題型一：方案選擇問題
【中考母題學(xué)方法】
【典例1】（電話計(jì)費(fèi)）（2023·四川·中考真題）某移動(dòng)公司推出A，B兩種電話計(jì)費(fèi)方式．
(1)設(shè)一個(gè)月內(nèi)用移動(dòng)電話主叫時(shí)間為tmin，根據(jù)上表，分別寫出在不同時(shí)間范圍內(nèi)，方式A，方式B的計(jì)費(fèi)金額關(guān)于t的函數(shù)解析式；
(2)若你預(yù)計(jì)每月主叫時(shí)間為350min，你將選擇A，B哪種計(jì)費(fèi)方式，并說明理由；
(3)請(qǐng)你根據(jù)月主叫時(shí)間t的不同范圍，直接寫出最省錢的計(jì)費(fèi)方式．
【答案】(1)見解析；
(2)選方式B計(jì)費(fèi)，理由見解析；
(3)見解析．
【分析】（1）根據(jù)題意，設(shè)兩種計(jì)費(fèi)金額分別為、，分別計(jì)算三個(gè)不同范圍內(nèi)的A、B兩種方式的計(jì)費(fèi)金額即可；
（2）令，根據(jù)（1）中范圍求出對(duì)應(yīng)兩種計(jì)費(fèi)金額，選擇費(fèi)用低的方案即可；
（3）令，求出此時(shí)的值，當(dāng)主叫時(shí)間時(shí)，方式A省錢；當(dāng)主叫時(shí)間時(shí)，方式A和B一樣；當(dāng)主叫時(shí)間時(shí)，方式B省錢；
【詳解】（1）解：根據(jù)題意，設(shè)兩種計(jì)費(fèi)金額分別為、
當(dāng)時(shí)，方式A的計(jì)費(fèi)金額為元，方式B的計(jì)費(fèi)金額為108元；
方式A的計(jì)費(fèi)金額，方式B的計(jì)費(fèi)金額為108元；
當(dāng)時(shí)，方式A的計(jì)費(fèi)金額為，方式B的計(jì)費(fèi)金額為
總結(jié)如下表：
（2）解：當(dāng)時(shí)，
，故選方式B計(jì)費(fèi)．
（3）解：令，有解得
∴當(dāng)時(shí)，方式A更省錢；
當(dāng)時(shí)，方式A和B金額一樣；
當(dāng)時(shí)，方式B更省錢．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)在電話計(jì)費(fèi)中的應(yīng)用，根據(jù)題意分段討論是求解的關(guān)鍵．
【變式1-1】（租車問題）（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·中考真題）學(xué)校通過勞動(dòng)教育促進(jìn)學(xué)生樹德、增智、強(qiáng)體、育美全面發(fā)展，計(jì)劃組織八年級(jí)學(xué)生到“開心”農(nóng)場(chǎng)開展勞動(dòng)實(shí)踐活動(dòng)．到達(dá)農(nóng)場(chǎng)后分組進(jìn)行勞動(dòng)，若每位老師帶38名學(xué)生，則還剩6名學(xué)生沒老師帶；若每位老師帶40名學(xué)生，則有一位老師少帶6名學(xué)生．勞動(dòng)實(shí)踐結(jié)束后，學(xué)校在租車總費(fèi)用2300元的限額內(nèi)，租用汽車送師生返校，每輛車上至少要有1名老師．現(xiàn)有甲、乙兩種大型客車，它們的載客量和租金如下表所示
(1)參加本次實(shí)踐活動(dòng)的老師和學(xué)生各有多少名？
(2)租車返校時(shí)，既要保證所有師生都有車坐，又要保證每輛車上至少有1名老師，則共需租車________輛；
(3)學(xué)校共有幾種租車方案？最少租車費(fèi)用是多少？
【答案】(1)參加本次實(shí)踐活動(dòng)的老師有6名，學(xué)生有234名
(2)6
(3)學(xué)校共有兩套租車方案，最少租車費(fèi)用是2160元
【分析】（1）設(shè)參加本次實(shí)踐活動(dòng)的老師有x名，根據(jù)“若每位老師帶38名學(xué)生，則還剩6名學(xué)生沒老師帶；若每位老師帶40名學(xué)生，則有一位老師少帶6名學(xué)生”列出方程求解即可；
（2）根據(jù)每輛車上至少有1名老師，參加本次實(shí)踐活動(dòng)的老師有6名，得出汽車總數(shù)不超過6輛，根據(jù)要保證所有師生都有車坐，得出汽車總數(shù)不少于輛，即可解答；
（3）設(shè)租用甲客車a輛，則租用乙客車輛，列出不等式組，解得，設(shè)租車費(fèi)用為y元，得出，根據(jù)一次函數(shù)增減性得出y隨a的增大而增大，即可解答．
【詳解】（1）解：設(shè)參加本次實(shí)踐活動(dòng)的老師有x名，
，
解得：，
∴，
答：參加本次實(shí)踐活動(dòng)的老師有6名，學(xué)生有234名；
（2）解：∵每輛車上至少有1名老師，參加本次實(shí)踐活動(dòng)的老師有6名，
∴汽車總數(shù)不超過6輛，
∵要保證所有師生都有車坐，
∴汽車總數(shù)不少于（輛），則汽車總數(shù)最少為6輛，
∴共需租車6輛，
故答案為：6．
（3）解：設(shè)租用甲客車a輛，則租用乙客車輛，
，
解得：，
∵a為整數(shù)，
∴或，
方案一：租用甲客車4輛，則租用乙客車2輛；
方案二：租用甲客車5輛，則租用乙客車1輛；
設(shè)租車費(fèi)用為y元，
，
∵，
∴y隨a的增大而增大，
∴當(dāng)時(shí)，y最小，，
綜上：學(xué)校共有兩套租車方案，最少租車費(fèi)用是2160元．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用，一元一次不等式組的實(shí)際應(yīng)用，一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確理解題意，根據(jù)題意找出數(shù)量關(guān)系，列出方程、不等式組、一次函數(shù)表達(dá)式．
【變式1-2】（購(gòu)買方案）（2024·河南周口·三模）某家用電器廠生產(chǎn)一種電飯煲和一種電熱水壺，電飯煲每個(gè)定價(jià)200元，電熱水壺每個(gè)定價(jià)60元．廠方在開展促銷活動(dòng)期間，向客戶提供以下兩種優(yōu)惠方案：
方案一：每買一個(gè)電飯煲就贈(zèng)送一個(gè)電熱水壺；
方案二：電飯煲和電熱水壺都按定價(jià)的付款．
某廚具店計(jì)劃購(gòu)進(jìn)80個(gè)電飯煲和x個(gè)電熱水壺．設(shè)選擇方案一需付款元，選擇方案二需付款元．
(1)分別寫出，關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式．
(2)當(dāng)時(shí)．
①請(qǐng)通過計(jì)算說明該廚具店選擇上面哪種方案更省錢．
②若兩種優(yōu)惠方案可以同時(shí)使用（使用方案一優(yōu)惠過的商品不能再使用方案二優(yōu)惠，使用方案二優(yōu)惠過的商品不能再使用方案一優(yōu)惠），請(qǐng)你設(shè)計(jì)出更省錢的購(gòu)買方案，并計(jì)算出該方案所需費(fèi)用．
【答案】(1)，
(2)①該廚具店選擇方案二更省錢；②先按方案一購(gòu)買80個(gè)電飯煲，再按方案二購(gòu)買120個(gè)電熱水壺．該方案所需費(fèi)用為21760元
【分析】本題考查了用代數(shù)式表示和一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確理解題意，根據(jù)題意正確列出函數(shù)表達(dá)式．
（1）根據(jù)題目所給的兩個(gè)方案，分別列出代數(shù)表達(dá)式即可；
（2）①將分別代入（1）中得出的兩個(gè)函數(shù)表達(dá)式，即可解答；②先按方案一購(gòu)買80個(gè)電飯煲，再按方案二購(gòu)買120個(gè)電熱水壺最省錢，計(jì)算即可．
【詳解】（1）解：根據(jù)題意可得：
，
．
（2）解：①當(dāng)時(shí)，，．
∵，
∴該廚具店選擇方案二更省錢．
②更省錢的購(gòu)買方案：
先按方案一購(gòu)買80個(gè)電飯煲，再按方案二購(gòu)買120個(gè)電熱水壺．
該方案所需費(fèi)用為（元）．
【中考模擬即學(xué)即練】
1．（2024·河南周口·三模）春和景明，草長(zhǎng)鶯飛的四月和五月，全家最適合周末去附近的公園里踏青或爬山，并且進(jìn)行野餐，某便民商店計(jì)劃在春天踏春之際購(gòu)進(jìn)，兩種不同型號(hào)的野餐墊共個(gè)，已知購(gòu)進(jìn)型號(hào)的野餐墊個(gè)和型號(hào)的野餐墊個(gè)需要元，購(gòu)進(jìn)型號(hào)的野餐墊個(gè)和型號(hào)的野餐墊個(gè)需要元．
(1)求該商店購(gòu)進(jìn)每個(gè)型號(hào)和型號(hào)的野餐墊的價(jià)格；
(2)該商店在調(diào)查后根據(jù)實(shí)際需求，現(xiàn)在決定購(gòu)進(jìn)型號(hào)的野餐墊不超過型號(hào)野餐墊數(shù)量的，為使購(gòu)進(jìn)野餐墊的總費(fèi)用最低，應(yīng)購(gòu)進(jìn)型號(hào)野餐墊和型號(hào)的野餐墊各多少個(gè)?購(gòu)進(jìn)野餐墊的總費(fèi)用最低為多少元?
【答案】(1)購(gòu)進(jìn)每個(gè)型號(hào)野餐墊的價(jià)格為元，購(gòu)進(jìn)每個(gè)型號(hào)的野餐墊的價(jià)格為元
(2)為使購(gòu)進(jìn)野餐墊的總費(fèi)用最低，應(yīng)購(gòu)進(jìn)型號(hào)的野餐墊個(gè)，型號(hào)的野餐墊個(gè)，購(gòu)進(jìn)野餐墊的總費(fèi)用最低為元
【分析】本題考查了二元一次方程組、一次函數(shù)和不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，正確列出等量關(guān)系式．
（1）設(shè)購(gòu)進(jìn)每個(gè)型號(hào)野餐墊的價(jià)格為元，購(gòu)進(jìn)每個(gè)型號(hào)野餐墊的價(jià)格為元，根據(jù)題意列出二元一次方程組即可求解；
（2）設(shè)該商店購(gòu)進(jìn)型號(hào)野餐墊個(gè)，總費(fèi)用為元，則購(gòu)進(jìn)型號(hào)野餐墊個(gè)，根據(jù)題意得出，，再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．
【詳解】（1）解：設(shè)購(gòu)進(jìn)每個(gè)型號(hào)野餐墊的價(jià)格為元，購(gòu)進(jìn)每個(gè)型號(hào)野餐墊的價(jià)格為元，
根據(jù)題意可得：，
解得：，
答：購(gòu)進(jìn)每個(gè)型號(hào)野餐墊的價(jià)格為元，購(gòu)進(jìn)每個(gè)型號(hào)的野餐墊的價(jià)格為元；
（2）設(shè)該商店購(gòu)進(jìn)型號(hào)野餐墊個(gè)，總費(fèi)用為元，則購(gòu)進(jìn)型號(hào)野餐墊個(gè)，
由題意可得：
，
其中，
解得：，
，
隨的增大而減小，
當(dāng)時(shí)，最小，最小值為元，
答：為使購(gòu)進(jìn)野餐墊的總費(fèi)用最低，應(yīng)購(gòu)進(jìn)型號(hào)的野餐墊個(gè)，型號(hào)的野餐墊個(gè)，購(gòu)進(jìn)野餐墊的總費(fèi)用最低為元．
2．（2024·山西忻州·三模）“傳承紅色基因，賡續(xù)紅色血脈”．某中學(xué)八年級(jí)510名師生一起乘坐客車去參觀八路軍太行紀(jì)念館，下面是王老師和小強(qiáng)、小國(guó)同學(xué)有關(guān)租車問題的對(duì)話．
根據(jù)以上對(duì)話，解答下列問題：
(1)分別求每輛A型客車和B型客車坐滿后的載客人數(shù)；
(2)因司機(jī)緊缺，客運(yùn)公司只能給八年級(jí)師生安排10輛客車，要使八年級(jí)每位師生都有座位，八年級(jí)應(yīng)租用A，B兩種客車各多少輛才能使租金最少？
【答案】(1)每輛A型客車坐滿后載客60人，每輛B型客車坐滿后載客45人
(2)八年級(jí)租用4輛A型客車，6輛B型客車所需的租金最少
【分析】本題考查了二元一次方程組、一元一次不等式組以及一次函數(shù)的應(yīng)用，
（1）設(shè)每輛A型客車坐滿后載客x人，每輛B型客車坐滿后載客y人，根據(jù)題意列出二元一次方程組，解方程組即可求解；
（2）設(shè)租用m輛A型客車，輛B型客車，所需租金w元，先根據(jù)題意列出關(guān)于的一元一次不等式組，求出，再表示出，結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．
【詳解】（1）設(shè)每輛A型客車坐滿后載客x人，每輛B型客車坐滿后載客y人．
根據(jù)題意得，
解得．
答：每輛A型客車坐滿后載客60人，每輛B型客車坐滿后載客45人．
（2）設(shè)租用m輛A型客車，輛B型客車，所需租金w元．
根據(jù)題意得，
解得，
．
∵，
∴w隨m的增大而增大，
∴當(dāng)時(shí)，w取最小值，
∴．
答：八年級(jí)租用4輛A型客車，6輛B型客車所需的租金最少．
3．（2024·山東青島·模擬預(yù)測(cè)）自 2022年新課程標(biāo)準(zhǔn)頒布以來，某校高度重視新課標(biāo)的學(xué)習(xí)和落實(shí)，開展了信息技術(shù)與教學(xué)深度融合的“精準(zhǔn)化教學(xué)”．該校計(jì)劃購(gòu)買 A，B兩種型號(hào)的教學(xué)設(shè)備，已知A型設(shè)備價(jià)格比 B型設(shè)備價(jià)格每臺(tái)高，用20000元購(gòu)買B型設(shè)備的數(shù)量比用33000元購(gòu)買A型設(shè)備的數(shù)量少5 臺(tái)．
