一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 3.已知向量，，則（）
A. B. C. 2D. -2
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)平行關(guān)系得到方程，求出.
【詳解】由題意可知，則.
故選：B
2. 如圖，在平行四邊形中，，E是邊上一點，且，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由題意結(jié)合平面向量的線性運算法則、向量的數(shù)乘即可得解.
【詳解】由題意，
所以.
故選：D.
【點睛】本題考查了平面向量線性運算法則及平面向量數(shù)乘的應(yīng)用，考查了平面向量基本定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.
3. 在中，角所對的邊分別為.若，則（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)正弦定理，即可求解.
【詳解】根據(jù)正弦定理可知，，，
則，得.
故選：A
4. 已知，，與同向的單位向量為，若在上的投影向量為，則與的夾角（）
A. 60°B. 120°
C. 135°D. 150°
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)向量在向量上投影向量的定義計算即可得解.
【詳解】因為在上的投影向量為，
所以，即，解得，
由知，.
故選：B
5. 冬奧會會徽以漢字“冬”（如圖1甲）為靈感來源，結(jié)合中國書法的藝術(shù)形態(tài)，將悠久的中國傳統(tǒng)文化底蘊與國際化風(fēng)格融為一體，呈現(xiàn)出中國在新時代的新形象?新夢想.某同學(xué)查閱資料得知，書法中的一些特殊畫筆都有固定的角度，比如彎折位置通常采用等特殊角度.為了判斷“冬”的彎折角度是否符合書法中的美學(xué)要求.該同學(xué)取端點繪制了（如圖乙），測得，若點恰好在邊上，請幫忙計算的值（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】在中，由余弦定理求出，再在中，由得出，即可.
【詳解】由題意，在中，由余弦定理可得，，在中，由得，
故選：D.
6. 如圖，正六邊形的邊長為，半徑為1的圓O的圓心為正六邊形的中心，若點M在正六邊形的邊上運動，動點A，B在圓O上運動且關(guān)于圓心O對稱，則的取值范圍為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意，由平面向量數(shù)量積的運算化簡，可得，再由的范圍，即可得到結(jié)果.
【詳解】由題意可得，
，
當(dāng)與正六邊形的邊垂直時，，
當(dāng)點運動到正六邊形的頂點時，，
所以，則，即.
故選：B
7. 在三角形中，點是在邊上且邊上存在點滿足，直線和直線交于點，若，則的值為（）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】將和都用和表示出來，然后利用列式計算即可.
【詳解】由題意，，
則，
同理可得：，
因為直線和直線交于點,
所以存在使，
即，兩式作商得
解得.
故選：C.
8. 在中，，若點為的中點，則的取值范圍為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用向量加法運算及數(shù)量積模的公式求得，利用余弦定理求得，再根據(jù)基本不等式求解即可.
【詳解】因為為的中點，所以，
可得，
由余弦定理可得，所以，
所以，
因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號，
所以，即.
故選：D.
二?多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 下面給出的關(guān)系式中，正確的是（）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】由向量數(shù)量積的概念、性質(zhì)及運算律即可得出答案.
【詳解】對：由可得，而，故A說法正確；
對B：取，則成立，但不一定成立，故B說法錯誤；
對C：表示與共線的向量，而表示與共線的向量，所以不一定成立，故C說法錯誤；
對D：因為，故，故D說法正確.
故選：AD.
10. 在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則下列說法正確的是（）
A. 若，且，則為直角三角形
B. 若，，，要使?jié)M足條件的三角形有且只有兩個，則
C. 若平面內(nèi)有一點滿足：，且，則為等邊三角形
D. 若，則鈍角三角形
【答案】BC
【解析】
【分析】A：由已知確定的角平分線與BC垂直，所以，所以，再利用向量夾角的余弦得出，最后得出是等邊三角形，判斷A錯；由正弦函數(shù)值確定角的范圍判斷B正確；由向量模長關(guān)系得到角的大小，再用全等關(guān)系得出等邊三角形判斷C正確；D利用弦切互化，三角恒等變換和兩角和與差的正余弦展開式判斷D錯誤.
