（知識梳理+典題精講+專項訓練）
1、定義新運算是指用一個符號和已知運算表達式表示一種新的運算。
注意：
（1）解決此類問題，關鍵是要正確理解新定義的算式含義，嚴格按照新定義的計算順序，將數(shù)值代入算式中，再把它轉化為一般的四則運算，然后進行計算．
（2）我們還要知道，這是一種人為的運算形式．它是使用特殊的運算符號，如：*、▲、★、◎、△、◆、■等來表示的一種運算．
（3）新定義的算式中，有括號的，要先算括號里面的．
2、解決問題。
（1）解決此類問題，關鍵是要正確理解新定義的算式含義，嚴格按照新定義的計算順序，將數(shù)值代入算式中，再把它轉化為一般的四則運算，然后進行計算．
（2）我們還要知道，這是一種人為的運算形式．它是使用特殊的運算符號，如：*、▲、★、◎、△、◆、■等來表示的一種運算．
（3）新定義的算式中，有括號的，要先算括號里面的．
【典例一】▽，且9▽，求的值．
【解答】解：根據新運算可得：
9▽



答：的值是2．
【典例二】有這樣一種運算，規(guī)定，若，你能把求出嗎？動動腦筋，你一定行，請把解答過程寫出來．
【解答】解：




【典例三】對于兩個數(shù)、，規(guī)定☆，請計算6☆☆．
【解答】解：6☆☆
☆
☆22
．
一．選擇題（共8小題）
1．小明編制了一個計算程序，當輸入任一個數(shù)時，顯示屏的結果總等于所輸入數(shù)的平方與1之和，若輸入0，并將所顯示的結果再次輸入，這時顯示的結果應當是
A．2B．3C．4D．5
2．規(guī)定運算符號“”的含義為，那么的值為
A．B．C．
3．“※”表示一種新的符號，仔細觀察框中算式的規(guī)律，可知算式2※5的正確結果是
A．2.5B．2.3456C．2.3456 1D．5.4321
4．我們學過、、、四種運算，現(xiàn)在規(guī)定是一種新的運算，，那么
A．B．C．1D．
5．、都是自然數(shù)，規(guī)定△，則5△ △
A．等于B．小于C．大于
6．如果5※，6※那么，7※3等于
A．35B．21C．42
7．設、都表示數(shù)，規(guī)定△表示的4倍減去的3倍，即△，計算5△6結果為
A．2B．4C．6D．8
8．若大于等于小于等于的所有數(shù)記為，，在，內，在，內，值在 內。
A．，B．，C．，D．，
二．填空題（共8小題）
9．如果◆，那么20◆◆ 。
10．對于、定義新運算：★。比如5★。如果4★，那么 。
11．羅馬數(shù)字里符號“Ⅰ”代表1，符號“Ⅴ”代表5，符號“Ⅹ”代表10，用羅馬數(shù)字表示數(shù)其中的一條規(guī)則是：在一個較大的羅馬數(shù)字的右邊記上一個較小的羅馬數(shù)字，表示較大數(shù)加較小數(shù)。如Ⅷ，表示“”。想一想，羅馬數(shù)字ⅩⅦ表示阿拉伯數(shù)字 。
12．規(guī)定“※”為一種運算，對任意兩數(shù)、，有※，若6※，則 。
13．對于任意數(shù)、，定義運算“※”為※，則3※※ 。
14．英國《每日郵報》曾報道，數(shù)學奇才普萊什塔爾沃克在網絡上出了道棘手的數(shù)學難題，已經有約300萬人挑戰(zhàn)了這個“智力測驗“。塔爾沃克提出的規(guī)則是：，，
那么（1） ；
（2） 。
15．我們學過“、、、”四種運算。若規(guī)定“”是一種新運算，表示。如：。那么 。
16．規(guī)定“△”是一種新運算，△表示，如果4△，那么10△△ ．
三．計算題
17．代表一種運算法則，如果．那么得多少？
18．仔細觀察，再計算。
規(guī)定：△，△，
求△△3的值。（寫出計算過程）
19．對于非零自然數(shù)和，規(guī)定符號的含義是：是一個確定的整數(shù)）如果，求的值。
20．△表示一種運算符號，其意義是△，計算△△7．
21．、是自然數(shù)，規(guī)定，如果，那么是幾？
22．計算：若2！ 3！ 5！，那么求的值．
23．，表示兩個數(shù)，規(guī)定新運算“”及“△”如下：，△，其中，，均為自然數(shù)，已知，△，求△的值。
24．△，其中，為自然數(shù)。若△△，求的值。
25．對于任何兩個正整數(shù)，定義運算符號為；求．
26．如果規(guī)定，求的值．
27．定義新運算：若△，當△時，△的值是多少？
參考答案
一．選擇題（共8小題）
1．【分析】當輸入0時，顯示屏的結果是，再輸入1時，顯示屏的結果是，由此做出選擇．
【解答】解：當輸入0時，顯示屏的結果是，再輸入1時，顯示屏的結果是，
故選：．
【點評】關鍵是根據“當輸入任一個數(shù)時，顯示屏的結果總等于所輸入數(shù)的平方與1之和”這個新的運算方法解決問題．