(1)求 A，B型設(shè)備每臺(tái)的價(jià)格分別是多少元．
(2)該校計(jì)劃購(gòu)買兩種設(shè)備共60臺(tái)，要求A型設(shè)備的數(shù)量不少于B型設(shè)備數(shù)量的 ．設(shè)購(gòu)買a臺(tái)A型設(shè)備，購(gòu)買總費(fèi)用為元，求關(guān)于a的函數(shù)表達(dá)式，并設(shè)計(jì)出購(gòu)買總費(fèi)用最低的購(gòu)買方案．
【答案】(1)，型設(shè)備單價(jià)分別是2200，2000元
(2)，當(dāng)購(gòu)買12臺(tái)型設(shè)備，則購(gòu)買型設(shè)備48臺(tái)時(shí)，購(gòu)買費(fèi)用最低
【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，理解題意列出關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．
（1）設(shè)型設(shè)備的單價(jià)為元，則型設(shè)備的單價(jià)為元，根據(jù)題意建立分式方程，解方程即可求解；
（2）設(shè)購(gòu)買臺(tái)型設(shè)備，購(gòu)買型設(shè)備臺(tái)，根據(jù)題意建立一元一次不等式，求得最小整數(shù)解；根據(jù)單價(jià)乘以數(shù)量即可求的與的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可求得最少購(gòu)買費(fèi)用．
【詳解】（1）解：設(shè)型設(shè)備的單價(jià)為元，則型設(shè)備的單價(jià)為元，
根據(jù)題意得：，
解得，經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解，
∴型設(shè)備的單價(jià)為元；
答：，型設(shè)備單價(jià)分別是2200，2000元；
（2）設(shè)購(gòu)買臺(tái)型設(shè)備，
購(gòu)買型設(shè)備臺(tái)，依題意，．解得，
的最小整數(shù)解為12，
購(gòu)買總費(fèi)用為元，，
，
，隨的增大而增大，
時(shí)，取得最小值，此時(shí)．
答：當(dāng)購(gòu)買12臺(tái)型設(shè)備，則購(gòu)買型設(shè)備48臺(tái)時(shí)，購(gòu)買費(fèi)用最低．
4．（2024·湖南長(zhǎng)沙·模擬預(yù)測(cè)）為響應(yīng)國(guó)家關(guān)于推動(dòng)各級(jí)各類生產(chǎn)設(shè)備、服務(wù)設(shè)備更新和技術(shù)改造的號(hào)召，某公司計(jì)劃將辦公電腦全部更新為國(guó)產(chǎn)某品牌，市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，品牌的電腦單價(jià)比品牌電腦的單價(jià)少1000元，通過預(yù)算得知，用萬元購(gòu)買品牌電腦比購(gòu)買品牌電腦多10臺(tái)．
(1)試求，兩種品牌電腦的單價(jià)分別是多少元；
(2)該公司計(jì)劃購(gòu)買，兩種品牌的電腦一共40臺(tái)，且購(gòu)買品牌電腦的數(shù)量不少于品牌電腦的，試求出該公司費(fèi)用最少的購(gòu)買方案．
【答案】(1)品牌電腦的單價(jià)是元，品牌電腦的單價(jià)是元；
(2)該公司費(fèi)用最少的購(gòu)買方案為購(gòu)買臺(tái)電腦，購(gòu)買臺(tái)電腦，最少需要元．
【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用以及一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；（）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，找出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式．
（1）設(shè)品牌電腦的單價(jià)是萬元，則品牌電腦的單價(jià)是萬元，利用數(shù)量總價(jià)單價(jià)，結(jié)合“用萬元購(gòu)買品牌電腦比購(gòu)買品牌電腦多10臺(tái)”，可列出關(guān)于的分式方程，解之檢驗(yàn)后，可得出品牌電腦的單價(jià)，再將其代入即可求出品牌電腦的單價(jià)；
（2）設(shè)購(gòu)買臺(tái)品牌電腦，則購(gòu)買臺(tái)品牌電腦，根據(jù)買品牌電腦的數(shù)量不少于品牌電腦的，可列出關(guān)于的一元一次不等式，解之可得出的取值范圍，設(shè)學(xué)校購(gòu)買這些電腦需要元，利用總價(jià)單價(jià)數(shù)量，可找出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，再利用一次函數(shù)的性質(zhì)，即可解決最值問題．
【詳解】（1）解：設(shè)品牌電腦的單價(jià)是萬元，則品牌電腦的單價(jià)是萬元，根據(jù)題意得：，
化簡(jiǎn)得
解得：，（舍去），
經(jīng)檢驗(yàn)，是所列方程的解，且符合題意，
∴品牌電腦的單價(jià)是萬元元，則品牌電腦的單價(jià)是萬元即元．
答：品牌電腦的單價(jià)是元，品牌電腦的單價(jià)是元；
（2）解：設(shè)購(gòu)買臺(tái)品牌電腦，則購(gòu)買臺(tái)品牌電腦，
根據(jù)題意得：，
解得：．
設(shè)學(xué)校購(gòu)買這些電腦需要元，則，
即，
，
隨的增大而減小，
當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為（元）．此時(shí)，
∴該公司費(fèi)用最少的購(gòu)買方案為購(gòu)買臺(tái)電腦，購(gòu)買臺(tái)電腦，最少需要元．
題型二：費(fèi)用最少、利潤(rùn)最大問題
【中考母題學(xué)方法】
【典例2】（一次函數(shù)與二元一次方程組結(jié)合）（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）某超市從某水果種植基地購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種優(yōu)質(zhì)水果，經(jīng)調(diào)查，這兩種水果的進(jìn)價(jià)和售價(jià)如表所示：
該超市購(gòu)進(jìn)甲種水果18千克和乙種水果6千克需366元：購(gòu)進(jìn)甲種水果30千克和乙種水果15千克需705元．
(1)求的值；
(2)該超市決定每天購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種水果共150千克進(jìn)行銷售，其中甲種水果的數(shù)量不少于50千克，且不大于120千克．實(shí)際銷售時(shí)，若甲種水果超過80千克，則超過部分按每千克降價(jià)5元銷售．求超市當(dāng)天銷售完這兩種水果獲得的利潤(rùn)（元）與購(gòu)進(jìn)甲種水果的數(shù)量（千克）之間的函數(shù)關(guān)系式（寫出自變量的取值范圍），并求出在獲得最大利潤(rùn)時(shí)，超市的進(jìn)貨方案以及最大利潤(rùn)．
【答案】(1)，
(2)，購(gòu)進(jìn)甲種水果80千克，乙種水果70千克，最大利潤(rùn)為1060元
【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是∶
（1）根據(jù)“購(gòu)進(jìn)甲種水果18千克和乙種水果6千克需366元：購(gòu)進(jìn)甲種水果30千克和乙種水果15千克需705元”列方程求解即可；
（2）分，兩種情況討論，根據(jù)總利潤(rùn)等于甲的利潤(rùn)與乙的利潤(rùn)列出函數(shù)關(guān)系式，然后利用一次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．
【詳解】（1）解：根據(jù)題意，得，
解得；
（2）解：當(dāng)時(shí)，
根據(jù)題意，得，
∵，
∴隨的增大而增大，
∴當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為，
即購(gòu)進(jìn)甲種水果80千克，乙種水果70千克，最大利潤(rùn)為1060元；
當(dāng)時(shí)，
根據(jù)題意，得，
∵，
∴隨的增大而減小，
∴時(shí)，有最大值，最大值為，
即購(gòu)進(jìn)甲種水果80千克，乙種水果70千克，最大利潤(rùn)為1060元；
綜上，，購(gòu)進(jìn)甲種水果80千克，乙種水果70千克，最大利潤(rùn)為1060元．
【變式2-1】（一次函數(shù)與二元一次方程組、不等式綜合）（2024·四川達(dá)州·中考真題）為拓寬銷售渠道，助力鄉(xiāng)村振興，某鄉(xiāng)鎮(zhèn)幫助農(nóng)戶將、兩個(gè)品種的柑橘加工包裝成禮盒再出售．已知每件品種柑橘禮盒比品種柑橘禮盒的售價(jià)少元．且出售件品種柑橘禮盒和件品種柑橘禮盒的總價(jià)共元．
(1)求、兩種柑橘禮盒每件的售價(jià)分別為多少元？
(2)已知加工、兩種柑橘禮盒每件的成本分別為50元、元、該鄉(xiāng)鎮(zhèn)計(jì)劃在某農(nóng)產(chǎn)品展銷活動(dòng)中售出、兩種柑橘禮盒共1000盒，且品種柑橘禮盒售出的數(shù)量不超過品種柑橘禮盒數(shù)量的倍．總成本不超過元．要使農(nóng)戶收益最大，該鄉(xiāng)鎮(zhèn)應(yīng)怎樣安排、兩種柑橘禮盒的銷售方案，并求出農(nóng)戶在這次農(nóng)產(chǎn)品展銷活動(dòng)中的最大收益為多少元？
【答案】(1)、兩種柑橘禮盒每件的售價(jià)分別為元
(2)要使農(nóng)戶收益最大，銷售方案為售出種柑橘禮盒盒，售出種柑橘禮盒盒，最大收益為元
【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用；一元一次不等式的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用；
（1）設(shè)、兩種柑橘禮盒每件的售價(jià)分別為a元，b元，根據(jù)題意列出二元一次方程組，即可求解；
（2）設(shè)售出種柑橘禮盒盒，則售出種柑橘禮盒盒，根據(jù)題意列出不等式組，得出，設(shè)收益為元，根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解．
【詳解】（1）解：設(shè)、兩種柑橘禮盒每件的售價(jià)分別為元，b元，根據(jù)題意得，
解得：
答：、兩種柑橘禮盒每件的售價(jià)分別為元；
（2）解：設(shè)售出種柑橘禮盒盒，則售出種柑橘禮盒盒，根據(jù)題意得，
解得：
設(shè)收益為元，根據(jù)題意得，
∵
∴隨的增大而減小，
∴當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為（元）
∴售出種柑橘禮盒（盒）
答：要使農(nóng)戶收益最大，銷售方案為售出種柑橘禮盒盒，售出種柑橘禮盒盒，最大收益為元．
【變式2-2】（一次函數(shù)與分式方程結(jié)合）（2024·四川眉山·中考真題）眉山是“三蘇”故里，文化底蘊(yùn)深厚．近年來眉山市旅游產(chǎn)業(yè)蓬勃發(fā)展，促進(jìn)了文創(chuàng)產(chǎn)品的銷售，某商店用元購(gòu)進(jìn)的款文創(chuàng)產(chǎn)品和用元購(gòu)進(jìn)的款文創(chuàng)產(chǎn)品數(shù)量相同．每件款文創(chuàng)產(chǎn)品進(jìn)價(jià)比款文創(chuàng)產(chǎn)品進(jìn)價(jià)多元．
(1)求，兩款文創(chuàng)產(chǎn)品每件的進(jìn)價(jià)各是多少元？
(2)已知，文創(chuàng)產(chǎn)品每件售價(jià)為元，款文創(chuàng)產(chǎn)品每件售價(jià)為元，根據(jù)市場(chǎng)需求，商店計(jì)劃再用不超過元的總費(fèi)用購(gòu)進(jìn)這兩款文創(chuàng)產(chǎn)品共件進(jìn)行銷售，問：怎樣進(jìn)貨才能使銷售完后獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少元？
【答案】(1)款文創(chuàng)產(chǎn)品每件的進(jìn)價(jià)元，文創(chuàng)產(chǎn)品每件的進(jìn)價(jià)是元；
(2)購(gòu)進(jìn)款文創(chuàng)產(chǎn)品件，購(gòu)進(jìn)款文創(chuàng)產(chǎn)品件，才能使銷售完后獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是元．
【分析】（）設(shè)款文創(chuàng)產(chǎn)品每件的進(jìn)價(jià)元，則文創(chuàng)產(chǎn)品每件的進(jìn)價(jià)是元，根據(jù)題意，列出分式方程即可求解；
（）設(shè)購(gòu)進(jìn)款文創(chuàng)產(chǎn)品件，則購(gòu)進(jìn)款文創(chuàng)產(chǎn)品件，總利潤(rùn)為，利用一次一次不等式求出的取值范圍，再根據(jù)題意求出與的一次函數(shù)，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)解答即可求解；
