九年級數(shù)學(xué)試卷
（時間：120分鐘 滿分120分）
第Ⅰ卷 選擇題（共30分）選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分，每小題只有一個選項(xiàng)符合題意，請將其字母標(biāo)號填入下表相應(yīng)題號的空格內(nèi)）
1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．B．
C．D．
2．用公式法解一元二次方程時，首先要確定a、b、c的值，下列敘述正確的是（ ）
A． B．
C．D．
3．將一元二次方程化為一般形式，正確的是（ ）
A．B．
C．D．
4．配方法是解一元二次方程的一種基本方法，其本質(zhì)是將一元二次方程由一般式化為的形式，然后利用開方求一元二次方程的解的過程，這個過程體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是（ ）
A．?dāng)?shù)形結(jié)合思想B．函數(shù)思想C．轉(zhuǎn)化思想D．公理化思想
5．一元二次方程的根的情況是（ ）
A．有兩個不等的實(shí)數(shù)根B．有兩個相等的實(shí)數(shù)根
C．無實(shí)數(shù)根D．無法判斷
6．用配方法解一元二次方程時，需要將原方程化為（ ）
A．B．
C．D．
7．電影《長津湖》于2021年9月30日在中國大陸上映．某地第一天票房約2億元，以后每天票房按相同的增長率增長，三天后票房收入累計(jì)達(dá)7億元，若把增長率記作x，則方程可以列為（ ）
A．B．
C．D．
8．已知一元二次方程x2－2x－1＝0的兩根分別為x1，x2，則的值為( )
A．2B．－1
C．－D．－2
9．小李解方程的步驟如圖所示，則下列說法正確的是（ ）
A．小李解方程的過程正確
B．也是該方程的一個解
C．小李解方程的方法是配方法
D．解方程的過程是從第②步到第③步時出現(xiàn)錯誤
10．如圖1，將一張長20cm，寬10cm的長方形硬紙片裁剪掉圖中陰影部分之后，恰好折成如圖2的有蓋長方體紙盒，紙盒底面積為，則該有蓋紙盒的高為（ ）
A．4cmB．3cmC．2cmD．1cm
第Ⅱ卷 非選擇題（共90分）二、填空題（本大題共5個小題，每小題3分，共15分，請把正確答案填在題中橫線上）
11．一元二次方程的根是 ．
12．若關(guān)于的一元二次方程的一個根為0，則的值是 ．
13．若是一元二次方程的一個根，則代數(shù)式的值為 ．
14．一個三角形的兩邊長分別為3和6，第三邊長是方程x2-10x+21=0的根，則三角形的周長為 .
15．在《代數(shù)學(xué)》中記載了求方程正數(shù)解的幾何方法：如圖①，先構(gòu)造一個面積為的正方形，再以正方形的邊為一邊向外構(gòu)造四個面積為2x的矩形，則圖中大正方形的面積為，則該方程的正數(shù)解，小明嘗試用此方法解關(guān)于x的方程時，構(gòu)造出如圖②所示的正方形．已知圖②中陰影部分的面積和為55，則該方程的正數(shù)解為 ．
三、解答題（本大題共8個小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
16．解下列一元二次方程：
(1)；
(2)；
(3)．
17．已知關(guān)于的一元二次方程．若方程的一個根為，求的值和方程的另一個根．
18．如圖是2024年1月的日歷，1月1日下方標(biāo)有“元旦”二字．“元旦"意為“初始之日”．中國歷史上的“元旦”指的是農(nóng)歷“正月初一”，1949年中華人民共和國以公歷1月1日為元旦．在如圖的日歷中，用“日”形框框住任意6個數(shù)，若其中最小數(shù)與最大數(shù)的乘積為100，求這個最小數(shù)．

19．某小區(qū)在綠化工程中有一塊長為，寬為的矩形空地，計(jì)劃在其中修建兩塊相同的矩形綠地，且它們的面積之和為，兩塊綠地之間及周邊留有寬度相等的人行通道（如圖所示），求人行通道的寬度．
20．山西壺關(guān)太行山大峽谷八泉峽景區(qū)先后榮獲“國家森林公園、國家地質(zhì)公園、中國十大最美峽谷、山西省風(fēng)景名勝區(qū)”等諸多榮譽(yù)稱號．國慶期間某旅行社推出一日游團(tuán)隊(duì)套票活動，收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為：如果參團(tuán)人數(shù)不超過20，人均費(fèi)用為180元；如果參團(tuán)人數(shù)超過20，每增加1人，人均費(fèi)用降低5元，但人均費(fèi)用不得低于130元．
(1)當(dāng)參團(tuán)人數(shù)為30時，人均旅游費(fèi)用為________元．
(2)已知某旅游團(tuán)實(shí)際人數(shù)超過20，其支付給旅行社旅游費(fèi)用為3875元，求該團(tuán)隊(duì)的人數(shù)．
21．閱讀與思考
下面是某課外書籍中的一篇文章（部分），請仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)．
三角形點(diǎn)陣中前行的點(diǎn)數(shù)計(jì)算
如圖是一個三角形點(diǎn)陣，從上向下有無數(shù)行，其中第一行有1個點(diǎn)，第二行有2個點(diǎn)……第行有個點(diǎn)．

容易發(fā)現(xiàn)，10是三角形點(diǎn)陣中前4行的點(diǎn)數(shù)之和，你能發(fā)現(xiàn)300是前多少行的點(diǎn)數(shù)之和嗎?