【詳解】對于選項A，因為，，分別為單位向量，所以的角平分線與BC垂直，所以，所以.又因為，
即，因為，所以，所以，所以為等邊三角形，故選項A錯誤；
對于選項B，要使?jié)M足條件三角形有且只有兩個，則，因為，，所以，即，所以，故選項B正確；
對于C，因為，故，即，又，所以，故，由于，故，同理可得，結(jié)合，故，可得，故為等邊三角形，C正確；
對于D.，
而，所以A，B，C都為銳角，D錯誤；
故選：BC.
11. 已知的內(nèi)角的對邊為，，，下列說法中正確的是（ ）
A. 若，則.
B. 若滿足的恰有一個，則的取值范圍是.
C. 若，則.
D. 若，則該三角形內(nèi)切圓面積的最大值是.
【答案】ACD
【解析】
【分析】對于A，根據(jù)同角公式化為，再根據(jù)正弦定理可得，故A正確；對于B，根據(jù)三角形解的個數(shù)的結(jié)論可得B不正確；對于C，根據(jù)二倍角的正余弦公式求解可知C正確；對于D，由正弦定理邊化角，根據(jù)兩角和的正弦公式變形可得，再求出內(nèi)切圓半徑的最大值，可得內(nèi)切圓面積的最大值，可知D正確；
【詳解】對于A，若，則，則，
因為為三角形的內(nèi)角，所以，，
所以，根據(jù)正弦定理得，故A正確；
對于B，若滿足的恰有一個，則或，
即或，故B不正確；
對于C，若，則，
則，因為，所以，，
所以，所以，所以，
所以，，
因為，，，
所以，
所以
，故C正確；
對于D，若，由正弦定理得，
得，
得，
得，得，
因為為三角形的內(nèi)角，，，所以，
所以，因為，所以，
設(shè)該三角形內(nèi)切圓半徑為，
則，又，所以，
所以
，
因為，所以，，
所以，
因為，所以，所以，
所以，所以該三角形內(nèi)切圓面積的最大值為.故D正確；
故選：ACD
【點睛】關(guān)鍵點點睛：熟練運用三角恒等變換公式、正弦定理進行變形化簡是本題解題關(guān)鍵.
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知單位向量滿足，則=______.
【答案】5
【解析】
【分析】根據(jù)得到，然后求即可.
【詳解】因為單位向量，滿足，
所以，即，即，
，
所以.
故答案為：5.
13. 在中，，，則外接圓半徑為______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)面積公式和數(shù)量積的定義可求，根據(jù)同角的三角函數(shù)基本關(guān)系式和正弦定理可求外接圓的半徑.
【詳解】因為，故,
故，故為銳角，故，
故外接圓的半徑為，
故答案為：.
14. 設(shè)點，若動點滿足，且，則的最大值為______．
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)，根據(jù)向量的坐標(biāo)表示和模的概念可得，由題意和相等向量可得，進而，結(jié)合基本不等式計算即可求解.
【詳解】設(shè)，則，
由，得，
整理，得，
又，
代入，
有，所以，
由，得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
所以，得，
所以.
即的最大值為.
故答案為：
四?解答題：本題共小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
15. 已知向量，．
（1）求的值；
（2）若向量與向量的夾角為鈍角，求實數(shù)t的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出，然后利用向量求模公式即可；
（2）向量與向量的夾角為鈍角可得數(shù)量積小于0，且兩個向量不能共線，列式計算可得取值范圍
【小問1詳解】
因為，，
所以，所以
【小問2詳解】
由于，，向量與向量夾角為鈍角，
所以，且向量與向量不能共線，
即
所以，且，
故實數(shù)t的取值范圍為：
16. 在中，角的對邊分別為，已知.
（1）求；
（2）若，求面積的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊角化可得，即可利用輔助角公式求解，
（2）根據(jù)余弦定理可得，利用不等式即可求解，由面積公式即可求解.