本題考查了分式方程的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意，列出分式方程和一次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）解：設(shè)款文創(chuàng)產(chǎn)品每件的進(jìn)價(jià)元，則文創(chuàng)產(chǎn)品每件的進(jìn)價(jià)是元，
根據(jù)題意得，，
解得，
經(jīng)檢驗(yàn)，是原分式方程的解，
∴
答：款文創(chuàng)產(chǎn)品每件的進(jìn)價(jià)元，則文創(chuàng)產(chǎn)品每件的進(jìn)價(jià)是元；
（2）解：設(shè)購(gòu)進(jìn)款文創(chuàng)產(chǎn)品件，則購(gòu)進(jìn)款文創(chuàng)產(chǎn)品件，總利潤(rùn)為，
根據(jù)題意得，，
解得，
又由題意得，，
，隨的增大而增大，
當(dāng)時(shí)，利潤(rùn)最大，
∴購(gòu)進(jìn)款文創(chuàng)產(chǎn)品件，購(gòu)進(jìn)款文創(chuàng)產(chǎn)品件，獲得的利潤(rùn)最大，，
答：購(gòu)進(jìn)款文創(chuàng)產(chǎn)品件，購(gòu)進(jìn)款文創(chuàng)產(chǎn)品件，才能使銷售完后獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是元．
【變式2-3】（一次函數(shù)與分式方程、不等式結(jié)合）（2024·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）一段高速公路需要修復(fù)，現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)參與施工，已知乙隊(duì)平均每天修復(fù)公路比甲隊(duì)平均每天修復(fù)公路多3千米，且甲隊(duì)單獨(dú)修復(fù)60千米公路所需要的時(shí)間與乙隊(duì)單獨(dú)修復(fù)90千米公路所需要的時(shí)間相等．
(1)求甲、乙兩隊(duì)平均每天修復(fù)公路分別是多少千米；
(2)為了保證交通安全，兩隊(duì)不能同時(shí)施工，要求甲隊(duì)的工作時(shí)間不少于乙隊(duì)工作時(shí)間的2倍，那么15天的工期，兩隊(duì)最多能修復(fù)公路多少千米？
【答案】(1)甲隊(duì)平均每天修復(fù)公路6千米，則乙隊(duì)平均每天修復(fù)公路9千米；
(2)15天的工期，兩隊(duì)最多能修復(fù)公路千米．
【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用．
（1）設(shè)甲隊(duì)平均每天修復(fù)公路千米，則乙隊(duì)平均每天修復(fù)公路千米，根據(jù)“甲隊(duì)單獨(dú)修復(fù)60千米公路所需要的時(shí)間與乙隊(duì)單獨(dú)修復(fù)90千米公路所需要的時(shí)間相等”列分式方程求解即可；
（2）設(shè)甲隊(duì)的工作時(shí)間為天，則乙隊(duì)的工作時(shí)間為天，15天的工期，兩隊(duì)能修復(fù)公路千米，求得關(guān)于的一次函數(shù)，再利用“甲隊(duì)的工作時(shí)間不少于乙隊(duì)工作時(shí)間的2倍”求得的范圍，利用一次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．
【詳解】（1）解：設(shè)甲隊(duì)平均每天修復(fù)公路千米，則乙隊(duì)平均每天修復(fù)公路千米，
由題意得，
解得，
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，且符合題意，
，
答：甲隊(duì)平均每天修復(fù)公路6千米，則乙隊(duì)平均每天修復(fù)公路9千米；
（2）解：設(shè)甲隊(duì)的工作時(shí)間為天，則乙隊(duì)的工作時(shí)間為天，15天的工期，兩隊(duì)能修復(fù)公路千米，
由題意得，
，
解得，
∵，
∴隨的增加而減少，
∴當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為，
答：15天的工期，兩隊(duì)最多能修復(fù)公路千米．
【中考模擬即學(xué)即練】
1．（2024·四川德陽(yáng)·中考真題）羅江糯米咸鵝蛋是德陽(yáng)市非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一，至今有200多年歷史，采用羅江當(dāng)?shù)亓窒吗B(yǎng)殖的鵝產(chǎn)的散養(yǎng)鵝蛋，經(jīng)過傳統(tǒng)秘方加以糯米、青豆等食材以16道工序手工制作而成．為了迎接端午節(jié)，進(jìn)一步提升糯米咸鵝蛋的銷量，德陽(yáng)某超市將購(gòu)進(jìn)的糯米咸鵝蛋和肉粽進(jìn)行組合銷售，有A、B兩種組合方式，其中A組合有4枚糯米咸鵝蛋和6個(gè)肉粽，B組合有6枚糯米咸鵝蛋和10個(gè)肉粽．A、B兩種組合的進(jìn)價(jià)和售價(jià)如下表：
(1)求每枚糯米咸鵝蛋和每個(gè)肉粽的進(jìn)價(jià)分別為多少？
(2)根據(jù)市場(chǎng)需求，超市準(zhǔn)備的B種組合數(shù)量是A種組合數(shù)量的3倍少5件，且兩種組合的總件數(shù)不超過95件，假設(shè)準(zhǔn)備的兩種組合全部售出，為使利潤(rùn)最大，該超市應(yīng)準(zhǔn)備多少件A種組合？最大利潤(rùn)為多少？
【答案】(1)16元， 6元
(2)25件， 3590元
【分析】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用、不等式的應(yīng)用和一次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)題意列出式子是本題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)表格與“A組合有4枚糯米咸鵝蛋和6個(gè)肉粽，B組合有6枚糯米咸鵝蛋和10個(gè)肉粽”即可列方程求解；
（2）設(shè)A種組合的數(shù)量，表示出B種組合數(shù)量，根據(jù)“兩種組合的總件數(shù)不超過95件”列不等式求出A種組合的數(shù)量的最大值，再根據(jù)題意表示出利潤(rùn)的表達(dá)式，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可求得結(jié)果．
【詳解】（1）解：設(shè)每枚糯米咸鵝蛋的進(jìn)價(jià)元，每個(gè)肉粽的進(jìn)價(jià)元．
根據(jù)題意可得：
，
解得：
，
答：每枚糯米咸鵝蛋的進(jìn)價(jià)16元，每個(gè)肉粽的進(jìn)價(jià)6元．
（2）解：設(shè)該超市應(yīng)準(zhǔn)備件A種組合，則B種組合數(shù)量是件，利潤(rùn)為W元，
根據(jù)題意得：，
解得：，
則利潤(rùn)，
可以看出利潤(rùn)是的一次函數(shù)，隨著的增大而增大，
∴當(dāng)最大時(shí)，最大，
即當(dāng)時(shí)，，
答：為使利潤(rùn)最大，該超市應(yīng)準(zhǔn)備25件A種組合，最大利潤(rùn)3590元．
2．（2024·四川廣安·中考真題）某小區(qū)物管中心計(jì)劃采購(gòu)，兩種花卉用于美化環(huán)境．已知購(gòu)買2株種花卉和3株種花卉共需要21元；購(gòu)買4株種花卉和5株種花卉共需要37元．
(1)求，兩種花卉的單價(jià)．
(2)該物管中心計(jì)劃采購(gòu)，兩種花卉共計(jì)10000株，其中采購(gòu)種花卉的株數(shù)不超過種花卉株數(shù)的4倍，當(dāng)，兩種花卉分別采購(gòu)多少株時(shí)，總費(fèi)用最少？并求出最少總費(fèi)用．
【答案】(1)種花卉的單價(jià)為3元/株，種花卉的單價(jià)為5元/株
(2)當(dāng)購(gòu)進(jìn)種花卉8000株，種花卉2000株時(shí)，總費(fèi)用最少，最少費(fèi)用為34000元
【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程組，不等式以及一次函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．
（1）設(shè)種花卉的單價(jià)為元/株，種花卉的單價(jià)為元/株，根據(jù)題意列出二元一次方程組，解方程組即可求解；
（2）設(shè)采購(gòu)種花卉株，則種花卉株，總費(fèi)用為元，根據(jù)題意列出不等式，得出，進(jìn)而根據(jù)題意，得到，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．
【詳解】（1）解：設(shè)種花卉的單價(jià)為元/株，種花卉的單價(jià)為元/株，
由題意得：，
解得：，
答：種花卉的單價(jià)為3元/株，種花卉的單價(jià)為5元/株．
（2）解：設(shè)采購(gòu)種花卉株，則種花卉株，總費(fèi)用為元，
由題意得：，
，
解得：，
在中，
，
隨的增大而減小，
當(dāng)時(shí)的值最小，
，
此時(shí)．
答：當(dāng)購(gòu)進(jìn)種花卉8000株，種花卉2000株時(shí)，總費(fèi)用最少，最少費(fèi)用為34000元．
3．（2024·云南·中考真題）、兩種型號(hào)的吉祥物具有吉祥如意、平安幸福的美好寓意，深受大家喜歡．
某超市銷售、兩種型號(hào)的吉祥物，有關(guān)信息見下表：
若顧客在該超市購(gòu)買8個(gè)種型號(hào)吉祥物和7個(gè)種型號(hào)吉祥物，則一共需要670元；購(gòu)買4個(gè)種型號(hào)吉祥物和5個(gè)種型號(hào)吉祥物，則一共需要410元．
(1)求、的值；
(2)若某公司計(jì)劃從該超市購(gòu)買、兩種型號(hào)的吉祥物共90個(gè)，且購(gòu)買種型號(hào)吉祥物的數(shù)量（單位：個(gè)）不少于種型號(hào)吉祥物數(shù)量的，又不超過種型號(hào)吉祥物數(shù)量的2倍．設(shè)該超市銷售這90個(gè)吉祥物獲得的總利潤(rùn)為元，求的最大值．
注：該超市銷售每個(gè)吉祥物獲得的利潤(rùn)等于每個(gè)吉祥物的銷售價(jià)格與每個(gè)吉祥物的成本的差．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查了一次函數(shù)、一元一次不等式、二元一次方程組的應(yīng)用，根據(jù)題意正確列出方程和函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)“購(gòu)買8個(gè)種型號(hào)吉祥物和7個(gè)種型號(hào)吉祥物，則一共需要670元；購(gòu)買4個(gè)種型號(hào)吉祥物和5個(gè)種型號(hào)吉祥物，則一共需要410元”建立二元一次方程組求解，即可解題；
（2）根據(jù)“且購(gòu)買種型號(hào)吉祥物的數(shù)量（單位：個(gè)）不少于種型號(hào)吉祥物數(shù)量的，又不超過種型號(hào)吉祥物數(shù)量的2倍．”建立不等式求解，得到，再根據(jù)總利潤(rùn)種型號(hào)吉祥物利潤(rùn)種型號(hào)吉祥物利潤(rùn)建立關(guān)系式，最后根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可得到的最大值．
【詳解】（1）解：由題知，，
解得；
（2）解：購(gòu)買種型號(hào)吉祥物的數(shù)量個(gè)，
則購(gòu)買種型號(hào)吉祥物的數(shù)量個(gè)，
且購(gòu)買種型號(hào)吉祥物的數(shù)量（單位：個(gè)）不少于種型號(hào)吉祥物數(shù)量的，
，
解得，
種型號(hào)吉祥物的數(shù)量又不超過種型號(hào)吉祥物數(shù)量的2倍．
，
解得，
即，
由題知，，
整理得，
隨的增大而減小，
當(dāng)時(shí)，的最大值為．
4．（2024·黑龍江綏化·中考真題）為了響應(yīng)國(guó)家提倡的“節(jié)能環(huán)保”號(hào)召，某共享電動(dòng)車公司準(zhǔn)備投入資金購(gòu)買、兩種電動(dòng)車．若購(gòu)買種電動(dòng)車輛、種電動(dòng)車輛，需投入資金萬元；若購(gòu)買種電動(dòng)車輛、種電動(dòng)車輛，需投入資金萬元．已知這兩種電動(dòng)車的單價(jià)不變．
(1)求、兩種電動(dòng)車的單價(jià)分別是多少元？
(2)為適應(yīng)共享電動(dòng)車出行市場(chǎng)需求，該公司計(jì)劃購(gòu)買、兩種電動(dòng)車輛，其中種電動(dòng)車的數(shù)量不多于種電動(dòng)車數(shù)量的一半．當(dāng)購(gòu)買種電動(dòng)車多少輛時(shí)，所需的總費(fèi)用最少，最少費(fèi)用是多少元？
(3)該公司將購(gòu)買的、兩種電動(dòng)車投放到出行市場(chǎng)后，發(fā)現(xiàn)消費(fèi)者支付費(fèi)用元與騎行時(shí)間之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖．其中種電動(dòng)車支付費(fèi)用對(duì)應(yīng)的函數(shù)為；種電動(dòng)車支付費(fèi)用是之內(nèi)，起步價(jià)元，對(duì)應(yīng)的函數(shù)為．請(qǐng)根據(jù)函數(shù)圖象信息解決下列問題．

