數(shù)學試題
考試用時：120分鐘 滿分：150分 考試時間：2025.03
一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知集合，，則（ ）
A. B. C. D.
2. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C 充要條件D. 既不充分也不必要條件
3. 在中，為邊上的中線，為的中點，則（ ）
A. B.
C. D.
4. 函數(shù)的部分圖象大致為（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知向量，的夾角為45°，且，，則（ ）
A. B. C. 1D. 2
6. 若，，則（ ）
A. B. C. D.
7. 已知向量，，若向量在向量上的投影向量，則（ ）
A. B. 3C. D. 7
8. 已知正實數(shù)a，b滿足：，，則的值是（ ）
A. B. C. 3D.
二、多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分．
9. 已知中，是邊上靠近的三等分點，過點的直線分別交直線，于不同的兩點，，設，，其中，，則下列結論正確的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 函數(shù)，以下正確的是（ ）
A. 若最小正周期為π，則
B. 若，且，則
C. 當時，在單調且在不單調，則
D. 當時，若對任意的x有成立，則
11. 如圖，已知點P是中線上一點（不包含端點），且，則下列說法正確的是（ ）
A. B. 的最大值為
C. 的最小值為D. 的最小值是8
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 木雕是我國古建筑雕刻中很重要的一種藝術形式，傳統(tǒng)木雕精致細膩?氣韻生動?極富書卷氣．如圖是一扇環(huán)形木雕，可視為扇形OCD截去同心扇形OAB所得部分．已知，，，則該扇環(huán)形木雕的面積為________．
13. 定義兩個向量，的運算“”：與運算“*”：，其中是，的夾角．若，，，則________．
14. 已知中，，，D為上一點，且，，垂足為E，則________．
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
15 化簡下列各式：
（1）；
（2）；
（3）．
16 已知，，，且，，，若，．
（1）求；
（2）求滿足的實數(shù)m，n的值；
（3）求M，N的坐標及向量的坐標．
17. 函數(shù)的部分圖象如圖所示．
（1）求的最小正周期及解析式；
（2）設函數(shù)，求在區(qū)間上的最小值；
（3）設實數(shù)，，若將函數(shù)的曲線向右平移個單位，再把各點橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍．然后向下平移1個單位，得到，求方程存在4個不等的實數(shù)根時a的取值范圍．
18. 如圖1所示，在中，點在線段BC上，滿足是線段AB上的點，且滿足，線段CG與線段AD交于點．
（1）若，求實數(shù)x，y的值；
（2）若，求實數(shù)的值；
（3）如圖2，過點的直線與邊AB，AC分別交于點E，F(xiàn)，設，，求的最小值．
19. 已知函數(shù)．
（1）求的最小正周期；
（2）設，若在上的值域為，求實數(shù)的值；
（3）若對任意的和恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

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