滿分：120分 測試范圍：二次根式、勾股定理、平行四邊形
一、選擇題。（共10小題，每小題3分，共30分）
1．下列各式中，屬于最簡二次根式的是
A．B．C．D．
答案：．
2．平行四邊形的周長為，其中一邊長為，則它的鄰邊長為
A．2 B．C．D．
答案：．
3．矩形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)是
A．對角線相等B．對角線平分一組對角
C．對角線互相垂直D．兩組對邊分別平行
答案：．
4．下列條件中，能判定四邊形是平行四邊形的是（ ）
A．對角線互相平分
B．對角線互相垂直
C．對角線相等
D．對角線互相垂直且相等
答案：A．
5．如圖為某樓梯，測得樓梯的長為5米，高3米，計劃在樓梯表面鋪地毯，地毯的長度至少為
A．4米B．7米C．8米D．9米
答案：．
6．在中，若，，，則下列條件不能判定是直角三角形的是
A．B．
C．，，D．，
答案：．
7.下列計算，正確的是
A．B．C．D．
答案：．
8．王老師在講“實數(shù)”時畫了一個圖（如圖），即“以數(shù)軸的單位長度的線段為邊作一個正方形，然后以表示﹣1的點為圓心，正方形的對角線長為半徑畫弧交數(shù)軸于點A”．則數(shù)軸上點A所表示的數(shù)是（ ）
A．﹣1B．﹣+1C．D．﹣
答案：A．
9．如圖，在平行四邊形中，對角線、交于點，點為線段的中點，連接，若，，，則的長為
A．B．C．5D．
答案：．
10．如圖，是內(nèi)部一點，，且，依次取，，，的中點，并順次連接得到四邊形，則四邊形的面積是
A．B．12C．24D．48
故答案為：．
二、填空題。（共6小題，每小題3分，共18分）
11．化簡的結(jié)果為 ．
解：＝2，
故答案為：2．
12．如圖，在矩形中，對角線，相交于點，若，則的長為 ．
解：是矩形
，
又，
故答案為：4．
13．直角三角形有兩邊長分別為3，4，則該直角三角形第三邊為 ．
解：（1）當兩邊均為直角邊時，由勾股定理得，第三邊為5
（2）當4為斜邊時，由勾股定理得，第三邊為
故直角三角形的第三邊應(yīng)該為5或
14．已知實數(shù)、、滿足等式，則 ．
解：由題意得，且，
解得且，
所以，
所以，等式可化為，
由非負數(shù)的性質(zhì)得，，
解得，
故的值為5．
故答案為：5．
15．如圖，矩形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，∠AOB＝120°，AD＝3，則AC的長是 ．
解：在矩形ABCD中，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，AC＝BD，
∴OA＝OD，
∵∠AOB＝120°，
∴∠AOD＝180°﹣120°＝60°，
∴△AOD是等邊三角形，
∴OA＝AD＝3，
∴AC＝2OA＝6；
故答案為：6
16.如圖，在四邊形中，，分別以四邊形的四條邊為邊向外作四個正方形，若，，則 86 ．
解：如圖，連接，
由正方形的性質(zhì)可知：，，，，
在和中，，
即，
，
故答案為：86．
三、解答題（共8小題，共72分）
17．計算：
（1）；
（2）．
解：（1）
；
（2）
．
18．已知：，．求下列各式的值．
（1）；
（2）．
解：（1），，
，，
，
；
（2）．
19．如圖，的對角線、相交于點，且、、、分別是、、、的中點．
（1）求證：四邊形是平行四邊形；
（2）若，，求的周長．
（1）證明：四邊形是平行四邊形，
，，
、、、分別是、、、的中點，
，，，，
，，
四邊形是平行四邊形；
（2）解：、分別是、的中點，
，
，
，
的周長．
20.如圖，在7×7網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都為1．
（1）建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，使點A（3，4）、C（4，2），則點B的坐標為 ；
（2）求圖中格點△ABC的面積；
（3）判斷格點△ABC的形狀，并說明理由．
（4）在x軸上有一點P，使得PA+PC最小，則PA+PC的最小值是 ．
解：（1）B的坐標是（0，0）．
故答案是（0，0）；
（2）S△ABC＝4×4﹣×4×2﹣×3×4﹣×1×2＝5，