①小劉每天早上需要騎行種電動(dòng)車或種電動(dòng)車去公司上班．已知兩種電動(dòng)車的平均行駛速度均為3（每次騎行均按平均速度行駛，其它因素忽略不計(jì)），小劉家到公司的距離為，那么小劉選擇______種電動(dòng)車更省錢（填寫或）．
②直接寫出兩種電動(dòng)車支付費(fèi)用相差元時(shí)，的值______．
【答案】(1)、兩種電動(dòng)車的單價(jià)分別為1000元、元
(2)當(dāng)購(gòu)買種電動(dòng)車輛時(shí)所需的總費(fèi)用最少，最少費(fèi)用為元
(3)① ②或40
【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用；
（1）設(shè)、兩種電動(dòng)車的單價(jià)分別為元、元，根據(jù)題意列二元一次方程組，解方程組，即可求解；
（2）設(shè)購(gòu)買種電動(dòng)車輛，則購(gòu)買種電動(dòng)車輛，根據(jù)題意得出的范圍，進(jìn)而根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；
（3）①根據(jù)函數(shù)圖象，即可求解；
②分別求得的函數(shù)解析式，根據(jù)，解方程，即可求解．
【詳解】（1）解：設(shè)、兩種電動(dòng)車的單價(jià)分別為元、元
由題意得，
解得
答：、兩種電動(dòng)車的單價(jià)分別為1000元、元
（2）設(shè)購(gòu)買種電動(dòng)車輛，則購(gòu)買種電動(dòng)車輛，
由題意得
解得：
設(shè)所需購(gòu)買總費(fèi)用為元，則
，隨著 的增大而減小，
取正整數(shù)
時(shí)，最少
(元)
答：當(dāng)購(gòu)買種電動(dòng)車輛時(shí)所需的總費(fèi)用最少，最少費(fèi)用為元
（3）解：①∵兩種電動(dòng)車的平均行駛速度均為3，小劉家到公司的距離為，
∴所用時(shí)間為分鐘，
根據(jù)函數(shù)圖象可得當(dāng)時(shí)，更省錢，
∴小劉選擇種電動(dòng)車更省錢，
故答案為：．
②設(shè)，將代入得，
解得：
∴；
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，設(shè)，將，代入得，
解得：
∴
依題意，當(dāng)時(shí)，
即
解得：
當(dāng)時(shí)，
即
解得：（舍去）或
故答案為：或40．
5．（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）為了增強(qiáng)學(xué)生的體質(zhì)，某學(xué)校倡導(dǎo)學(xué)生在大課間開展踢毽子活動(dòng)，需購(gòu)買甲、乙兩種品牌毽子．已知購(gòu)買甲種品牌毽子10個(gè)和乙種品牌毽子5個(gè)共需200元；購(gòu)買甲種品牌毽子15個(gè)和乙種品牌毽子10個(gè)共需325元．
(1)購(gòu)買一個(gè)甲種品牌毽子和一個(gè)乙種品牌毽子各需要多少元？
(2)若購(gòu)買甲乙兩種品牌毽子共花費(fèi)1000元，甲種品牌毽子數(shù)量不低于乙種品牌毽子數(shù)量的5倍且不超過乙種品牌毽子數(shù)量的16倍，則有幾種購(gòu)買方案？
(3)若商家每售出一個(gè)甲種品牌毽子利潤(rùn)是5元，每售出一個(gè)乙種品牌毽子利潤(rùn)是4元，在（2）的條件下，學(xué)校如何購(gòu)買毽子商家獲得利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？
【答案】(1)購(gòu)買一個(gè)甲種品牌毽子需15元，購(gòu)買一個(gè)乙種品牌毽子需10元
(2)共有3種購(gòu)買方案
(3)學(xué)校購(gòu)買甲種品牌毽子60個(gè)，購(gòu)買乙種品牌毽子10個(gè)，商家獲得利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是340元
【分析】本題考查了二元一次方程組、一元一次不等式組以及一次函數(shù)的應(yīng)用，
（1）設(shè)購(gòu)買一個(gè)甲種品牌毽子需a元，購(gòu)買一個(gè)乙種品牌毽子需b元，根據(jù)題意列出二元一次方程組，問題得解；
（2）設(shè)購(gòu)買甲種品牌毽子x個(gè)，購(gòu)買乙種品牌毽子個(gè)，根據(jù)題意列出一元一次不等式組，解不等式組即可求解；
（3）設(shè)商家獲得總利潤(rùn)為y元，即有一次函數(shù)，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．
【詳解】（1）解：設(shè)購(gòu)買一個(gè)甲種品牌毽子需a元，購(gòu)買一個(gè)乙種品牌毽子需b元．由題意得：，
解得：，
答：購(gòu)買一個(gè)甲種品牌毽子需15元，購(gòu)買一個(gè)乙種品牌毽子需10元；
（2）解：設(shè)購(gòu)買甲種品牌毽子x個(gè)，購(gòu)買乙種品牌毽子個(gè)．
由題意得：，
解得：，
和均為正整數(shù)，
，62，64，
，7，4，
共有3種購(gòu)買方案．
（3）設(shè)商家獲得總利潤(rùn)為y元，
，
，
，
隨x的增大而減小，
當(dāng)時(shí)，，
答：學(xué)校購(gòu)買甲種品牌毽子60個(gè)，購(gòu)買乙種品牌毽子10個(gè)，商家獲得利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是340元．
6．（2024·四川廣元·中考真題）近年來，中國(guó)傳統(tǒng)服飾備受大家的青睞，走上國(guó)際時(shí)裝周舞臺(tái)，大放異彩．某服裝店直接從工廠購(gòu)進(jìn)長(zhǎng)、短兩款傳統(tǒng)服飾進(jìn)行銷售，進(jìn)貨價(jià)和銷售價(jià)如下表：
(1)該服裝店第一次用4300元購(gòu)進(jìn)長(zhǎng)、短兩款服裝共50件，求兩款服裝分別購(gòu)進(jìn)的件數(shù)；
(2)第一次購(gòu)進(jìn)的兩款服裝售完后，該服裝店計(jì)劃再次購(gòu)進(jìn)長(zhǎng)、短兩款服裝共200件（進(jìn)貨價(jià)和銷售價(jià)都不變），且第二次進(jìn)貨總價(jià)不高于16800元．服裝店這次應(yīng)如何設(shè)計(jì)進(jìn)貨方案，才能獲得最大銷售利潤(rùn)，最大銷售利潤(rùn)是多少？
【答案】(1)長(zhǎng)款服裝購(gòu)進(jìn)30件，短款服裝購(gòu)進(jìn)20件；
(2)當(dāng)購(gòu)進(jìn)120件短款服裝，80件長(zhǎng)款服裝時(shí)有最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是4800元．
【分析】本題考查了二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用，一元一次不等式的實(shí)際應(yīng)用，列出正確的等量關(guān)系和不等關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
（1）設(shè)購(gòu)進(jìn)服裝x件，購(gòu)進(jìn)長(zhǎng)款服裝y件，根據(jù)“用4300元購(gòu)進(jìn)長(zhǎng)、短兩款服裝共50件，”列二元一次方程組計(jì)算求解；
（2）設(shè)第二次購(gòu)進(jìn)m件短款服裝，則購(gòu)進(jìn)件長(zhǎng)款服裝，根據(jù)“第二次進(jìn)貨總價(jià)不高于16800元”列不等式計(jì)算求解，然后結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)分析求最值．
【詳解】（1）解：設(shè)購(gòu)進(jìn)短款服裝x件，購(gòu)進(jìn)長(zhǎng)款服裝y件，
由題意可得，
解得，
答：長(zhǎng)款服裝購(gòu)進(jìn)30件，短款服裝購(gòu)進(jìn)20件．
（2）解：設(shè)第二次購(gòu)進(jìn)m件短款服裝，則購(gòu)進(jìn)件長(zhǎng)款服裝，
由題意可得，
解得：，
設(shè)利潤(rùn)為w元，則，
∵，
∴w隨m的增大而減小，
∴當(dāng)時(shí)，
∴（元）．
答：當(dāng)購(gòu)進(jìn)120件短款服裝，80件長(zhǎng)款服裝時(shí)有最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是4800元．
7．（2024·江蘇宿遷·中考真題）某商店購(gòu)進(jìn)A、B兩種紀(jì)念品，已知紀(jì)念品A的單價(jià)比紀(jì)念品B的單價(jià)高10元．用600元購(gòu)進(jìn)紀(jì)念品A的數(shù)量和用400元購(gòu)進(jìn)紀(jì)念品B的數(shù)量相同．
(1)求紀(jì)念品A、B的單價(jià)分別是多少元？
(2)商店計(jì)劃購(gòu)買紀(jì)念品A、B共400件，且紀(jì)念品A的數(shù)量不少于紀(jì)念品B數(shù)量的2倍，若總費(fèi)用不超過11000元，如何購(gòu)買這兩種紀(jì)念品使總費(fèi)用最少？
【答案】(1)紀(jì)念品A、B的單價(jià)分別是元和元
(2)A種紀(jì)念品購(gòu)進(jìn)件，B種紀(jì)念品購(gòu)進(jìn)件，兩種紀(jì)念品使總費(fèi)用最少
【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確分析題目中的等量關(guān)系．
（1）設(shè)A種紀(jì)念品的單價(jià)是x元，則B種紀(jì)念品的單價(jià)是元，利用數(shù)量總價(jià)單價(jià)，結(jié)合“用600元購(gòu)進(jìn)紀(jì)念品A的數(shù)量和用400元購(gòu)進(jìn)紀(jì)念品B的數(shù)量相同”，可得出關(guān)于x的分式方程，解之即可；
（2）設(shè)購(gòu)買a件A種紀(jì)念品，總費(fèi)用為元，利用總價(jià)單價(jià)數(shù)量，可得出關(guān)于a的一次函數(shù)，求出a的取值范圍，根據(jù)函數(shù)的增減性解題即可．
【詳解】（1）解：設(shè)A種紀(jì)念品的單價(jià)為元，則B種紀(jì)念品的單價(jià)為元，
，
解得：x=30，
經(jīng)檢驗(yàn)x=30是原方程的解，
∴B種紀(jì)念品的單價(jià)為元，
答：紀(jì)念品A、B的單價(jià)分別是元和元．
（2）解：設(shè)A種紀(jì)念品購(gòu)進(jìn)件，總費(fèi)用為元，
則，
又∵，
解得，
∵，
∴y隨x的增大而增大，
∴當(dāng)時(shí)，購(gòu)買這兩種紀(jì)念品使總費(fèi)用最少，
這時(shí)A種紀(jì)念品購(gòu)進(jìn)件，B種紀(jì)念品購(gòu)進(jìn)件，兩種紀(jì)念品使總費(fèi)用最少．
8．（2024·江蘇南通·中考真題）某快遞企業(yè)為提高工作效率，擬購(gòu)買A、B兩種型號(hào)智能機(jī)器人進(jìn)行快遞分揀．
相關(guān)信息如下：
信息一
信息二
(1)求A、B兩種型號(hào)智能機(jī)器人的單價(jià)；
(2)現(xiàn)該企業(yè)準(zhǔn)備用不超過700萬元購(gòu)買A、B兩種型號(hào)智能機(jī)器人共10臺(tái)．則該企業(yè)選擇哪種購(gòu)買方案，能使每天分揀快遞的件數(shù)最多?
【答案】(1)A型智能機(jī)器人的單價(jià)為80萬元，B型智能機(jī)器人的單價(jià)為60萬元
(2)選擇購(gòu)買A型智能機(jī)器人5臺(tái)，購(gòu)買B型智能機(jī)器人5臺(tái)
【分析】本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用，二元一次方程組的應(yīng)用，掌握二元一次方程組，一元一次不等式的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
（1）設(shè)A型智能機(jī)器人的單價(jià)為x萬元，B型智能機(jī)器人的單價(jià)為y萬元，根據(jù)題意列出方程組，計(jì)算結(jié)果即可；
（2）設(shè)購(gòu)買A型智能機(jī)器人a臺(tái)，則購(gòu)買B型智能機(jī)器人臺(tái)，先求出a的取值范圍，再得出每天分揀快遞的件數(shù)當(dāng)a取得最大值時(shí)，每天分揀快遞的件數(shù)最多．
【詳解】（1）解：設(shè)A型智能機(jī)器人的單價(jià)為x萬元，B型智能機(jī)器人的單價(jià)為y萬元，
解得，
答：A型智能機(jī)器人的單價(jià)為80萬元，B型智能機(jī)器人的單價(jià)為60萬元；
（2）解：設(shè)購(gòu)買A型智能機(jī)器人a臺(tái)，則購(gòu)買B型智能機(jī)器人臺(tái)，
∴，
∴，
∵每天分揀快遞的件數(shù)，
∴當(dāng)時(shí)，每天分揀快遞的件數(shù)最多為萬件，
∴選擇購(gòu)買A型智能機(jī)器人5臺(tái)，購(gòu)買B型智能機(jī)器人5臺(tái)．
題型三：反比例函數(shù)面積問題
【中考母題學(xué)方法】
【典例3】（2024·江蘇宿遷·中考真題）如圖，點(diǎn)A在雙曲線上，連接AO并延長(zhǎng)，交雙曲線于點(diǎn)B，點(diǎn)C為x軸上一點(diǎn)，且，連接，若的面積是6，則k的值為（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】本題考查了反比例函數(shù)的的幾何意義，掌握反比例函數(shù)的幾何意義是解題的關(guān)鍵．
過點(diǎn)A作軸，過點(diǎn)B作軸，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)得出，確定，然后結(jié)合圖形及面積求解即可．
【詳解】解：過點(diǎn)A作軸，過點(diǎn)B作軸，如圖所示：
∴，
∴，
∵點(diǎn)A在雙曲線上，點(diǎn)B在，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，軸，
∴，
∵，
∴，
∴
∴
∴，
故選：C．
【變式3-1】（2024·廣西賀州·三模）如圖，在直角坐標(biāo)系中，與x軸相切于點(diǎn)B，為的直徑，點(diǎn)C在函數(shù)的圖象上，D為y軸上一點(diǎn)，則的面積為 ．