如果用試驗(yàn)的方法，由上而下地逐行相加其點(diǎn)數(shù)，雖然能發(fā)現(xiàn)，得知300是前24行的點(diǎn)數(shù)之和，但是這樣尋找答案需要花費(fèi)較多的時間，是否有更簡潔的方法呢?
我們先探究三角形點(diǎn)陣中前行的點(diǎn)數(shù)之和與的數(shù)量關(guān)系．
前行的點(diǎn)數(shù)之和是．可以發(fā)現(xiàn)：
．
把兩個中括號中的第一項(xiàng)相加、第二項(xiàng)相加……第項(xiàng)相加，上式等號右邊的式子變形為．這個小括號都等于，整個式子等于．于是得到．
所以三角形點(diǎn)陣中前行的點(diǎn)數(shù)之和為．
……
任務(wù)：
(1)請用一元二次方程解決問題“三角形點(diǎn)陣中300是前多少行的點(diǎn)數(shù)之和”；
(2)三角形點(diǎn)陣中前行的點(diǎn)數(shù)之和可能是600嗎?如果可能，求出的值；如果不可能，請說明理由；
(3)如果把上述文章中三角形點(diǎn)陣圖中各行的點(diǎn)數(shù)依次換為1，3，5，…，，請直接寫出前行的點(diǎn)數(shù)之和滿足的規(guī)律．（用含的代數(shù)式表示）
22．如圖，利用一面墻（墻長25米），用總長度49米的櫥欄（圖中實(shí)線部分）圍成一個矩形圍欄ABCD，且中間共留兩個1米的小門，設(shè)選欄BC長為x米．
（1）AB＝ 米（用含x的代數(shù)式表示）；
（2）若矩形圍欄ABCD面積為210平方米，求櫥欄BC的長；
（3）矩形圍欄ABCD面積是否有可能達(dá)到240平方米？若有可能，求出相應(yīng)x的值；若不可能，則說明理由．

23．閱讀與思考
下面是小文撰寫的數(shù)學(xué)小論文，請仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)任務(wù)．
任務(wù)：
(1)已知是兩個常數(shù)，一元二次方程的兩個實(shí)數(shù)根為，則將二次三項(xiàng)式因式分解的結(jié)果是______．
(2)因式分解：______．
(3)請用閱讀內(nèi)容中的方法，因式分解：．
解方程：．
解：，①
，②
，③
．
通過解一元二次方程分解某些二次三項(xiàng)式
我們把形如是常數(shù)，的多項(xiàng)式叫做關(guān)于的二次三項(xiàng)式．通過所學(xué)內(nèi)容可知，利用因式分解可解某些一元二次方程．反過來，是否可以利用一元二次方程的兩個根，把某些二次三項(xiàng)式因式分解呢？
設(shè)一元二次方程的兩個實(shí)數(shù)根為，計(jì)算：．
下面是代數(shù)推理過程：
解：．即．
這就是說，在因式分解二次三項(xiàng)式時，可先求一元二次方程的兩個實(shí)數(shù)根，則可將二次三項(xiàng)式因式分解為，即通過解一元二次方程可以將某些二次三項(xiàng)式因式分解．
1．D
解：A．不是整式方程，不是一元二次方程，故此選項(xiàng)不符合題意；
B．含有兩個未知數(shù)，不是一元二次方程，故此選項(xiàng)不符合題意；
C．是多項(xiàng)式，不是方程，故此選項(xiàng)不符合題意；
D．符合一元二次方程的定義，是一元二次方程，故此選項(xiàng)符合題意．
故選：D．
2．D
解：，
移項(xiàng)，得，
這里，
故選：D．
3．B
解：，
，
，
，
故選：B．
4．C
解：利用配方法把一般式化為，再利用開方求一元二次方程的解的過程，這個過程體現(xiàn)的轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．
故選：C．
5．C
解：∵，
∴
方程無實(shí)數(shù)根．
故選C．
6．C
解：對移項(xiàng)得：，
配方得：，
化簡得：，
故選：C．
7．D
解：第一天票房為2，第二天票房為2+2x，第三天票房為(2+2x)+(2+2x)x
故根據(jù)題意列方程式為：
化簡得：
故選D．
8．D
解：由題意得，
，，
∴=.
故選D.
