數(shù)學試題
考試用時：120分鐘 滿分：150分
一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】解不等式，得到，由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性得到，根據(jù)交集概念求出答案.
【詳解】，
，.
故選：D
2. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】先化簡指數(shù)不等式和對數(shù)不等式，再去判斷二者之間的邏輯關系即可
【詳解】為R上單調(diào)遞減函數(shù)，由，可得
為上單調(diào)遞增函數(shù)，由，可得
則由“”可以得到“”；
由“” 不能得到“”
則“”是“”的必要不充分條件
故選：B
3. 在中，為邊上的中線，為的中點，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)平面向量基本定理，結(jié)合平面向量線性運算的性質(zhì)進行求解即可.
【詳解】∵為邊上的中線，∴，
∵E為的中點，∴，
∴，
故選：D.
4. 函數(shù)的部分圖象大致為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】探討函數(shù)的奇偶性，再由時的函數(shù)值正負判斷即可.
【詳解】函數(shù)的定義域為R，，即是奇函數(shù)，排除AC；
當時，，則，選項D滿足，B不滿足.
故選：D
5. 已知向量，的夾角為45°，且，，則（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)平面向量的數(shù)量積及運算律計算即可.
【詳解】因為向量，的夾角為45°，且，，
所以，
則.
故選：A.
6. 若，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用倍角公式，整理化簡已知條件，求得，再求，即可求得.
【詳解】，又，故，故，
則，解得，故，
故.
故選：C.
7. 已知向量，，若向量在向量上的投影向量，則（ ）
A. B. 3C. D. 7
【答案】A
【解析】
【分析】利用投影向量的概念結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標表示及模長公式計算即得.
【詳解】因向量在向量上的投影向量是，
則，
故，
于是.
故選：A
8. 已知正實數(shù)a，b滿足：，，則的值是（ ）
A. B. C. 3D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用對數(shù)運算進行變形，然后構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性求解即可.
【詳解】，故即
故，且，即，
設，則，
易知增函數(shù)，故，
所以.
故選：B
二、多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分．
9. 已知中，是邊上靠近的三等分點，過點的直線分別交直線，于不同的兩點，，設，，其中，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】A，B選項：根據(jù)平面向量線性關系得到的和，的關系；C，D選項：根據(jù)平面向量線性關系得到的和，的關系，根據(jù)平面向量的共線定理建立等式.
【詳解】對于A，B：，A正確，B錯誤；
對于C，D：因為，，所以，
又因M，O，N三點共線，所以，故，C正確，D錯誤．
故選：AC.
10. 函數(shù)，以下正確的是（ ）
A. 若的最小正周期為π，則
B. 若，且，則
C. 當時，在單調(diào)且在不單調(diào)，則
D. 當時，若對任意的x有成立，則
【答案】ACD
【解析】
【分析】對于A，由最小正周期計算公式可判斷選項正誤；
對于B，由題可得相鄰對稱軸間的距離，然后由最小正周期計算公式可判斷選項正誤；
對于C，由題可得最小正周期范圍，然后由周期計算公式可判斷選項正誤；
對于D，可得在時取最大值，即可得表達式，然后結(jié)合，可得答案.
【詳解】對于A，由題可得，故A正確；
對于B，由題可得，則，
且，可得相鄰對稱軸間的距離，即半個最小正周期為，
則最小正周期為π，故，故B錯誤；
對于C，因在單調(diào)且在不單調(diào)，
則半個最小正周期滿足：
，故C正確；
對于D，由題可得在時取最大值，又，
則，又，
則當時，取最小值，故D正確.
故選：ABD
11. 如圖，已知點P是的中線上一點（不包含端點），且，則下列說法正確的是（ ）
A. B. 的最大值為
C. 的最小值為D. 的最小值是8
【答案】BC
【解析】
【分析】利用向量的共線定理即可判斷A選項；利用基本不等式即可判斷B選項；將轉(zhuǎn)化為，利用二次函數(shù)的最值即可判斷C選項；利用基本不等式的乘“1”法，即可判斷D選項.