【答案】1
【分析】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，切線的性質(zhì)；根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義可得，由切線的性質(zhì)可得軸，再根據(jù)三角形的面積公式列式求解即可．
【詳解】解：∵點(diǎn)C在函數(shù)的圖象上，
∴，
∵CB為的直徑，
∴，
∵與軸相切于點(diǎn)，
∴軸，
∴軸，
∴，
故答案為：1．
【變式3-2】（2024·山東濱州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，垂直于x軸的直線l分別交反比例函數(shù)的圖象、的圖象于點(diǎn)A、B，若的面積為5，則 ．

【答案】10
【分析】本題考查反比例函數(shù)值的幾何意義，根據(jù)題意可得：，結(jié)合的面積，即可得出結(jié)果．
【詳解】解：由題意，得：，
∵的面積，
∴；
故答案為：10．
【變式3-3】（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）如圖，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過平行四邊形的頂點(diǎn)，在軸上，若點(diǎn)，，則實(shí)數(shù)的值為 ．
【答案】
【分析】本題考查了反比例函數(shù)，根據(jù)的縱坐標(biāo)相同以及點(diǎn)在反比例函數(shù)上得到的坐標(biāo)，進(jìn)而用代數(shù)式表達(dá)AB的長(zhǎng)度，然后根據(jù)列出一元一次方程求解即可．
【詳解】是平行四邊形
縱坐標(biāo)相同
的縱坐標(biāo)是
在反比例函數(shù)圖象上
將代入函數(shù)中，得到
的縱坐標(biāo)為
即：
解得：
故答案為：．
【變式3-4】（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，，過點(diǎn)作軸交軸于點(diǎn)，點(diǎn)為線段上的一點(diǎn)，且．反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)交線段于點(diǎn)，則四邊形的面積是 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，反比例函數(shù)的幾何意義，作軸于，作軸于，則，由點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，得，，，然后證明得，求出，則，故有點(diǎn)坐標(biāo)為，求出反比例函數(shù)解析式，再求出，最后根據(jù)即可求解，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
【詳解】如圖，作軸于，作軸于，則，
∵點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴點(diǎn)坐標(biāo)為，代入得，，
∴反比例函數(shù)解析式為，
∵軸，
∴點(diǎn)與點(diǎn)縱坐標(biāo)相等，且在反比例函數(shù)圖象上，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
【變式3-5】（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，，．將線段沿軸正方向平移得線段（點(diǎn)平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為），交函數(shù)的圖象于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則下列結(jié)論：
①；
②的面積等于四邊形的面積；
③的最小值是；
④．
其中正確的結(jié)論有 ．（填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）
【答案】①②④
【分析】由，可得，故①符合題意；如圖，連接，，，與的交點(diǎn)為，利用的幾何意義可得的面積等于四邊形的面積；故②符合題意；如圖，連接，證明四邊形為矩形，可得當(dāng)最小，則最小，設(shè)，可得的最小值為，故③不符合題意；如圖，設(shè)平移距離為，可得，證明，可得，再進(jìn)一步可得答案．
【詳解】解：∵，，四邊形是矩形；
∴，
∴，故①符合題意；
如圖，連接，，，與的交點(diǎn)為，
∵，
∴，
∴，
∴的面積等于四邊形的面積；故②符合題意；
如圖，連接，
∵軸，，
∴四邊形為矩形，
∴，
∴當(dāng)最小，則最小，
設(shè)，
∴，
∴，
∴的最小值為，故③不符合題意；
如圖，設(shè)平移距離為，
∴，
∵反比例函數(shù)為，四邊形為矩形，
∴，，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故④符合題意；
故答案為：①②④
【點(diǎn)睛】本題考查的是反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，平移的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．
【中考模擬即學(xué)即練】
1．（2024·安徽安慶·三模）已知反比例與的圖像如圖所示，為x軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，分別交反比例函數(shù)與的圖像于點(diǎn)，，點(diǎn)，（點(diǎn)在點(diǎn)的上方）在軸上，且，則四邊形的面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本題考查反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義，理解反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義是解題的關(guān)鍵．
利用反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義可得，，再根據(jù)同底等高的三角形面積相等，得到，由平行四邊形的面積公式進(jìn)而求出答案
【詳解】解：連接、、，
軸，，
四邊形為平行四邊形，
，
軸，
，
由反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義得，
，，
，
，
故選：B．
2．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在直角坐標(biāo)系中，與x軸相切于點(diǎn)B，為的直徑，點(diǎn)C在函數(shù)的圖象上，D為y軸上一點(diǎn)，若的面積為1，則 ．
【答案】4
【分析】本題考查了反比例函數(shù)k值的幾何意義及反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，切線的性質(zhì)，熟練掌握k值的幾何意義是關(guān)鍵．連接，證明，根據(jù)，得出，根據(jù)反比例函數(shù)k值的幾何意義進(jìn)行解答即可．
【詳解】解：連接，如圖所示：
∵與x軸相切于點(diǎn)B，為的直徑， D為y軸上一點(diǎn)，
∴軸，軸，
∴，
∵，
∴，
∵點(diǎn)C在函數(shù)的圖象上，
∴．
故答案為：4．
3．（2024·江蘇鹽城·模擬預(yù)測(cè)）如圖，反比例函數(shù)在第三象限的圖象是，在第四象限的圖象是，點(diǎn)A、C在上，過A點(diǎn)作軸交于B點(diǎn)，過C點(diǎn)作軸于D點(diǎn)，點(diǎn)P為x軸上任意一點(diǎn)，連接，若，則 ．
【答案】
【分析】此題考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，設(shè)點(diǎn)，得到，設(shè)設(shè)點(diǎn)，則，根據(jù)求出，即可得到答案．
【詳解】解：設(shè)點(diǎn)，則，
∵軸，
∴點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是b，
∵點(diǎn)B在上，
∴點(diǎn)，
∴，點(diǎn)P到的距離為，
∵，
∴，
設(shè)點(diǎn)，則，
∵過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，
∴，點(diǎn)P到的距離為，
∴，
即，
∴，
∴
故答案為：
4．（2024·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）如圖，過原點(diǎn)的線段的兩端點(diǎn)，分別在反比例函數(shù)和的圖象上，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為．若的面積為1，則的值為 ．
【答案】
【分析】本題考查了反比例函數(shù)值幾何意義，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是關(guān)鍵．作軸，根據(jù)值幾何意義得到，利用面積可知，再利用三角形相似可得，繼而求出值即可．
【詳解】解：如圖，作軸，垂足為，
點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，
，
，
，
，
，
，
，
反比例函數(shù)圖象上在第二象限，
．
故答案為：．
5.（2024·湖南長(zhǎng)沙·模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)，分別在函數(shù)圖像的兩支上（在第一象限），連結(jié)交軸于點(diǎn)．點(diǎn)，在函數(shù)圖像上，軸，軸，連結(jié)，．若，的面積為12，四邊形的面積為15，則的值為 ．
【答案】
【分析】依據(jù)題意，設(shè)，再由軸，軸，，可得，，，再結(jié)合的面積為12，四邊形的面積為15，即可得解.
【詳解】解：設(shè)，
∵軸，且點(diǎn)E在函數(shù)上，
∴.
∵，且點(diǎn)B在函數(shù)上，
∴.
∵軸，點(diǎn)D在函數(shù)上，
∴.
∵的面積為12，
∴.
∴.
【點(diǎn)睛】本題主要考查反比例函數(shù)與圖形的綜合，掌握反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)，幾何圖形點(diǎn)坐標(biāo)的計(jì)算方法，相似三角形的判定和性質(zhì)，圖形面積的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．
6.（2024·安徽合肥·三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將直角向右平移到位置，A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是C，O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是E，函數(shù)的圖象經(jīng)過與的交點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，若的面積為3，則的值是 ．
【答案】6
【分析】本題主要考查反比例函數(shù)函數(shù)k的幾何意義，設(shè)的長(zhǎng)為，則，表示出點(diǎn)的坐標(biāo)為，證明，得，知
【詳解】解：設(shè)的長(zhǎng)為，則
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
∴，
又是直角三角形，且
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴
故答案為：6
7．（2024·安徽六安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的邊分別在軸、軸上，點(diǎn)的坐標(biāo)為，雙曲線分別與邊交于點(diǎn)，則陰影部分的面積是 ．
【答案】7
【分析】本題考查反比例函數(shù)的幾何意義，解題的關(guān)鍵是正確理解的幾何意義，本題屬于中等題型．先 出，再求出陰影部分的面積．
【詳解】解：矩形中，，
點(diǎn)A與點(diǎn)P的橫坐標(biāo)相同，點(diǎn)B與點(diǎn)P的縱坐標(biāo)相同，
將代入得：，將代入得：，
，
，
．
故答案為：7．
8．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等邊和菱形的邊、都在x軸上，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)C．已知的面積為，則k的值為 ．
【答案】
【分析】本題考查反比例函數(shù)k的幾何意義、菱形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，連接，根據(jù)等邊三角形及菱形得到是菱形，結(jié)合反比例函數(shù)k的幾何意義列式求解即可得到答案；
【詳解】解：連接，
，
∵等邊和菱形的邊、都在x軸上，
∴，，軸，
∴，
∴四邊形是菱形，
∵的面積為，
∴，
∴，
∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)C，
∴，
解得：，
故答案為：．
9．（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的邊軸，邊軸，且點(diǎn)在反比例函數(shù)（k為大于0的常數(shù)，）的圖象上．若的面積是2，則k的值是 ．
【答案】8
【分析】根據(jù)邊軸，邊軸，得到，根據(jù)題意，，結(jié)合反比例函數(shù)的性質(zhì)解答即可．
本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵邊軸，邊軸，
∴，
根據(jù)題意，，的面積是2，
∴，，
∴，
解得，
故答案為：8．
10．（2024·湖南婁底·模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)C、E在坐標(biāo)軸上，矩形分別交某反比例函數(shù)于點(diǎn)F、G，，，的面積為9，則該反比例函數(shù)解析式為 ．
【答案】
【分析】本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，矩形的性質(zhì)，正確地求出反比例函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．
由反比例函數(shù)k的幾何意義得到的面積=的面積=，根據(jù)的面積=矩形的面積-的面積-的面積-的面積可求出k，即可求出答案．
【詳解】解：設(shè)反比例函數(shù)解析式為，
∵矩形分別交某反比例函數(shù)于點(diǎn)F、G，，，
∴,的面積=的面積=，
∵的面積=矩形的面積-的面積-的面積-的面積=9，矩形的面積，
∴，
解得（負(fù)值已舍去），
∴反比例函數(shù)解析式為．
故答案為：．
11．（2024·福建莆田·模擬預(yù)測(cè)）如圖，過原點(diǎn)的直線與反比例函數(shù)和的圖象在第一象限內(nèi)分別交于點(diǎn)A，B．過點(diǎn)A作軸于點(diǎn)C，過點(diǎn)B作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．若的面積為，則 ．
【答案】9
【分析】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題，反比例函數(shù)k值的幾何意義，相似三角形的性質(zhì)和判定，熟練掌握反比例函數(shù)值的幾何意義是關(guān)鍵．
根據(jù)值的幾何意義得到，利用相似得到，繼而有，再利用相似得到，繼而求出值．
【詳解】解：由題意可知，，
，
，
∵點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上，
，
∵的面積為，
，
，
如圖，作軸，垂足為點(diǎn)，
，
，
，
，
，
故答案為：9．
12．（2024·貴州黔東南·一模）如圖，平行四邊形中，，，它的邊在軸的負(fù)半軸上，對(duì)角線在軸的正半軸上．反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)．

