滬教版高中數(shù)學(xué)必修二講義專題06 兩角和與差的正弦 余弦 正切（原卷版+解析版）

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通過兩角和與差的正弦、正切公式及輔助角公式的推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理核心素養(yǎng)；借助兩角和與差的余弦、正弦、正切公式、輔助角公式的應(yīng)用，提升學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)；
一、《必修第二冊》目錄與內(nèi)容提要
第6章 三角
6.1 正弦、余弦、正切、余切：6.1.1銳角的正弦、余弦、正切、余切，6.1.2任意角及其度量，6.1.3任意角的正弦、余弦、正切、余切，6.1.4誘導(dǎo)公式，6.1.5已知正弦、余弦或正切值求角
6.2 常用三角公式：6.2.1兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，6.2.2二倍角公式，6.2.3三角變換的應(yīng)用
6.3 解三角形：6.3.1正弦定理，6.3.2余弦定理；
第六章內(nèi)容提要
2、常用三角公式
和角與差角公式：
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二、考點解讀
1、兩角和與差的余弦公式
Cα＋β：cs(α＋β)＝csαcsβ－sinαsinβ.
Cα－β：cs(α－β)＝csαcsβ＋sinαsinβ.
【說明】思考：用向量法推導(dǎo)兩角差的余弦公式時，角α、β終邊與單位圓交點P1、P2的坐標(biāo)是怎樣得到的？
【解析】依據(jù)任意角三角函數(shù)的定義得到的．以點P為例，若設(shè)P(x，y)，則sin α＝eq \f(y,1)，cs α＝eq \f(x,1)，所以x＝cs α，y＝sin α，即點P坐標(biāo)為(cs α，sin α)．；
思考：根據(jù)公式C(α±β)的識記規(guī)律，你能總結(jié)出公式S(α±β)的記憶規(guī)律嗎？
【解析】對比公式C(α±β)的識記規(guī)律“余余正正，和差相反”可得公式S(α±β)的記憶規(guī)律：“正余余正，和差相同”．
2、兩角和與差的正弦公式
Sα＋β：sin(α＋β)＝sinαcsβ＋csαsinβ.
Sα－β：sin(α－β)＝sinαcsβ－csαsinβ.
3、輔助角公式
y＝asin x＋bcs x＝eq \r(a2＋b2)sin(x＋θ)(a，b不同時為0)，其中cs θ＝eq \f(a,\r(a2＋b2))，sin θ＝eq \f(b,\r(a2＋b2)).
4、兩角和的正切公式
Tα＋β：tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β) .
Tα－β：tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β) .
【說明】思考：你能舉出幾個兩角和與差的正切公式的變形式嗎？
【解析】 (1)tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)；
(2)1－tan αtan β＝eq \f(tan α＋tan β,tan?α＋β?)；
(3)tan α＋tan β＋tan αtan β tan(α＋β)＝tan(α＋β)；
(4)tan αtan β＝1－eq \f(tan α＋tan β,tan?α＋β?).
兩角和角與差角的正弦、余弦、正切公式：
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，
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題型1、利用兩角和與差的余弦公式化簡求值
例7、化簡下列各式：
（1）cs(θ＋21°)cs(θ－24°)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°)；
【提示】注意：利用誘導(dǎo)公式，兩角差的余弦公式求解；
【解析】原式＝cs[θ＋21°－(θ－24°)]＝cs 45°＝eq \f(\r(2),2)，所以原式＝eq \f(\r(2),2)；
（2）求sin 157°cs 67°＋cs 23°sin 67°的值；
【解析】原式＝sin(180°－23°)cs 67°＋cs 23°sin 67°
＝sin 23°cs 67°＋cs 23°sin 67°＝sin(23°＋67°)＝sin 90°＝1.
（3）求eq \f(tan 75°－tan 15°,1＋tan 75°tan 15°)的值；
【解析】原式＝tan (75°－15°)＝tan 60°＝eq \r(3)；
【說明】1、在兩角和與差的余弦公式中，α，β可以是單個角，也可以是兩個角的和或差，在運用公式時常將兩角的和或差視為一個整體；
2、在兩角和與差的余弦公式求值應(yīng)用中，一般思路是：
（1）把非特殊角轉(zhuǎn)化為特殊角的和或差，正用公式直接求值；
（2）在轉(zhuǎn)化過程中，充分利用誘導(dǎo)公式，構(gòu)造兩角和或差的余弦公式的結(jié)構(gòu)形式，然后逆用公式求值；
題型2、注意“變角”利用公式化簡求值
例2、（1）sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))＋2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))－eq \r(3)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－x))；
【提示】對于非特殊角的三角比值代數(shù)式化簡應(yīng)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角比值．
【解析】原式＝sin xcs eq \f(π,3)＋cs xsin eq \f(π,3)＋2sin xcs eq \f(π,3)－2cs xsin eq \f(π,3)－eq \r(3)cs eq \f(2π,3)cs x－eq \r(3)sin eq \f(2π,3)sin x
＝eq \f(1,2)sin x＋eq \f(\r(3),2)cs x＋sin x－eq \r(3)cs x＋eq \f(\r(3),2)cs x－eq \f(3,2)sin x
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＋1－\f(3,2)))sin x＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)－\r(3)＋\f(\r(3),2)))cs x＝0.
（2）求sin(θ＋75°)＋cs(θ＋45°)－eq \r(3)cs(θ＋15°)的值．
【提示】對于非特殊角的三角比值代數(shù)式化簡應(yīng)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角比值．
【解析】sin(θ＋75°)＋cs(θ＋45°)－eq \r(3)cs(θ＋15°)
＝sin(θ＋15°＋60°)＋cs(θ＋15°＋30°)－eq \r(3)cs(θ＋15°)
＝sin(θ＋15°)cs 60°＋cs(θ＋15°)sin 60°＋cs(θ＋15°)·cs 30°－sin(θ＋15°)sin 30°－eq \r(3)cs(θ＋15°)
＝eq \f(1,2)sin(θ＋15°)＋eq \f(\r(3),2)cs(θ＋15°)＋eq \f(\r(3),2)cs(θ＋15°)－eq \f(1,2)sin(θ＋15°)－eq \r(3)cs(θ＋15°)＝0；
【說明】1、對于非特殊角的三角函數(shù)式，要想利用兩角和與差的正弦、余弦公式求出具體數(shù)值，一般有以下三種途徑：（1）化為特殊角的三角函數(shù)值；（2）化為正負相消的項，消去，求值；（3）化為分子、分母形式，進行約分再求值；
2、在進行求值過程的變換中，一定要本著先整體后局部的基本原則，先整體分析三角函數(shù)式的特點，如果整體符合三角公式，則整體變形，否則進行各局部的變換；
題型3、利用公式給值(式)求值
例3、（1）已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，sin α＝eq \f(3,5)，求taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))的值；
【提示】應(yīng)用公式?注意角的范圍?求出所給角的三角比值；
【解析】因為sin α＝eq \f(3,5)，且α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，所以cs α＝－eq \f(4,5)，所以tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝eq \f(\f(3,5),－\f(4,5))＝－eq \f(3,4)，
故taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(tan α＋tan\f(π,4),1－tan αtan\f(π,4))＝eq \f(－\f(3,4)＋1,1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)))×1)＝eq \f(1,7)；
（2）已知α，β為銳角，cs(α＋β)＝eq \f(12,13)，cs(2α＋β)＝eq \f(3,5)，求cs α的值．
【提示】可考慮拆角即α＝(2α＋β)－(α＋β)來求cs α；
【解析】因為α，β為銳角，所以0