（3）∵AC2＝22+12＝5，BC2＝22+42＝20，AB2＝42+32＝25，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形．
（4）如圖1所示：作點C關(guān)于x軸的對稱點C′連接AC′交x軸于點P，連接PC．
∵點C與點C′關(guān)于x軸對稱，
∴PC＝PC′．
∴AP+PC＝AP+PC．
∴當A，P，C′在一條直線上時，AP+PC有最小值，最小值為AC′的長．
∵AC′＝＝．
∴AP+PC的最小值為．
故答案為：．
21．如圖，在中，，將沿著折疊以后點正好落在邊上的點處．
（1）當時，求的度數(shù)；
（2）當，時，求線段的長．
解：（1）在中，，，
，
沿著折疊以后點正好落在點處，
；
（2）在中，，，
，
沿著折疊以后點正好落在點處，
，，
，
設(shè)，則，
中，，
，
解得．
即的長為3．
22．“中華人民共和國道路交通管理條例”規(guī)定：小汽車在城市街道上的行駛速度不得超過70千米/時．一輛“小汽車”在一條城市街路上直道行駛，某一時刻剛好行駛到路對面“車速檢測儀A”正前方50米C處，過了6秒后，測得“小汽車”位置B與“車速檢測儀A”之間的距離為130米，這輛“小汽車”超速了嗎？請說明理由．
解：由題意知，AB＝130米，AC＝50米，
且在Rt△ABC中，AB是斜邊，
根據(jù)勾股定理AB2＝BC2+AC2，
可以求得：BC＝120米＝0.12千米，
且6秒＝時，
所以速度為＝72千米/時，
故該小汽車超速．
答：該小汽車超速了，平均速度大于70千米/時．
23.綜合與實踐
綜合與實踐課上，老師帶領(lǐng)同學們以“正方形和矩形的折疊”為主題開展數(shù)學活動．
（1）操作判斷
操作一：將正方形紙片依次沿對角線、對折，把紙片展平，折痕的交點為；
操作二：在上取一點，在上取一點，沿折疊，使點落在點處，然后延長交于點，連接．
如圖1是經(jīng)過以上兩次操作后得到的圖形，則線段和的數(shù)量關(guān)系是 ．
（2）遷移思考
圖2是把矩形紙片按照（1）中的操作一和操作二得到的圖形．請判斷，，三條線段之間有什么數(shù)量關(guān)系？并僅就圖2證明你的判斷．
（3）拓展探索
圖2中，若點是邊的三等分點，直接寫出的值．
解：（1）線段和的數(shù)量關(guān)系是：．
理由如下：
四邊形為正方形，點為對角線，的交點，
，，，
在和中，
，
，
，
由折疊的性質(zhì)得：，
即：，
為的垂直平分線，
．
（2），，三條線段之間的數(shù)量關(guān)系是：．
證明如下：
四邊形為矩形，點為對角線，的交點，
，，，
，
在和中，
，
，
，，
由折疊的性質(zhì)得：，
即：，
為的垂直平分線，
，
在中，由勾股定理得：，
即：．
（3）的值為或．
理由如下：
點為邊的三等分點，
有以下兩種情況，
①當時，
設(shè)，，
，
，
由（2）可知：，
過點作于點，
則為的中位線，
，
，，
．
②當時，
設(shè)，，
，
，
過點作于點，
同理得：，
，，
．
24．（1）如圖所示，矩形中，，將矩形繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到新的矩形，連接，，線段交于點，連．
①請直接寫出線段和的數(shù)量關(guān)系 ，位置關(guān)系 ；
②求證：．
（2）如圖2所示，中，，，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到新的，連接，，線段，相交于點，點為線段中點，連，在旋轉(zhuǎn)的過程中，是否發(fā)生改變？如果不變，請求出的值；如果發(fā)生改變，請說明理由．
（1）①解：由旋轉(zhuǎn)得，；
故答案為：，；
②證明：設(shè)與的交點為，
由旋轉(zhuǎn)得，，，
，，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
、是等腰直角三角形，
、，
，
，
，
又，
，
，
，
；
（2）解：在上取點，使得，
由旋轉(zhuǎn)可知，，，
則可令，
，
，，
，
則，
，，
，
．
為中點，
，，
又，
，
，故．

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