析版），共19頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

湖北省武漢市2024屆高三下學(xué)期5月模擬訓(xùn)練數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析）：

這是一份湖北省武漢市2024屆高三下學(xué)期5月模擬訓(xùn)練數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析），文件包含湖北省武漢市2024屆高三下學(xué)期5月模擬訓(xùn)練試題數(shù)學(xué)試卷Word版含解析docx、湖北省武漢市2024屆高三下學(xué)期5月模擬訓(xùn)練試題數(shù)學(xué)試卷Word版無答案docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共26頁， 歡迎下載使用。

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