9．B
解：．
，①
，②
，③
或
解得或．
A、小李解方程的過程錯誤，不符合題意；
B、也是該方程的一個解，符合題意；
C、小李解方程的方法是因式分解法，不符合題意；
D、解方程的過程是從第③步時出現(xiàn)錯誤，不符合題意；
故選：B．
10．C
解：設(shè)當(dāng)紙盒的高為x cm時，紙盒的底面積是48cm2，
依題意，得： ，
化簡，得：x2-15x+26=0，
解得：x1=2，x2=13．
當(dāng)x=2時，10-2x=6＞0，符合題意； 當(dāng)x=13時，10-2x=-16＜0，不符合題意，舍去， 答：若紙盒的底面積是48cm2，紙盒的高為2cm．
故選：C．
11．##，
解：，
移項(xiàng)得，，
提取公因式得，，
∴，
故答案為：，．
12．
解：關(guān)于的一元二次方程的一個根為0，
，
．
．
故答案為：
13．5
解：是一元二次方程的一個根，
．
．
．
故答案為：5．
14．16
解：解方程x2-10x+21=0得x1=3，x2=7，
∵3＜第三邊的邊長＜9，
∴第三邊的邊長為7．
∴這個三角形的周長是3+6+7=16．
故答案為16．
15．##
解：如圖2所示：
先構(gòu)造一個面積為的正方形，再以正方形的邊為一邊向外構(gòu)造四個面積為的矩形，得到大正方形的面積為，則該方程的正數(shù)解為．
故答案為：
16．(1)
(2)
(3)
（1）解：，
移項(xiàng)，得，
配方，得，
開平方得，
所以．
（2）解：，
，
，
所以方程有兩個不等的實(shí)數(shù)根，
即．
（3）解：，
移項(xiàng)，得，
因式分解，得，
即，
所以或，
所以．
17．，方程的另一個根為2
解：把代入方程得：．
解得．
當(dāng)時，原方程為．
解得．
所以方程的另一個根為2．
18．這個最小的數(shù)為5
解：設(shè)最小的數(shù)為，則最大的數(shù)為，
根據(jù)題意，得，
解得，，
由題意可知，所以不符合題意，舍去，
所以．
答：這個最小的數(shù)為5．
19．人行通道的究度為
解：設(shè)人行通道的寬度為．
根據(jù)題意，得．
解得，（不合題意，舍去）．
答：人行通道的究度為．
20．(1)130
(2)該團(tuán)隊(duì)的人數(shù)為25
（1）解：根據(jù)題意，當(dāng)參團(tuán)人數(shù)為30時，
人均旅游費(fèi)用為：元．
故答案為：130；
（2）設(shè)該團(tuán)隊(duì)的人數(shù)為人，
根據(jù)題意，可得 ，
整理可得 ，
解得，，
當(dāng)時，因?yàn)椋?br>故此時人均費(fèi)為130元，總費(fèi)用為元，不合題意，
所以，該團(tuán)隊(duì)的人數(shù)為25人．
21．(1)三角形點(diǎn)陣中300是前24行的點(diǎn)數(shù)之和
(2)三角形點(diǎn)陣中前行的點(diǎn)數(shù)之和不可能是600，理由見解析
(3)前行的點(diǎn)數(shù)之和為
（1）解：設(shè)三角形點(diǎn)陣中300是前行的點(diǎn)數(shù)之和，
根據(jù)題意，得，
整理得，即，
解方程，得，（不合題意，舍去）
答：三角形點(diǎn)陣中300是前24行的點(diǎn)數(shù)之和；
（2）解：三角形點(diǎn)陣中前行的點(diǎn)數(shù)之和不可能是600．
理由：設(shè)三角形點(diǎn)陣中前行的點(diǎn)數(shù)之和是600，
根據(jù)題意，得，
整理得，
，
解方程，得，，
該方程沒有正整數(shù)根，
所以三角形點(diǎn)陣中前行的點(diǎn)數(shù)之和不可能是600；
（3）解：，
∴前行的點(diǎn)數(shù)之和為．
22．（1）（51-3x）：（2）10米；（3）不可能，理由見解析
解：（1）設(shè)籬笆BC長為x米，
∵籬笆的全長為49米，且中間共留兩個1米的小門，
∴AB=49+2-3x=51-3x（米），
故答案為：（51-3x）；
（2）依題意，得：（51-3x）x=210，
整理，得：x2-17x+70=0，
解得：x1=7，x2=10．
當(dāng)x=7時，AB=51-3x=30＞25，不合題意，舍去，
當(dāng)x=10時，AB=51-3x=21，符合題意，
答：籬笆BC的長為10米；
（3）不可能，理由如下：
依題意，得：（51-3x）x=240，
整理得：x2-17x+80=0，
∵△=（-17）2-4×1×80=-31＜0，
∴方程沒有實(shí)數(shù)根，
∴矩形雞舍ABCD面積不可能達(dá)到240平方米．
23．(1)
(2)
(3)
（1）解：由題意可得，
，
故答案為：；
（2）解：由題意可得，
解得，，，
∴，
故答案為：；
（3）解：解：由題意可得，
解得，
，
∴，，
∴．

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