1．本試題共 4 頁，滿分 120 分，時間 100 分鐘．
2．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上．
3．回答選擇題時，選出每小題答案后，用 2B 鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如
需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫
在本試卷上無效．
4．考試結(jié)束后，監(jiān)考員將答題卡按順序收回，裝袋整理；試題不回收．
第Ⅰ卷（選擇題 共 47 分）
一、選擇題：本題共 8 小題，每小題 4 分，共 32 分．在每小題給出的四個選項中，只有一項
是符合題目要求的．
1. 已知集合 ， ，則 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)交集的知識確定正確選項.
詳解】∵集合 ， ，
∴ .
故選：D
2. 命題“ ”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定的知識來確定正確答案.
【詳解】原命題是全稱量詞命題，其否定是存在量詞命題，
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注意到要否定結(jié)論而不是否定條件，
所以命題“ ”的否定是：
.
故選：B
3. 我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說，數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事
休．在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，經(jīng)常用函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì)，也常利用函數(shù)的解析式來琢磨函數(shù)圖象
的特征．函數(shù) 的圖象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)特殊點的函數(shù)值來確定正確答案.
【詳解】 ，所以 BD 選項錯誤.
，所以 C 選項錯誤.
故選：A
4. 將函數(shù) 圖象上的所有點向右平移 個單位長度，再向下平移 1 個單位長度后，所得函數(shù)圖
象的解析式可能為（ ）
A. B.
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C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象變換的知識來確定正確答案.
【詳解】將函數(shù) 圖象上的所有點向右平移 個單位長度，
得到函數(shù)圖象解析式： ，
再向下平移 1 個單位長度后，
得到函數(shù)圖象解析式： .
故選：D.
5. 已知 ，則“ ”是“ ”的（ ）
A. 充要條件 B. 充分不必要條件
C. 必要不充分條件 D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，結(jié)合充分性、必要性的定義進行判斷即可.
【詳解】由不等式的性質(zhì)可知由 ，
由 ，
故選：A
6. 某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過循環(huán)濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物含量 （單位： ）與時間 （單位：
）間的關(guān)系為 （ 是自然對數(shù)的底數(shù)， ， 為正的常數(shù)）．若前 12 消除了 的污染物，
則 24 后的污染物含量約為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根據(jù)已知條件“前 消除了 的污染物”求出 的值，再將 代入關(guān)系式求出 后
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的污染物含量
【詳解】已知過濾過程中廢氣的污染物含量 與時間 之間的關(guān)系為 ，
當(dāng) 時，因為前 消除了 的污染物，
所以此時剩余的污染物含量為 ，即 ，
將 ， 代入 可得：
兩邊同時除以 （ ），得到 ，
對等式兩邊取自然對數(shù)可得： ，解出 ，
將 ， 代入 可得：
所以 后的污染物含量約為 .
故選：C
7. 若函數(shù) 在區(qū)間 上不具有單調(diào)性，則實數(shù) 的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】討論兩種情況， 時先求出函數(shù)的對稱軸，再根據(jù)二次函數(shù)在區(qū)間 上不具有單調(diào)性，可
判斷對稱軸在區(qū)間 上，進而得到答案.
【詳解】 時， 在 上遞減，不合題意；
時，函數(shù) 圖象的對稱軸為直線 ，
因為函數(shù) 在區(qū)間 上不具有單調(diào)性，
所以 ，解得 ，
所以實數(shù) 的取值范圍是 ，
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故選：A.
8. 設(shè) ，用 表示不超過 的最大整數(shù)，例如， ， ．我們把 稱為取整函
數(shù)，在現(xiàn)實生活中有著廣泛的應(yīng)用，諸如停車收費，出租車收費等均按“取整函數(shù)”進行計費．下列說法正確
的是（ ）
A. B. 函數(shù) 是偶函數(shù)
C. 函數(shù) 的最小值為 0 D. ，若 ，則
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)取整函數(shù) 的定義，對每個選項逐一進行分析判斷，從而確定正確答案.
【詳解】選項 A：
因為 ，根據(jù)取整函數(shù) 表示不超過 的最大整數(shù)，
所以 ，而不是 ，A 選項錯誤.
選項 B：
函數(shù) 的定義域為 ，關(guān)于原點對稱， ，
例如 時， ，
；
，所以 不是偶函數(shù)，B 選項錯誤.