(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式；
(2)過點(diǎn)的直線與反比例函數(shù)在第三象限的圖像相交于點(diǎn)，連接BD，直接寫出面積的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題主要考查反比例與幾何圖形的關(guān)系，根據(jù)幾何圖形面積的計(jì)算方法求反比例函數(shù)的值，
（1）如圖所示，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，設(shè)，根據(jù)反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)可得四邊形是矩形，，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，結(jié)合，可得求出，由此可得，即可求解；
（2）設(shè)，點(diǎn)到的距離為，由三角形的面積公式得，再根據(jù)點(diǎn)位于第三象限的特點(diǎn)即可求解．
【詳解】（1）解：如圖所示，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，設(shè)，

∵平行四邊形中，邊在軸的負(fù)半軸上，對(duì)角線在軸的正半軸上，
∴，
∴四邊形是矩形，
∴，
∵四邊形平行四邊形，
∴，
∵，即，
∴，
∴C?2,0，
∴，
∴，
∴反比例函數(shù)解析式為：；
（2）解：根據(jù)題意，設(shè)，
∵，
∴設(shè)點(diǎn)到的距離為，則，
∴，
∵點(diǎn)位于第三象限，即，且，
∴，則，
∴．
13．（2024·甘肅蘭州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知點(diǎn)A在正比例函數(shù)的圖象上，過點(diǎn)A作軸于點(diǎn)B，以為邊作正方形，點(diǎn)D在反比例函數(shù)的圖象上．
(1)當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2時(shí)，求反比例函數(shù)的表達(dá)式；
(2)若正方形的面積為m，試用含m的代數(shù)式表示k的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，利用正方形的邊長(zhǎng)相等來表示各個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．
（1）先求A的橫坐標(biāo)，就可以得到D的坐標(biāo)，即可求k的值；
（2）由正方形的面積為m，得邊長(zhǎng)為，可表示出D和A的縱坐標(biāo)為，進(jìn)而求出D的坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)即可．
【詳解】（1）解：∵點(diǎn)A在正比例函數(shù)的圖象上，
∴當(dāng)時(shí)，，
∴，
∴，
∵四邊形是正方形，
∴
∴
∴．
∵點(diǎn)D在反比例函數(shù)的圖象上，
∴，
∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為．
（2）解：∵正方形的面積為m，
∴，
∴點(diǎn)D和點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為，
把點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為代入得，
，
解得，，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為，
∴，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為．
將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入，得．
題型四：特殊三角形存在性問題
【中考母題學(xué)方法】
【典例4】（2023·四川綿陽(yáng)·中考真題）如圖，過原點(diǎn)O的直線與反比例函數(shù)的圖象交于，兩點(diǎn)，一次函數(shù)的圖象過點(diǎn)A與反比例函數(shù)交于另一點(diǎn)．

(1)求反比例函數(shù)的解析式；當(dāng)時(shí)，根據(jù)圖象直接寫出x的取值范圍；
(2)在y軸上是否存在點(diǎn)，使得為等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)，或
(2)點(diǎn)M的坐標(biāo)為或或或
【分析】本題考查待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式及等腰三角形，熟知待定系數(shù)法及利用分類討論的數(shù)學(xué)思想是解題的關(guān)鍵．
（1）將點(diǎn)A坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式即可求出k，利用數(shù)形結(jié)合的思想即可求出x的取值范圍．
（2）先求出點(diǎn)C坐標(biāo)，再根據(jù)分類討論的數(shù)學(xué)思想即可解決問題．
【詳解】（1）解：由題知，將A點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式得，
，
所以反比例函數(shù)的解析式為．
由函數(shù)圖象可知，在直線x=0和x=1之間的部分及直線x=2右側(cè)的部分，
反比例函數(shù)的圖象在一次函數(shù)的圖象的上方，即．
所以x的取值范圍是：或x>2．
（2）將x=2代入反比例函數(shù)解析式得，
所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為．
則．
如圖：

當(dāng)時(shí)， ，
所以點(diǎn)坐標(biāo)為(或．
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在的垂直平分線上，
又因?yàn)辄c(diǎn)C坐標(biāo)為，
所以點(diǎn)坐標(biāo)為．
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)M在OC的垂直平分線上，
過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，
令，則，，
在N中，
即，
解得．
所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為．
綜上所述：點(diǎn)M的坐標(biāo)為或或或．
【變式4-1】（2023·黑龍江牡丹江·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)B，C在x軸上，D在y軸上，，的長(zhǎng)是方程的兩個(gè)根（）．請(qǐng)解答下列問題：
(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
(2)若，直線分別交x軸、y軸、于點(diǎn)E，F(xiàn)，M，且M是的中點(diǎn)，直線交延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，求的值；
(3)在（2）的條件下，點(diǎn)P在y軸上，在直線EF上是否存在點(diǎn)Q，使是腰長(zhǎng)為5的等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出等腰三角形的個(gè)數(shù)和其中兩個(gè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，等腰三角形的個(gè)數(shù)是8個(gè)，，， ，
【分析】（1）解方程得到，的長(zhǎng)，從而得到點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）由，，得．由，是中點(diǎn)，得到點(diǎn)M的坐標(biāo)，代入直線中，求得b的值，從而得到直線的解析式，進(jìn)而求得點(diǎn)E，點(diǎn)F的坐標(biāo)，由坐標(biāo)特點(diǎn)可得．過點(diǎn)C作于H，過點(diǎn)N作于K．從而，，進(jìn)而得到，易證，可得，因此，由可得，，，從而通過解直角三角形在中，得到，在中，，因此求得，最終可得結(jié)果；
（3）分，，三大類求解，共有8種情況．
【詳解】（1）解方程，得，．
，
，．
；
（2），
．
四邊形是平行四邊形，
，．
是中點(diǎn)，
．
．
將代入，得．
．
，．
．
過點(diǎn)C作于H，過點(diǎn)N作于K．
，．
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴，，
∴在中，
在中，
∴
∴
（3）解：由（2）知：直線解析式為，，
設(shè)，，
①當(dāng)時(shí)，
，，
解得或，或，
∴，，，，
如圖，、、、都是以5為腰的等腰三角形，
；
②當(dāng)時(shí)，
由①知：，，
∵，
∴不可能等于5，
如圖，，都是以5為腰的等腰三角形，
；
③當(dāng)時(shí)，
由①知：，，
當(dāng)時(shí)，，
解得（舍去），，
∴，
如圖，
當(dāng)時(shí)，，
解得（舍去），，
∴，
如圖，
綜上，等腰三角形的個(gè)數(shù)是8個(gè)，
符合題意的Q坐標(biāo)為，， ，
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，一次函數(shù)與平行四邊形，等腰三角形的綜合問題，數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．
【變式4-2】（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）如圖，直線與軸相交于點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，與反比例函數(shù)的圖象相交于兩點(diǎn)．過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，連接、，并延長(zhǎng)，與直線相交于點(diǎn)．在第一象限找點(diǎn)，使以為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，反比例函數(shù)，經(jīng)過點(diǎn)．
(1)求的面積．
(2)在反比例函數(shù)的圖象上找點(diǎn)，使是直角三角形，求出符合要求的點(diǎn)的坐標(biāo)．
(3)如圖，在反比例函數(shù)的圖象上有一點(diǎn)，軸于點(diǎn)，軸于點(diǎn)，分別交反比例函數(shù)的圖象于兩點(diǎn)，求的面積．
【答案】(1)15
(2)、、、
(3)或
【分析】（1）先求出，由，解得，，再由即可求解；
（2）先根據(jù)勾股定理逆定理得到是直角三角形，，①當(dāng)為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，此時(shí)為平行四邊形，則，求得經(jīng)過點(diǎn)N的反比例函數(shù)的表達(dá)式為，設(shè)，當(dāng)，聯(lián)立，可求，當(dāng)，則，得到，解得：或（舍），則；②當(dāng)為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，此時(shí)為平行四邊形，此時(shí)也為矩形，此時(shí)，同上可求反比例函數(shù)的表達(dá)式為，當(dāng)，聯(lián)立，解得，則，當(dāng)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)N重合，則，綜上所述，點(diǎn)D的坐標(biāo)為：、、、；
（3）設(shè)點(diǎn)，，當(dāng)點(diǎn)E在上時(shí)，由題意可得，，因此，
所以，，，故；當(dāng)點(diǎn)E在上時(shí)，同理可得．
【詳解】（1）解：把代入得，，
∴，
把代入得，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
由，解得或，
∴，，
∴；
（2）解：設(shè)直線的解析式為，把代入得，，
∴，
∴直線的解析式為，
把代入得，，
∴，
∵，，
∴，
∴是直角三角形，，即，
設(shè)，
①當(dāng)為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，此時(shí)為平行四邊形，
有，
解得，
∴，
代入得，
∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為，設(shè)，如圖，
當(dāng)，聯(lián)立，
解得，
∴，
當(dāng)，則，
∴，
解得：或（舍），
∴；
②當(dāng)為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，此時(shí)為平行四邊形，此時(shí)也為矩形，
有，
解得，
∴，
同上可求反比例函數(shù)的表達(dá)式為，如圖，
當(dāng)，聯(lián)立，
解得，
∴，
當(dāng)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)N重合，
∴，
綜上所述，點(diǎn)D的坐標(biāo)為：、、、；
（3）解：如圖，
設(shè)點(diǎn)，
∵軸于點(diǎn)，軸于點(diǎn)，分別交反比例函數(shù)的圖象于兩點(diǎn)，
∴，
當(dāng)點(diǎn)E在上時(shí)，由題意可得，，
∴，
∵，
，，
∴；
當(dāng)點(diǎn)E在上時(shí)，同理可得，
綜上所述，的面積為或．
【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與幾何的綜合，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，反比例函數(shù)圖像與一次函數(shù)圖像的交點(diǎn)問題，平行四邊形的存在性問題，直角三角形的存在性問題，勾股定理，以及反比例函數(shù)k的幾何意義等，難度很大，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵．
【中考模擬即學(xué)即練】
1．（2024·吉林松原·模擬預(yù)測(cè)）如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于A、B兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)C，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為
(1)求反比例函數(shù)的解析式；
(2)若點(diǎn)P在x軸上，且是直角三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）把代入求出，再把代入求出k的值即可；
（2）當(dāng)時(shí)，得到；當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)A作軸于點(diǎn)D，得到，根據(jù)直線的表達(dá)式為和，推出，推出， 得到，推出，得到，得到．
【詳解】（1）解：將代入，
得，，
∴,
∴，
將代入，得，，
∴，
∴反比例函數(shù)表達(dá)式為；
（2）解：①當(dāng)時(shí)，軸，
∴；
②當(dāng)時(shí)，
如圖，過點(diǎn)A作軸于點(diǎn)D，
則，
∵，
∴，，
∵直線的表達(dá)式為，
∴當(dāng)時(shí)，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合．熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，等腰直角三角形性質(zhì)，分類討論，是解題的關(guān)鍵．
2．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），已知點(diǎn)A的縱坐標(biāo)是1．
(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式；
(2)如圖，將直線向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后得到新的直線，點(diǎn)M在直線上，設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為．連接，．
①求的面積；
②當(dāng)是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)①4；②或
【分析】本題主要考查一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)，一次函數(shù)和反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題，熟練掌握一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)題意求出，代入反比例函數(shù)即可求出答案；
（2）①過點(diǎn)M作軸交直線于點(diǎn)N，則，根據(jù)對(duì)稱性質(zhì)得到，分情況計(jì)算出面積即可；
②分當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)兩種情況分類討論即可．
【詳解】（1）解：把代入，得
又∵直線與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A，B
故反比例函數(shù)的表達(dá)式為
（2）解：①如圖，
過點(diǎn)M作軸交直線于點(diǎn)N，則，由對(duì)稱性可知，
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，
綜上所述，的面積為4
②由題意可知，直線的函數(shù)表達(dá)式為，令，則；令，則
直線與x軸的交點(diǎn)為，與y軸的交點(diǎn)為0,2
，
點(diǎn)M在直線的第一象限圖象上，當(dāng)是直角三角形時(shí)，存在以下兩種情況.
（i）當(dāng)時(shí)， 設(shè)，過點(diǎn)作一條直線平行軸，過點(diǎn)作垂線交直線于點(diǎn)，使．
根據(jù)坐標(biāo)系可知，，
根據(jù)勾股定理可得，，，
由①得：
，
解得，
；
（ii）當(dāng)時(shí)，設(shè)，連接
是直角三角形，且點(diǎn)O是線段的中點(diǎn)，
.
整理，得，解得，（舍去）
綜上所述，當(dāng)是直角三角形時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為或2,1．
3．（2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，反比例函數(shù)圖象與正比例函數(shù)圖象相交于點(diǎn)與點(diǎn)．
(1)試求反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的函數(shù)表達(dá)式及點(diǎn)的坐標(biāo)．
(2)請(qǐng)直接寫出的解集．
(3)現(xiàn)把的圖象繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到了．試問在函數(shù)圖象上是否存在一動(dòng)點(diǎn)，使是以為底邊的等腰三角形？如果有，請(qǐng)求出這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)；如果沒有，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)反比例函數(shù)表達(dá)式為；正比例函數(shù)表達(dá)式為；
(2)或
(3)存在，或
【分析】（1）利用待定系數(shù)法確定即可得到表達(dá)式，再聯(lián)立方程組求解即可得到答案；
（2）的解集是指反比例函數(shù)圖象在正比例函數(shù)圖象上方部分對(duì)應(yīng)的自變量的取值范圍，數(shù)形結(jié)合求解即可得答案；
（3）由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，結(jié)合直線性質(zhì)得到，根據(jù)點(diǎn)的對(duì)稱性及中垂線的判定與性質(zhì)得到，若使是以為底邊的等腰三角形，則，結(jié)合含的直角三角形性質(zhì)得到線段，最后由兩點(diǎn)之間距離公式列方程求解即可得到答案．
【詳解】（1）解：反比例函數(shù)圖象與正比例函數(shù)圖象相交于點(diǎn)，
，即反比例函數(shù)表達(dá)式為；
，即正比例函數(shù)表達(dá)式為；
反比例函數(shù)圖象與正比例函數(shù)圖象相交于點(diǎn)與點(diǎn)，
聯(lián)立，解得或，即；
（2）解：的解集是指反比例函數(shù)圖象在正比例函數(shù)圖象上方部分對(duì)應(yīng)的自變量的取值范圍，如圖所示：
、，
當(dāng)或時(shí)，反比例函數(shù)圖象在正比例函數(shù)圖象上方，即的解集是或
（3）解：如圖所示：
把的圖象繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到了，
直線垂直直線，
與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
直線是線段的垂直平分線，
當(dāng)在直線上時(shí)，由垂直平分線性質(zhì)可得，
若使是以為底邊的等腰三角形，則，
此時(shí)是等邊三角形，
在中，，，則，由勾股定理可得，
設(shè)，則，解得或，
或．
【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合，涉及待定系數(shù)法確定函數(shù)表達(dá)式、直線與雙曲線的交點(diǎn)、利用圖象法解不等式、函數(shù)與特殊三角形、中垂線的判定與性質(zhì)、含的直角三角形性質(zhì)、勾股定理、兩點(diǎn)之間距離公式等知識(shí)，熟練掌握一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象與性質(zhì)、靈活運(yùn)用相關(guān)幾何性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．
題型五：特殊四邊形存在性問題
【中考母題學(xué)方法】
【典例5】（2023·四川瀘州·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與，軸分別相交于點(diǎn)A，B，與反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)C，已知，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為2．
(1)求，的值；
(2)平行于軸的動(dòng)直線與和反比例函數(shù)的圖象分別交于點(diǎn)D，E，若以B，D，E，O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．
【答案】(1)，；
(2)點(diǎn)D的坐標(biāo)為或
【分析】（1）求得，利用待定系數(shù)法即可求得直線的式，再求得，據(jù)此即可求解；
（2）設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，利用平行四邊形的性質(zhì)得到，解方程即可求解．
【詳解】（1）解：∵，
∴，
∵直線經(jīng)過點(diǎn)，
∴，解得，，
∴直線的解析式為，
∵點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為2，
∴，
∴，
∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)C，
∴；
（2）解：由（1）得反比例函數(shù)的解析式為，
令，則，
∴點(diǎn)，
設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，
∵以B，D，E，O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，
∴，
∴，整理得或，
由得，
整理得，
解得，
∵，
∴，
∴點(diǎn)；
由得，
整理得，
解得，
∵，
∴，
∴點(diǎn)；
綜上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為或．
【點(diǎn)睛】此題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，平行四邊形的性質(zhì)，解一元二次方程，用方程的思想解決問題是解本題的關(guān)鍵．
【變式5】（2023·甘肅蘭州·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，給出如下定義：為圖形上任意一點(diǎn)，如果點(diǎn)到直線的距離等于圖形上任意兩點(diǎn)距離的最大值時(shí)，那么點(diǎn)稱為直線的“伴隨點(diǎn)”．
例如：如圖1，已知點(diǎn)，，在線段上，則點(diǎn)是直線：軸的“伴隨點(diǎn)”．

