2025湖北省問津教育聯(lián)合體高二下學期3月聯(lián)考數(shù)學試題含解析-試卷下載-教習網(wǎng)

考試時間：2025年3月20日上午8：00-10：00 試卷滿分：150分
一、單選題：（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）
1. 物體運動方程為（位移單位：m，時間單位：s），若，則下列說法中正確的是（）
A. 18m/s是物體從開始到3s這段時間內(nèi)的平均速度
B. 18m/s是物體從3s到這段時間內(nèi)的速度
C. 18m/s是物體在3s這一時刻的瞬時速度
D. 18m/s是物體從3s到這段時間內(nèi)的平均速度
【答案】C
【解析】
【分析】由瞬時變化率的物理意義判斷．
【詳解】是物體在這一時刻的瞬時速度，是物體從到這段時間內(nèi)的平均速度的極限值，即是是物體在這一時刻的瞬時速度.
故選：C
2. 是等比數(shù)列，是方程的兩根，則（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用一元二次方程的根與系數(shù)的關系及等比數(shù)列的性質(zhì)即可求解.
【詳解】設等比數(shù)列公比為，
因為，是方程的兩根，
所以，所以，
由等比數(shù)列的性質(zhì)可知
所以.
故選：C.
3. 已知數(shù)列滿足：，則（）
A. 1B. 3C. 7D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推公式列出數(shù)列的前幾項.
【詳解】由題意：，，.
故選：B
4. 已知等差數(shù)列中，，，則數(shù)列的前2025項和為（）
A. 1012B. 1013C. 2025D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根據(jù)等差數(shù)列的通項公式求，再利用并項求和法求數(shù)列的前2025項和.
【詳解】設數(shù)列的公差為d，則，解得.所以．
設，
所以，，…，
所以數(shù)列的前2025項和為：
．
故選：D
5. 設等差數(shù)列的前項和為，公差為，若，，則下列結(jié)論不正確的是（）
A. B. 當時，取得最大值
C. D. 使得成立的最大自然數(shù)是15
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)等差數(shù)列定義及其通項可判斷公差，得出數(shù)列中各項的符號可得B正確，再由等差數(shù)列性質(zhì)可判斷C正確，由等差數(shù)列前項和公式可判斷D正確.
【詳解】對于A，因為等差數(shù)列中，，，
所以，，，A正確；
對于B，由題意可知數(shù)列為遞減數(shù)列，且當時，，當時，；
所以可得時，取得最大值，B正確；
對于C，由A知，數(shù)列前8項都大于0，所以，C正確；
對于D，易知，，
故成立的最大自然數(shù)，D錯誤．
故選：D．
6. 如圖，已知平行四邊形，，且，沿對角線將折起，當二面角的余弦值為時，則A與C之間距離為（）
A. 2B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用空間向量的線性運算及數(shù)量積公式計算模長即可.
【詳解】已知平行四邊形，，且，
，，
平面與平面所成角的余弦值為，
，
，
，
，
則，即與之間距離為，
故選：C．
7. 已知從1開始的連續(xù)奇數(shù)蛇形排列形成寶塔形數(shù)表，第一行為1，第二行為3，5，第三行為7，9，11，第四行為13，15，17，19，如圖所示，在寶塔形數(shù)表中位于第行，第列的數(shù)記為，例如，，，若，則（）
A. 64B. 65C. 68D. 72
【答案】C
【解析】
【分析】由題意，根據(jù)奇數(shù)數(shù)列的通項，明確為個奇數(shù)，根據(jù)寶塔數(shù)表的排列性質(zhì)，通過計算，求得所在的位置，可得答案.
【詳解】由題意，令，解得，則是第個奇數(shù)，
∵寶塔形數(shù)表第行有個數(shù)，前行共有個數(shù)，
，在寶塔形數(shù)表的第行中，
為第行從左往右數(shù)第個數(shù)，即，
.
故選：C.
【點睛】方法點睛：本題通過觀察寶塔形數(shù)表，歸納出一般規(guī)律來考查歸納推理及等差數(shù)列求和公式，屬于難題題.歸納推理的一般步驟：一、通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì). 二、從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表述的一般性命題(猜想）.常見的歸納推理分為數(shù)的歸納和形的歸納兩類：(1)數(shù)的歸納包括數(shù)的歸納和式子的歸納，解決此類問題時，需要細心觀察，尋求相鄰項及項與序號之間的關系，同時還要聯(lián)系相關的知識，如等差數(shù)列、等比數(shù)列等；(2)形的歸納主要包括圖形數(shù)目的歸納和圖形變化規(guī)律的歸納.