【小問1詳解】
由正弦定理得，
又，
.
，，即，
.
.
【小問2詳解】
由余弦定理有，
，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.
.
17. 如圖，在平面四邊形中，，，.
（1）若的面積為，求的長；
（2）若，.求的大小.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）由已知利用三角形的面積公式可求，然后在中，利用余弦定理求解；
（2）設(shè)，易知，再由，，然后在中，利用正弦定理求解.
【詳解】（1）在中，因為，，
的面積為，
所以，解得，
在中，由余弦定理的，
所以.
（2）設(shè)，則，
在中，因為，
所以，
在中，，
由正弦定理，可得，即，
所以，
因為為銳角，
所以，
解得，即的值為.
18. 在銳角△ABC中，角A，B，C所對邊分別是a，b，c．已知，
．
（1）求角B；
（2）若M是△ABC內(nèi)的一動點，且滿足，則是否存在最大值？若存在，請求出最大值及取最大值的條件；若不存在，請說明理由；
（3）若D是△ABC中AC上的一點，且滿足，求的取值范圍．
【答案】（1）
（2）當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，；
（3）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理邊化角以及三角恒等變形即可求解，或者先利用余弦定理可得，再利用正弦定理邊化角即可求解；
（2）先利用向量的線性運算將用△的邊長表示出來，再利用余弦定理以及基本不等式即可求解；
（3）由可知BD平分∠ABC，利用三角形面積公式可得，最后利用正弦定理及三角恒等變形即可求解.
【小問1詳解】
法1：
∵，∴，
由正弦定理得,
即，
∴，
∴，
又∵，∴，∴，
又∵，∴；
法2：
∵，∴，
∴①，
在△ABC中，由余弦定理得，②，
由①②得，即
∴由正弦定理得，
又∵，∴，∴，
又∵，∴；
【小問2詳解】
點是△內(nèi)一動點，，
∴，
∴，∴，
由余弦定理知,
由基本不等式可得，即，，
∴，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
∴；
【小問3詳解】
∵，∴，
∴，
又∵余弦函數(shù)在上單調(diào)，∴，即BD平分∠ABC，
又∵，，∴①，
又∵，，∴②，
由①②可得，
所以
，
又∵，且△為銳角三角形，∴，
∴，∴，
∴．
19. 將所有平面向量組成的集合記作，是從到的映射，記作或，其中，，，，，，都是實數(shù).定義映射的模為：在的條件下的最大值，記作.若存在非零向量，及實數(shù)使得，則稱為的一個特征值.
（1）若，求；
（2）如果，計算的特征值，并求相應(yīng)的；
（3）若，要使有唯一的特征值，實數(shù)，，，應(yīng)滿足什么條件？試找出一個映射，滿足以下兩個條件：①有唯一的特征值；②，并驗證滿足這兩個條件.
【答案】（1）
（2）答案見解析（3），，驗證答案見解析
【解析】
【分析】（1）由新定義可得，利用，可得
，從而得出結(jié)論；
（2）由特征值的定義可得，由此可知的特征值，以及相應(yīng)的；
（3）解方程組，可得，
從而可得、、、應(yīng)滿足的條件，當(dāng)時，有唯一的特征值，且，
再進行證明即可.
【小問1詳解】
由于此時，又因為是在的條件下，
有（時取最大值），所以此時有.
【小問2詳解】
由，
可得：，即
兩式相比可得：，從而，
當(dāng)時，解方程,此時這兩個方程是同一個方程，
所以此時方程有無窮多個解，為（寫出一個即可），其中且，
當(dāng)時，同理可得，相應(yīng)的（寫出一個即可），其中且.
【小問3詳解】
解方程組，即，
從而向量與平行，
則有，，，應(yīng)滿足：，
當(dāng)時，有唯一的特征值，且.具體證明為：
由定義可知：對任意的有：，
所以為特征值.此時，，，，
滿足：，所以有唯一的特征值.
在的條件下，從而有.

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