(1)如圖2，已知點(diǎn)，，是線段上一點(diǎn)，直線過，兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)是直線的“伴隨點(diǎn)”時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)如圖3，軸上方有一等邊三角形，軸，頂點(diǎn)A在軸上且在上方，，點(diǎn)是上一點(diǎn)，且點(diǎn)是直線：軸的“伴隨點(diǎn)”．當(dāng)點(diǎn)到軸的距離最小時(shí)，求等邊三角形的邊長(zhǎng)；
(3)如圖4，以，，為頂點(diǎn)的正方形上始終存在點(diǎn)，使得點(diǎn)是直線：的“伴隨點(diǎn)”．請(qǐng)直接寫出的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)新定義得出，根據(jù)已知得出，則，即可求解；
（2）當(dāng)?shù)捷S的距離最小時(shí)，點(diǎn)在線段上，設(shè)的邊長(zhǎng)為，以為圓心為半徑作圓，當(dāng)與軸相切時(shí)，如圖所示，切點(diǎn)為，此時(shí)點(diǎn)是直線：軸的“伴隨點(diǎn)”．且點(diǎn)到軸的距離最小，則的縱坐標(biāo)為，即，是等邊三角形，且軸，設(shè)交于點(diǎn)，則，得出，根據(jù)即可求解；
（3）由正方形的邊長(zhǎng)為1，即可求出P到的距離為，從而可得P既在正方形的邊上，也在到距離為的直線上，當(dāng)時(shí)，向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得，分別求出過A、C時(shí)b的值；當(dāng)時(shí)，向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得，分別求出過A、C時(shí)b的值，即可求出b的取值范圍．
【詳解】（1）解：如圖所示，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵，，則，點(diǎn)是直線的“伴隨點(diǎn)”時(shí)，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：當(dāng)?shù)捷S的距離最小時(shí)，
∴點(diǎn)在線段上，
設(shè)的邊長(zhǎng)為，以為圓心為半徑作圓，當(dāng)與軸相切時(shí)，如圖所示，切點(diǎn)為，此時(shí)點(diǎn)是直線：軸的“伴隨點(diǎn)”．且點(diǎn)到軸的距離最小，

則的縱坐標(biāo)為，即，
∵是等邊三角形，且軸，設(shè)交于點(diǎn)，則，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：或（舍去），
∴等邊三角形的邊長(zhǎng)為；
（3）解：由題意知，正方形的邊長(zhǎng)為1，所以正方形上任意兩點(diǎn)距離的最大值為,即正方形上始終存在點(diǎn)P，P到的距離為.則向上或者向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到直線
∵與平行，且兩直線間的距離為，
∴P既在上，又在正方形的邊上，
∴與正方形有交點(diǎn).
當(dāng)時(shí)，為，
當(dāng)過A時(shí)，，即,
當(dāng)過C時(shí)，，即;
∴；
當(dāng)時(shí)，為，
當(dāng)過A時(shí)，，即,
當(dāng)過C時(shí)，，即;
∴；
綜上，當(dāng)或時(shí)，正方形上始終存在點(diǎn)，使得點(diǎn)是直線：的“伴隨點(diǎn)”．
【點(diǎn)睛】本題考查了幾何新定義，解直角三角形，切線的性質(zhì)，直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)問題，正方形的性質(zhì)，理解新定義是解題的關(guān)鍵．
【中考模擬即學(xué)即練】
1．（2024·廣東廣州·一模）如圖，四邊形為正方形，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸上，且，，反比例函數(shù)在第一象限的圖象經(jīng)過正方形的頂點(diǎn)．
(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)和反比例函數(shù)的解析式；
(2)若點(diǎn)為直線上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），在軸上是否存在點(diǎn)，使以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)，
(2)存在，或或
【分析】本題考查了反比例函數(shù)綜合應(yīng)用，熟練掌握平行四邊形的存在性求法是解答本題的關(guān)鍵．
（1）利用三角形全等求出點(diǎn)坐標(biāo)，由點(diǎn)坐標(biāo)求出反比例函數(shù)解析式即可；
（2）根據(jù)點(diǎn)為定點(diǎn)，分三種情況討論：當(dāng)為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，當(dāng)為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，當(dāng)為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)即可．
【詳解】（1）解：如圖，過點(diǎn)作軸，垂足為，
是正方形，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
在反比例函數(shù)圖象上，
，
反比例函數(shù)解析式為：；
（2）解：存在，理由如下：
根據(jù)（1）中求點(diǎn)坐標(biāo)，同理可得點(diǎn)坐標(biāo)，
設(shè)直線解析式為，
代入點(diǎn)坐標(biāo)得：，
解得：，
直線解析式為：，
設(shè)， ，
當(dāng)為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，
得：，
即：，
解得：，
；
當(dāng)為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，
得：，
即：，
解得：，
；
當(dāng)為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，
得：，
即：，
解得：，
；
綜上所述，符合條件的點(diǎn)有3個(gè)，坐標(biāo)為或或．
2.（2023·廣東廣州·中考真題）已知點(diǎn)在函數(shù)的圖象上．
(1)若，求n的值；
(2)拋物線與x軸交于兩點(diǎn)M，N（M在N的左邊），與y軸交于點(diǎn)G，記拋物線的頂點(diǎn)為E．
①m為何值時(shí)，點(diǎn)E到達(dá)最高處；
②設(shè)的外接圓圓心為C，與y軸的另一個(gè)交點(diǎn)為F，當(dāng)時(shí)，是否存在四邊形為平行四邊形？若存在，求此時(shí)頂點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)的值為1；
(2)①；②假設(shè)存在，頂點(diǎn)E的坐標(biāo)為，或．
【分析】（1）把代入得，即可求解；
（2）①，得，即可求解；
②求出直線的表達(dá)式為：，得到點(diǎn)的坐標(biāo)為；由垂徑定理知，點(diǎn)在的中垂線上，則；由四邊形為平行四邊形，則，求出，進(jìn)而求解．
【詳解】（1）解：把代入得；
故的值為1；
（2）解：①在中，令，則，
解得或，
，，
點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，
，
令，得，
即當(dāng)，且，
則，解得：（正值已舍去），
即時(shí)，點(diǎn)到達(dá)最高處；
②假設(shè)存在，理由：
對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，即點(diǎn)，
由①得，，，，對(duì)稱軸為直線，
由點(diǎn)、的坐標(biāo)知，，
作的中垂線交于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，則點(diǎn)，
則，
則直線的表達(dá)式為：．
當(dāng)時(shí)，，
則點(diǎn)的坐標(biāo)為．
由垂徑定理知，點(diǎn)在的中垂線上，則．
四邊形為平行四邊形，
則，
解得：，
即，且，
則，
∴頂點(diǎn)E的坐標(biāo)為，或．
【點(diǎn)睛】本題為反比例函數(shù)和二次函數(shù)綜合運(yùn)用題，涉及到一次函數(shù)基本知識(shí)、解直角三角形、平行四邊形的性質(zhì)、圓的基本知識(shí)，其中（3），數(shù)據(jù)處理是解題的難點(diǎn)．
題型六：最值問題
【中考母題學(xué)方法】
【典例6】（2023·江蘇蘇州·中考真題）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)．將點(diǎn)沿軸正方向平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)為軸正半軸上的點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)大于點(diǎn)的橫坐標(biāo)，連接的中點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上．

(1)求的值；
(2)當(dāng)為何值時(shí)，的值最大?最大值是多少?
【答案】(1)，
(2)當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為
【分析】（1）把點(diǎn)代入，得出，把點(diǎn)代入，即可求得；
（2）過點(diǎn)作軸的垂線，分別交軸于點(diǎn)，證明，得出，進(jìn)而可得，根據(jù)平移的性質(zhì)得出，，進(jìn)而表示出，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．
【詳解】（1）解：把點(diǎn)代入，
∴，
解得：；
把點(diǎn)代入，解得；
（2）∵點(diǎn)橫坐標(biāo)大于點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
∴點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，
如圖所示，過點(diǎn)作軸的垂線，分別交軸于點(diǎn)，

∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵將點(diǎn)沿軸正方向平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合，二次函數(shù)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
【變式6-1】（2023·西藏·中考真題）如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象相交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為．

(1)求的值和反比例函數(shù)的解析式；
(2)點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為，在x軸上找一點(diǎn)P，使最小，求出點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】(1)m=3，n=-3，反比例函數(shù)的解析式為：；
(2)；
【分析】（1）將點(diǎn)，點(diǎn)分別代入之中，即可求出的值；然后再將點(diǎn)代入即可得到反比例函數(shù)的解析；
（2）作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，連接，則為最小，故得點(diǎn)為所求作的點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱性先求出點(diǎn)，點(diǎn)，再利用待定系數(shù)法求出直線的解析式為，由此可求出點(diǎn)的坐標(biāo)．
【詳解】（1）解：將點(diǎn)，點(diǎn)分別代入之中，
得：，，
解得：，，
∴點(diǎn)，點(diǎn)，
將點(diǎn)代入之中，得：，
∴反比例函數(shù)的解析式為：，
（2）作點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，連接，如圖：