8. 已知雙曲線的左、右焦點分別為，左、右頂點分別為，以為直徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于點，且，則雙曲線的離心率為（）
A. B. 2
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用雙曲線漸近線確定，由余弦定理可得，再由勾股定理得，又由確定得，最后根據(jù)求得離心率 .
【詳解】
根據(jù)題意可知：點在以為圓心為半徑的圓上，所以；
根據(jù)雙曲線漸近線方程為有，
即，在中，，，
余弦定理有，解得；
由雙曲線中即所以；
在中，，，所以，
所以雙曲線離心率.
故選：D
二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．）
9. 下列求導運算正確的是（）
A B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】利用求導法則進行計算，對四個選項逐個判斷即可.
【詳解】，故A正確；
，故B錯誤；
，故C錯誤；
，故D正確.
10. 過拋物線的焦點的直線與相交于A，B兩點，為坐標原點，則（）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用已知可得，可判斷A；聯(lián)立直線與拋物線方程，可得可得判斷B；求得判斷C；可判斷D.
【詳解】對于A：因為直線經(jīng)過點，可得，即，所以，故A正確；
對于B：設由，所以，
所以所以
所以所以與不垂直，故B不正確；
，故C正確；
對于D：，故D正確.
故選：ACD.
11. 已知直三棱柱中，，點為的中點，則下列說法正確的是（）
A.
B. 平面
C. 異面直線與所成的角的余弦值為
D. 直三棱柱的外接球的表面積為
【答案】ABD
【解析】
【分析】建立空間直角坐標系，計算的坐標和的坐標即可判斷A，計算平面的法向量，計算即可判斷B，由分別計算即可判斷C，對于D先計算出外接球的半徑，根據(jù)球的表面積公式即可判斷D.
【詳解】如圖，建立空間直角坐標系，
則.
對于A：，
所以，故A正確；
對于B：，
設平面的一個法向量為，
則，令，則，所以，
所以，即，又平面，所以平面，故B正確；
對于C：，則，
所以，
即異面直線與所成的角的余弦值為，故C錯誤；
對于D：因為，直三棱柱的外接球的半徑為，
則有，
所以直三棱柱的外接球的表面積為，故D正確.
故選：ABD.
三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分．）
12. 已知，則__________．
【答案】
【解析】
【分析】先求函數(shù)的導函數(shù)，當?shù)?，得，進而可得.
【詳解】由可得，
故，得，
故，，
故答案：
13. 在等差數(shù)列中，，記，則數(shù)列的前30項和為_________．
【答案】755
【解析】
【分析】根據(jù)分組求和，結(jié)合等差求和公式求解.
【詳解】當時，，當時，，
故
．
故答案為：755
14. 如圖，已知圓柱的斜截面是一個橢圓，該橢圓的長軸AC為圓柱的軸截面對角線，短軸長等于圓柱的底面直徑．將圓柱側(cè)面沿母線AB展開，則橢圓曲線在展開圖中恰好為一個周期的正弦曲線．若該段正弦曲線是函數(shù)一個周期的圖像，且其對應的橢圓曲線的離心率為__________．
【答案】##0.5
【解析】
【分析】由正弦型函數(shù)的最值和周期可得圓錐的高和底面半徑，根據(jù)題意可得橢圓的長軸和短軸，即可得離心率.
【詳解】因為函數(shù)的值域為，最小正周期，
可知圓柱的高，
設圓柱的底面半徑為，則，可得，
由題意可知：橢圓短軸長，即，
橢圓的長軸長，即，
所以橢圓曲線的離心率.
故答案為：.
四、解答題：（本題共5小題．共77分．解答題應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）
15. 已知等比數(shù)列的公比，，．
（1）求；
（2）設，若，求．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由題設結(jié)合等比數(shù)列通項公式列出等比數(shù)列首項和公比的方程組即可求解；
（2）先求出的通項公式，再由等差數(shù)列前項和公式結(jié)合題設列出等量關系式計算即可求解.
【小問1詳解】
由題意得，
所以.
【小問2詳解】
由（1）得，
所以，
解得或（舍去）.
16. 如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，，，，，點M是AB的中點，點N是線段BC上的動點．
（1）證明：平面PAB；
（2）若點N到平面PCM的距離為，求的值．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）連接AC，通過證明，即可得平面PAB；
（2）過點作，垂足為，利用可得的值，則可得答案.