【詳解】對于A，，因為三點共線，
故，故A錯誤；
對于B，，故，當且僅當時，等號成立，
故B正確；
對于C，，故，
所以，故C正確；
對于D，，
當且僅當即時，等號成立，故D錯誤.
故選：BC
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 木雕是我國古建筑雕刻中很重要的一種藝術(shù)形式，傳統(tǒng)木雕精致細膩?氣韻生動?極富書卷氣．如圖是一扇環(huán)形木雕，可視為扇形OCD截去同心扇形OAB所得部分．已知，，，則該扇環(huán)形木雕的面積為________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)扇形的面積公式計算即可．
【詳解】環(huán)形面積.
故答案為：．
13. 定義兩個向量，的運算“”：與運算“*”：，其中是，的夾角．若，，，則________．
【答案】
【解析】
【分析】由題干中給的定義，利用同角三角函數(shù)的平方關系算出，再利用題干條件即可得到結(jié)果.
【詳解】因為，，，所以，
解得：，又，所以，
所以，
故答案為：6
14. 已知中，，，D為上一點，且，，垂足為E，則________．
【答案】##
【解析】
【分析】以E為坐標原點，EA,EB所在直線為x軸，y軸，建立平面直角坐標系，根據(jù)條件求出的坐標，即可求得結(jié)果.
【詳解】
如圖，以E為坐標原點，EA,EB所在直線為x軸，y軸，建立平面直角坐標系，
因為,所以，則
又，過D作于F，易知，所以，
得到，設，則，
所以.
故答案：
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
15. 化簡下列各式：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）
（2）
（3）0
【解析】
【分析】（1）根據(jù)平面向量的線性運算計算即可；
（2）根據(jù)平面向量的線性運算計算即可；
（3）根據(jù)平面向量的線性運算及數(shù)量積計算即可.
【小問1詳解】
.
【小問2詳解】
.
【小問3詳解】
.
16. 已知，，，且，，，若，．
（1）求；
（2）求滿足的實數(shù)m，n的值；
（3）求M，N的坐標及向量的坐標．
【答案】（1）；
（2）；
（3），，．
【解析】
【分析】（1）計算出，利用線性運算得到；
（2）根據(jù)向量運算法則得到方程組，求出；
（3）計算出，得到，同理得到，得到的坐標.
【小問1詳解】
由題意得，
，，
所以；
【小問2詳解】
因為，
又，
所以，
解得，即；
【小問3詳解】
設為坐標原點，∵，
∴，即，
又，
∴，即，
∴．
17. 函數(shù)的部分圖象如圖所示．
（1）求的最小正周期及解析式；
（2）設函數(shù)，求在區(qū)間上的最小值；
（3）設實數(shù)，，若將函數(shù)的曲線向右平移個單位，再把各點橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍．然后向下平移1個單位，得到，求方程存在4個不等的實數(shù)根時a的取值范圍．
【答案】（1），
（2）
（3）．
【解析】
【分析】（1）由圖像可得，，進而利用周期公式由求出，再將點代入求出，即可得的解析式；
（2）由(1)得到的解析式并結(jié)合輔助角公式化簡，再由得的范圍，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得結(jié)果；
（3）根據(jù)圖像變換得到，令，據(jù)題意得方程在上存在兩個相異的實根， 根據(jù)二次函數(shù)及其方程的性質(zhì)列出的不等式求解即得.
【小問1詳解】
由圖可得，，所以，因此，
又由時，，可得，即，
又，所以，
故
【小問2詳解】
由(1)知
所以，
又因為，所以，
故當，即時，函數(shù)取最小值
【小問3詳解】
將的圖象向右平移個單位所得圖象的解析式為，
再把各點橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，所得圖象的解析式為，
將圖象向下平移一個單位所得圖象的解析式為，
令，因為，則，畫出的圖像，
可以得到使方程存在4個不等的實數(shù)根，則方程在上存在兩個相異的實根，
令，則g0=1>0g1=3?2a+1>0Δ=?2a2?4×3×1>00

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