則為最小，
故得點(diǎn)為所求作的點(diǎn)．理由如下：
在軸上任取一點(diǎn)，連接，，，
∵點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，
∴軸為線段的垂直平分線，
∴，
∴，，
根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”得：，
即：，
∴為最小．
∵點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，
又∵點(diǎn)，點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，
∴點(diǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
設(shè)直線的解析式為：，
將點(diǎn)，代入，
得：，解得：，
∴直線A'B'的解析式為：，
對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象，利用軸對(duì)稱求最短路線，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，理解利用軸對(duì)稱求最短路線的思路和方法是解答此題的關(guān)鍵．
【變式6-2】（2024·四川眉山·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，，與軸，軸分別交于，兩點(diǎn)．
(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；
(2)若點(diǎn)在軸上，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)將直線向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度后與軸，軸分別交于，兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的值．
【答案】(1)一次函數(shù)的表達(dá)式為，反比例函數(shù)的表達(dá)式為
(2)點(diǎn)的坐標(biāo)為
(3)或
【分析】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，軸對(duì)稱-最短路徑問題，勾股定理，正確地求出函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)已知條件列方程求得，得到反比例函數(shù)的表達(dá)式為，求得，解方程組即可得到結(jié)論；
（2）如圖，作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)E，連接交y軸于P，則此時(shí)，的周長(zhǎng)最小，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得到，得到直線的解析式為，當(dāng)時(shí)，，于是得到點(diǎn)P的坐標(biāo)為；
（3）將直線向下平移a個(gè)單位長(zhǎng)度后得直線的解析式為，得到，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．
【詳解】（1）解：一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，，
，
，
反比例函數(shù)的表達(dá)式為，
把代入得，
，
，
，
把，代入得，
，
解得，
一次函數(shù)的表達(dá)式為；
（2）解：如圖，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接交軸于，
此時(shí)，的周長(zhǎng)最小，
點(diǎn)，
，
設(shè)直線的解析式為，
，
解得，
直線的解析式為，
當(dāng)時(shí)，，
點(diǎn)的坐標(biāo)為；
（3）解：將直線向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度后與軸，軸分別交于，兩點(diǎn)，
直線的解析式為，
，，
，
，
解得或．
【變式6-3】（2023·四川宜賓·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)，頂點(diǎn)A、恰好落在反比例函數(shù)第一象限的圖象上．

(1)分別求反比例函數(shù)的表達(dá)式和直線所對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)的表達(dá)式；
(2)在x軸上是否存在一點(diǎn)P，使周長(zhǎng)的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)，
(2)在x軸上存在一點(diǎn)，使周長(zhǎng)的值最小,最小值是．
【分析】（1）過點(diǎn)A作軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作軸于點(diǎn)D，證明，則，由得到點(diǎn)A的坐標(biāo)是，由A、恰好落在反比例函數(shù)第一象限的圖象上得到，解得，得到點(diǎn)A的坐標(biāo)是，點(diǎn)B的坐標(biāo)是，進(jìn)一步用待定系數(shù)法即可得到答案；
（2）延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連接交x軸于點(diǎn)P，連接，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)得到，，則，由知是定值，此時(shí)的周長(zhǎng)為最小，利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再求出周長(zhǎng)最小值即可．
【詳解】（1）解：過點(diǎn)A作軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作軸于點(diǎn)D，
則，

∵點(diǎn)，，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是，
∵A、恰好落在反比例函數(shù)第一象限的圖象上．
∴，
解得，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是，點(diǎn)B的坐標(biāo)是，
∴，
∴反比例函數(shù)的解析式是，
設(shè)直線所對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)的表達(dá)式為，把點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入得，
，解得,
∴直線所對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)的表達(dá)式為，
（2）延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連接交x軸于點(diǎn)P，連接，

∴點(diǎn)A與點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，
∴，，
∵，
∴的最小值是的長(zhǎng)度，
∵，即是定值，
∴此時(shí)的周長(zhǎng)為最小，
設(shè)直線的解析式是，
則，
解得，
∴直線的解析式是，
當(dāng)時(shí)，，解得，
即點(diǎn)P的坐標(biāo)是，
此時(shí)，
綜上可知，在x軸上存在一點(diǎn)，使周長(zhǎng)的值最小，最小值是．
【點(diǎn)睛】此題考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、用到了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、勾股定理求兩點(diǎn)間距離、軸對(duì)稱最短路徑問題、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，數(shù)形結(jié)合和準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
【中考模擬即學(xué)即練】
1．（2024·寧夏銀川·三模）如圖，直線與反比例函數(shù)的圖像交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，平行于軸的直線交反比例函數(shù)的圖像于點(diǎn)，交AB于點(diǎn)，連接BM．
(1)求的值和反比例函數(shù)的表達(dá)式；
(2)當(dāng)時(shí)，求的面積．
(3)直線沿軸方向平移，當(dāng)為何值時(shí)，的面積最大？最大面積是多少？
【答案】(1)
(2)
(3)時(shí)，的面積最大，最大值為
【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法即可求解；
（2）作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，根據(jù)一次函數(shù)，反比例函數(shù)可得的值，根據(jù)勾股定理可得AB的值，由此可求出的值，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)可得的值，由此可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，可得的長(zhǎng)度，根據(jù)三角形的面積公式即可求解；
（3）根據(jù)題意可得，由此可用含的式子表示的面積，根據(jù)二次函數(shù)最大值的計(jì)算方法即可求解．
【詳解】（1）解：根據(jù)題意，把點(diǎn)代入直線得，，
∴，即，
∴，
∴；
（2）解：如圖所示，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，
直線與軸交于點(diǎn)，
令，則，
解得，，即，
∴，，
∴，
∵，
∴，則，
∵軸，
，
，即，
∴，
∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
∴當(dāng)時(shí)，，即，
∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，且由（1）可得反比例函數(shù)解析式為，
∴當(dāng)時(shí)，，
解得，，即，
∴，
∴，
∴的面積為；
（3）解：直線沿軸平移，設(shè)，則，
∵，
∴，
∴
∴，
∵，
∴當(dāng)時(shí)，的面積最大，且最大值為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查一次函數(shù)，反比例函數(shù)的綜合，掌握待定系數(shù)法求解析式，一次函數(shù)圖象，反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)求最值的計(jì)算方法是等知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
2．（2024·湖南長(zhǎng)沙·模擬預(yù)測(cè)）若定義縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)平方的差為常數(shù)的點(diǎn)為“晨點(diǎn)”
(1)當(dāng)這個(gè)常數(shù)為時(shí)，下列函數(shù)存在“晨點(diǎn)”的請(qǐng)劃“”，不存在的請(qǐng)劃“”．
①（ ）
②（ ）
③（ ）
(2)若二次函數(shù)有且只有一個(gè)“晨點(diǎn)”，且點(diǎn)關(guān)于該二次函數(shù)的“晨點(diǎn)”的對(duì)稱點(diǎn)恰好也是“晨點(diǎn)”，求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
(3)已知，，其中，“晨點(diǎn)”在軸上，直線和直線上的另一個(gè)“晨點(diǎn)”分別為，，若四邊形能組成平行四邊形，且有四邊形面積不超過，則四邊形周長(zhǎng)是否存在最大值，如果存在，請(qǐng)求出最大值，如果不存在請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)；；
(2)
(3)四邊形的周長(zhǎng)最大值為8
【分析】（）根據(jù)定義列式：，逐一代入判斷，即可求解，
（2）設(shè)常數(shù)為，則：，整理得：，根據(jù)二次函數(shù)有且只有一個(gè)“晨點(diǎn)”，得到方程只有一個(gè)實(shí)根，當(dāng)，且時(shí)，，該二次函數(shù)的“晨點(diǎn)”坐標(biāo)為，設(shè)點(diǎn)關(guān)于該二次函數(shù)的“晨點(diǎn)”的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)中點(diǎn)公式得到，即：，根據(jù)也是“晨點(diǎn)”，得到，將代入，即可求解，
（3）設(shè)，由是“晨點(diǎn)”，得到常數(shù)為：，代入法求出直線的解析式為：，直線的解析式為：，設(shè)，，結(jié)合直線和直線上的另一個(gè)“晨點(diǎn)”分別為，，得到：，，進(jìn)而得到，，代入得，，由四邊形能組成平行四邊形，根據(jù)中點(diǎn)公式得到，解得：，，得到：，，，，是矩形，得到，，由，解得：，代入，即可求解，
【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式，反比例函數(shù)的增減性，二次函數(shù)的增減性，平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：根據(jù)題意列出等量關(guān)系．
【詳解】（1）解：①，即：，
∵，
∴無實(shí)根，
∴不存在常數(shù)為1的“晨點(diǎn)”，
②，即：，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)隨增大而減小，隨增大而增大，必然存在交點(diǎn)，
∴存在常數(shù)為1的“晨點(diǎn)”，
③，即：，
∵，
∴無實(shí)根，
∴不存在常數(shù)為1的“晨點(diǎn)”，
故答案為：；；，
（2）解：設(shè)常數(shù)為，則：，即：，整理得：，
∵二次函數(shù)有且只有一個(gè)“晨點(diǎn)”，
∴方程只有一個(gè)實(shí)根，
當(dāng)，且時(shí)，，
∴該二次函數(shù)的“晨點(diǎn)”坐標(biāo)為，
設(shè)點(diǎn)關(guān)于該二次函數(shù)的“晨點(diǎn)”的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為，
則：，即：，
∵也是“晨點(diǎn)”，
∴，代入得：，
∴，解得：，
故答案為：，
（3）解：設(shè)，
∵是“晨點(diǎn)”，
∴常數(shù)為：，
設(shè)直線的解析式為：，則：，解得：，
∴直線的解析式為：，
設(shè)直線的解析式為：，則：，解得：，
∴直線的解析式為：，
∵直線和直線上的另一個(gè)“晨點(diǎn)”分別為，，
∴設(shè)，，則：，，
整理得：，，
∵，，
∴，，
∴，，
當(dāng)四邊形能組成平行四邊形時(shí)，，整理得：，
∵，
∴，且，
∴，，
則：，，，，
∴是矩形，
∴，，
∴，解得：，
邊形的周長(zhǎng)為：，
故答案為：四邊形的周長(zhǎng)最大值為8．
題型一：方案選擇問題
題型二：費(fèi)用最少、利潤(rùn)最大問題
題型三：反比例函數(shù)面積問題
題型四：特殊三角形存在性問題
題型五：特殊四邊形存在性問題
題型六：最值問題
求最值的本質(zhì)為求最優(yōu)方案，解法有兩種：
①可將所有求得的方案的值計(jì)算出來，再進(jìn)行比較；
②直接利用所求值與其變量之間滿足的一次函數(shù)關(guān)系式求解，由一次函數(shù)的增減性可直接確定最優(yōu)方案及最值；若為分段函數(shù)，則應(yīng)分類討論，先計(jì)算出每個(gè)分段函數(shù)的取值，再進(jìn)行比較．
【提示】一次函數(shù)本身并沒有最值，但在實(shí)際問題中，自變量的取值往往有一定的限制，其圖象為射線或線段.涉及最值問題的一般思路：確定函數(shù)表達(dá)式→確定函數(shù)增減性→根據(jù)自變量的取值范圍確定最值．
計(jì)費(fèi)方式
月使用費(fèi)/元
主叫限定時(shí)間/min
主叫超時(shí)費(fèi)/（元/min）
被叫
A
免費(fèi)
B
108
免費(fèi)
主叫時(shí)間/分鐘
方式A計(jì)費(fèi)()
方式B計(jì)費(fèi)()
78
108
108
甲型客車
乙型客車
載客量/（人/輛）
45
30
租金/（元/輛）
400
280
王老師：“客運(yùn)公司有A，B兩種型號(hào)的客車可供租用，A型客車每輛租金1000元，B型客車每輛租金800元．”
小強(qiáng)：“七年級(jí)540人，租用6輛A型客車和4輛B型客車恰好坐滿．”
小國(guó)：“九年級(jí)525人，租用5輛A型客車和5輛B型客車恰好坐滿．”
水果種類
進(jìn)價(jià)（元/千克）
售價(jià)（元/千克）
甲
22
乙
25
價(jià)格
A
B
進(jìn)價(jià)（元/件）
94
146
售價(jià)（元/件）
120
188
成本（單位：元/個(gè)）
銷售價(jià)格（單位：元/個(gè)）
型號(hào)
35
a
型號(hào)
42
價(jià)格/類別
短款
長(zhǎng)款
進(jìn)貨價(jià)（元/件）
80
90
銷售價(jià)（元/件）
100
120
A型機(jī)器人臺(tái)數(shù)
B型機(jī)器人臺(tái)數(shù)
總費(fèi)用（單位：萬元）
1
3
260
3
2
360
【類型一：三角形面積與k的關(guān)系】
S△ABC=12|k|
S△ABC=12|k|
S△BCD=12|k|
S△DBC=12|k|
S△ABC=|k|
S△ABC=|k|
S△ABC=2|k|
S△ABC=2|k|
S△BDE=S△BFE
【類型二：四邊形面積與k的關(guān)系】
S=|k|
S=|k|
S=|k|
S△ABC=2|k|
S△ABC=2|k|
S=|k1?k2|
S=|k1?k2|
S=|k1?k2|
S=|k1?k2|
【類型三：重疊部分面積與k的關(guān)系】
S△ABC=S四BEDC
S△ABF=S四EFCD
S四BCHG=S四HDEF
【類型四：反比例函數(shù)與圖形中點(diǎn)與k的關(guān)系】
D為AB中點(diǎn)，
S△ABC=32k
S△ACD=S△BCD=34k
點(diǎn)E為平行四邊形ADBC的對(duì)角線的交點(diǎn)
S?ACBD=3k
點(diǎn)E為矩形ADBC的對(duì)角線的交點(diǎn)
S矩=2k
【類型五：反比例函數(shù)中的特殊線段的關(guān)系】
BC⊥x軸，BA⊥y軸
DF=EG,DE∥AC
AC=BD
DE∥BC

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