【小問1詳解】
證明：連接AC
在中，因為，，，
所以，
因為，，所以是等邊三角形．
因為點是的中點，所以，
在中，，，，
滿足，所以，
而，所以平面；
【小問2詳解】
過點作，垂足為，
由（1）可知平面，
因為平面，
所以平面平面，平面平面，
所以平面．
由得，
，
解得，
所以.
17. 已知函數(shù)是曲線和一條公切線．
（1）求實數(shù)的值；
（2）過點可作曲線的三條不同的切線，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】（1），
（2）或或
【解析】
【分析】（1）根據(jù)導數(shù)的幾何意義，結(jié)合一元二次方程根的判別式進行求解即可；
（2）根據(jù)導數(shù)的幾何意義，結(jié)合一元二次方程根的判別式進行求解即可
【小問1詳解】
設直線與曲線的切點坐標為，
，，
又直線的斜率為，，
且點同時在直線和曲線上，
滿足，聯(lián)立以上兩式可得，
故直線的方程為，
聯(lián)立，可得，
又直線與曲線相切，
，解得．
小問2詳解】
由（1）得，，
設切點為，
則曲線在點的切線方程為，
又切線過點，
，
即方程有兩個不相等的實數(shù)根，且，
，
解得或或，
所以實數(shù)的取值范圍為或或．
【點睛】關鍵點睛：本題關鍵是利用導數(shù)的幾何意義，結(jié)合一元二次方程根的判別式進行求解.
18. 已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S5＝S2，a2n＝2an＋1，n∈N*.
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）若，令cn＝an·bn，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)已知條件求得數(shù)列的首項和公差，由此求得.
（2）結(jié)合分組求和法、錯位相減求和法求得.
【小問1詳解】
設等差數(shù)列的首項為，公差為，
依題意有，
解得，所以.
【小問2詳解】
，
設，
，
兩式相減得
，
所以.
設，
所以.
19. 已知橢圓的右焦點為拋物線的焦點，過點的直線交橢圓于兩點，當直線垂直于軸時，.
（1）求橢圓的方程；
（2）當直線不垂直于軸時，過分別作軸的垂線，垂足分別為，記直線與的交點為.
（i）證明：點在定直線上，并求出的方程；
（ii）若的面積為，設直線與拋物線交于兩點，求.
【答案】（1）
（2）（i）證明見解析，；（ii）.
【解析】
【分析】（1）設，得，求出通徑，根據(jù)，即可求解；
（2）（ⅰ）設出直線的方程，與曲線的方程聯(lián)立，得到根與系數(shù)的關系，根據(jù)點斜式寫出直線的方程，聯(lián)立直線的方程，可得的坐標.，即可求解.
（ii）解法一：令在軸上方，借助面積公式，結(jié)合韋達定理，得到，分類討論，得到直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，設，結(jié)合韋達定理計算即可；
解法二：運用弦長公式，結(jié)合到的距離算出面積，解得，分類討論，得到直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，設，結(jié)合韋達定理計算即可.
【小問1詳解】
設，依題意得，
當時，，
又，所以，
故橢圓的標準方程為：.
【小問2詳解】
（i）因為直線與坐標軸不垂直，設直線的方程為，
設，
由，得，
則，可得，
又由條件知直線的斜率均存在，
則直線的方程為，
直線的方程為，
聯(lián)立直線和的方程，消去，得交點的橫坐標為
，
同理，消去，得交點的縱坐標為，
所以的坐標為.
所以點在定直線上，且定直線的方程為.
（ii）解法一：依題意不妨令在軸上方，
則
，
由，得，
解得（舍去），
所以，得直線的方程為，
同理當時，直線的方程為，
聯(lián)立，消去得，設，
得，
根據(jù)對稱性得，當直線的方程為時，也有.
綜上所述.
解法二：，
又因為到的距離為，
所以，
得，解得（舍去），
所以，得直線的方程為或，
聯(lián)立，消去得到，
設，則，
得，
根據(jù)對稱性得，當直線的方程為時，也有.
綜上所述.
【點睛】方法點睛：圓錐曲線中定點問題的兩種解法.
（1）引進參數(shù)法：先引進動點的坐標或動線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與參數(shù)何時沒有關系，找到定點.
（2）特殊到一般法：先根據(jù)動點或動線的特殊情況探索出定點，再證明該定點與變量無關.

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