2．【分析】根據“規(guī)定運算符號“”的含義為，”先求出，再求，再根據新的運算方法，就可計算的值．
【解答】解：，
，
，
，
，
；
故選：．
【點評】解答此題的關鍵是，根據所給出的式子，找出新的計算方法，再根據新的計算方法，計算要求式子的值．
3．【答案】
【解答】解：2※
故選：。
4．【答案】
【解答】解：由題意可得：
所以。
故選：。
【點評】此題考查定義新運算。讀懂題意，然后將新運算轉化為舊運算即可。
5．【答案】
【分析】由題意得出△等于的5倍減去的，用此方法，分別計算出5△10與10△5的值，再比較大小。
【解答】解：5△10
10△5
所以，5△△5。
故選：。
【點評】此題考查了根據例子找準運算規(guī)律，然后按照這種運算進行解答。
6．【解答】解：因為5※，6※；
所以7※；
故選：．
7．【分析】根據新運算的方法得出：5△，據此計算即可．
【解答】解：5△6，
，
，
．
故選：．
【點評】解決本題的關鍵是找出新運算方法，再靈活利用新方法計算．
8．【答案】
【分析】取最小值，取最大值時，最小，取最大值，取最小值時，最大；據此求解即可。
【解答】解：取20，取15時，，
取最大值，取最小值時，，
所以記為，
故選：。
【點評】本題主要考查了定義新運算，解題的關鍵是理解運算的定義。
二．填空題（共8小題）
9．【答案】16。
【分析】根據新運算方法“◆”，代入數(shù)據解答即可。
【解答】解：20◆◆
◆
◆64
故答案為：16。
【點評】定義新運算：這種新運算其實只是變了形的求式子值的問題，只要弄清新的運算法則，然后再分步求值就可得出答案。
10．【答案】1。
【分析】根據新的運算法則“★”，求出4★中的值即可。
【解答】解：4★
故答案為：1。
【點評】定義新運算：這種新運算其實只是變了形的求式子值的問題，只要弄清新的運算法則，然后再分步求值就可得出答案。
11．【答案】17。
【分析】根據用羅馬數(shù)字表示數(shù)的規(guī)則解答即可。
【解答】解：羅馬數(shù)字ⅩⅦ表示阿拉伯數(shù)字：。
故答案為：17。
【點評】解答本題關鍵是明確羅馬數(shù)字表示數(shù)的方法。
12．【答案】8。
【分析】根據新運算的規(guī)則，根據6※計算出的值即可。
【解答】解：
故答案為：8。
【點評】解答此題的關鍵是：根據所給出的等式找出新的運算方法，再根據新的運算方法解決問題。
13．【答案】15。
【分析】根據新運算的規(guī)則計算先算小括號里的，再計算括號外面的即可。
【解答】解：5※9
3※15
所以3※※。
故答案為：15。
【點評】本題主要考查定義新運算，關鍵看懂運算法則。
14．【解答】解：根據分析得到的規(guī)律填空。
（1）
所以。
（2）因為
所以
故答案為：（1）216；（2）13，7。
15．【答案】80。
【解答】解：
故答案為：80。
16．【解答】解：10△△
△
△12
故答案為：8．
【點評】考查了定義新運算，根據新運算的公式，把數(shù)據逐步代入求解即可．
三．計算題
17．【分析】可知，表示兩個數(shù)和的一半，由此按照先算括號里面的，再算括號外的順序，逐步計算即可．
【解答】解：
答：得15．
【點評】解決本題關鍵是明確新運算表示的含義，把新運算轉化成四則運算，然后進行求解．
18．【答案】。
【分析】根據規(guī)定：△，△，可得，△，△，然后再進一步計算即可。
【解答】解：△△3
【點評】根據題意，找準規(guī)定的新定義的運算，然后按照這種運算進行解答即可。
19．【答案】。
【分析】根據所給出的等式，知道，又因為，用此方法求出的值，進而求出的值。
【解答】解：由題意得：
；；
又因為，
所以，解得：。
所以。
故答案為：。
【點評】解決本題的關鍵是找出新運算方法，根據這個方法計算即可。
20．【解答】解：△△7
△7
△7
21．【解答】解：


答：是4．
22．【解答】解：4！，6！，
答：的值是。
23．【答案】10?！窘獯稹拷猓阂驗?，，其中，，均為自然數(shù)
①當，時：
△4
△4
△4
②當，時：
△4
△4
△4
（不符合題意）
所以，，
△
24．【答案】19。
【解答】解：△△
△△△
△
△
答：的值是19。
25．【解答】解：
，
．
答：的值是24．
26．【解答】解：
．
27．【答案】11。
【解答】解：因為△，
所以△
又因為△，可得：
△△
答：△的值是11。
6※
5※
3※

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