選項 C：
設(shè) ，當(dāng) 時， ，則 ，此時 ，
所以 的值域是 ，其最小值為 ，C 選項正確，
選項 D：
若 ，設(shè) ， ， ， ，
那么 ，所以 ，所以不存在 ，
使得當(dāng) 時， ，D 選項錯誤.
故選：C
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【點睛】方法點睛
對于涉及取整函數(shù)的題目，關(guān)鍵是要準(zhǔn)確理解取整函數(shù) 的定義，即不超過 的最大整數(shù)，研究函數(shù)的性
質(zhì)（如奇偶性、最值等）時，要根據(jù)函數(shù)的表達式，結(jié)合定義進行分析，對于奇偶性，要判斷 與
的關(guān)系；對于最值，要先確定函數(shù)的取值范圍.
二、選擇題：本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分．在每小題給出的四個選項中，有多項符
合題目要求，全部選對的得 5 分，部分選對的得部分分，有選錯的得 0 分．
9. 已知 ，且 ，則下列運算正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根據(jù)指數(shù)冪運算以及對數(shù)的性質(zhì)逐項分析判斷即可.
【詳解】對于選項 A： ，故 A 錯誤；
對于選項 B： ，故 B 正確；
對于選項 C： ，故 C 錯誤；
對于選項 D： ，故 D 正確；
故選：BD.
10. 已知函數(shù) 是定義在 上的奇函數(shù)， 是定義在 上的偶函數(shù)，則下列說法正確的有（ ）
A. 是奇函數(shù)
B. 是偶函數(shù)
C. 若 在 上單調(diào)遞增，則當(dāng) 時，
D. 若 在 上單調(diào)遞減，則當(dāng) 時，
【答案】ACD
【解析】
【分析】直接利用函數(shù)奇偶性的定義判斷 AB；根據(jù)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱判斷 C；根據(jù)偶函數(shù)的圖象
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關(guān)于 對稱判斷 D.
【詳解】因為函數(shù) 是定義在 上的奇函數(shù)， 是定義在 上的偶函數(shù)，
所以 ， .
A. 設(shè) ，則 ，所以 是奇函
數(shù)，故正確；
B. 設(shè) ，則 ，所以 不
是偶函數(shù)，故錯誤；
C. 因為函數(shù) 是定義在 上的奇函數(shù)，所以其圖象關(guān)于原點對稱，若 在 上單調(diào)遞增，
則 在 上單調(diào)遞增，當(dāng) 時， ，正確；
D. 因為 是定義在 上的偶函數(shù)，所以其圖象關(guān)于 軸對稱，若 在 上單調(diào)遞減，則
在 上單調(diào)遞增，當(dāng) 時， ，正確.
故選：ACD.
11 已知函數(shù) ，則（ ）
A. 存在點 ，使得 的圖象關(guān)于點 中心對稱
B. 的一個周期為
C. 的值域為
D. 在 內(nèi)有且僅有 2 零點
【答案】BD
【解析】
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)對選項進行分析，從而確定正確答案.
【詳解】選項 A：
若函數(shù) 的圖象關(guān)于點 中心對稱，則有 恒成立.
對于 ， ，
所以函數(shù) 是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于 軸對稱.
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假設(shè)存在點 使得 的圖象關(guān)于點 中心對稱，
，
若 ， 的值不恒為常數(shù)，
所以不存在點 ，使得 的圖象關(guān)于點 中心對稱，A 選項錯誤.
選項 B：
若 是函數(shù) 的周期，則 恒成立.
，所以 是 的
一個周期，B 選項正確.
選項 C：
因為 ，那么 .
令 ，函數(shù) 在 上的值域是 ，因為 ，
所以 的值域是 ，不是 ，C 選項錯誤.
選項 D：
令 ，則 ，即 .
當(dāng) 時， .
對于 ，當(dāng) 時， ，
在 單調(diào)遞增，在 單調(diào)遞減，所以 在 內(nèi)有 個解.
當(dāng) 取其他整數(shù)時， .
所以 在 內(nèi)有且僅有 個零點，D 選項正確.
故選：BD
【點睛】思路點睛：
遇到判斷函數(shù)性質(zhì)的問題，先明確函數(shù)的類型（如本題是三角函數(shù)相關(guān)的復(fù)合函數(shù)），然后根據(jù)三角函數(shù)的
基本性質(zhì)（對稱性、周期性、值域、零點等）的定義和相關(guān)結(jié)論進行分析,對于復(fù)合函數(shù)，要注意內(nèi)外層函
數(shù)之間的關(guān)系和相互影響.
第Ⅱ卷（非選擇題 共 73 分）
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三、填空題：本題共 3 小題，每小題 4 分，共 12 分．
12. 函數(shù) 的定義域為__________．
【答案】
【解析】
【分析】解不等式 ,即得解.
【詳解】解：由題意得 .
解得 .
故答案為：
13. 已知正數(shù) ， 滿足 ，則 的最小值為________．
【答案】1
【解析】
【分析】由乘“1”法即可求解；
【詳解】因為 ，
所以 ，
當(dāng)且僅當(dāng) 時，取等號，
所以 的最小值為 1，
故答案為：1
14. 若函數(shù) 在定義域內(nèi)存在單調(diào)區(qū)間，且其圖象的兩條對稱軸分別為直線 和 ，則 的
一個解析式可以是 ________．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，可得函數(shù) 是周期函數(shù)，確定函數(shù)的一個周期寫出解析式.
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【詳解】依題意，函數(shù) 是周期函數(shù)，它的一個周期是 ，
又函數(shù) 在定義域內(nèi)存在單調(diào)區(qū)間，可選該函數(shù)為余弦型函數(shù)，令 ，
顯然 ，直線 和 是 圖象的對稱軸，符合題意.
故答案為：
四、解答題：本題共 5 小題，共 61 分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
15. 已知 ，且 是第二象限角．
（1）求 和 的值；
（2）求 的值．
【答案】（1） ，
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式來求得正確答案.
（2）根據(jù)誘導(dǎo)公式來求得正確答案.
小問 1 詳解】
，且 是第二象限角，
，
．
【小問 2 詳解】
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．
16. 已知冪函數(shù) 在區(qū)間 上單調(diào)遞增．
（1）求 的解析式；
（2）若 ，求實數(shù) 的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)冪函數(shù)的定義和性質(zhì)來求得 的值，從而求得 的解析式.
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性化簡不等式，從而求得 的取值范圍.
【小問 1 詳解】
是冪函數(shù)，
，解得 或 ，
又冪函數(shù) 在區(qū)間 上單調(diào)遞增，
，即 ．
【小問 2 詳解】
）易知 在 上單調(diào)遞增，
又 ，
，即 ，
解得 ，
實數(shù) 的取值范圍為 ．
17. 已知函數(shù) （ ，且 ）
（1）求函數(shù) 定義域；
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（2）若函數(shù) 在區(qū)間 上的最大值為 2，求實數(shù) 的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)定義域的求法來求得正確答案.
（2）化簡 的解析式，對 進行分類討論，根據(jù)最值列方程來求得 的值.
【小問 1 詳解】
要使函數(shù) 的解析式有意義，
則
解得 ，
函數(shù) 的定義域為 ．
【小問 2 詳解】
，
當(dāng) 時， ，
當(dāng) 時，函數(shù) 在 上單調(diào)遞減，
此時 ，
，即 ，解得 （舍）．
當(dāng) 時，函數(shù) 在 上單調(diào)遞增，
此時 ，
，即 ，解得 或 （舍）．
綜上，實數(shù) 的值為 ．
18. 已知函數(shù) ．
（1）求函數(shù) 的最小正周期；
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（2）討論函數(shù) 在區(qū)間 上的單調(diào)性；
（3）當(dāng) 時，求不等式 的解集．
【答案】（1）
（2） 在區(qū)間 上單調(diào)遞減，在區(qū)間 上單調(diào)遞增，在區(qū)間 上單調(diào)遞減
（3）
【解析】
【分析】（1）先利用正弦、余弦的二倍角公式和余弦的兩角差公式化簡 ，再根據(jù)周期公式求解即可；
（2）根據(jù)余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解即可；
（3）令 解得 或 ，結(jié)合（2）中單調(diào)性即可求解.
【小問 1 詳解】
由題意
，
函數(shù) 的最小正周期為 ．
【小問 2 詳解】
因為函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間為 ，單調(diào)遞減區(qū)間為 ，
由 ，解得 ，
當(dāng) 時， ，
由 ，解得 ，
當(dāng) 時， ；當(dāng) 時， ，
所以函數(shù) 在區(qū)間 上單調(diào)遞減，在區(qū)間 上單調(diào)遞增，在區(qū)間 上單調(diào)遞減．
【小問 3 詳解】
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令 ，
解得 或 ，
即 或 ，
當(dāng) 時，方程 的解為 或 ，
結(jié)合（2）中單調(diào)性的結(jié)論知，當(dāng) 時， ，
所以當(dāng) 時，不等式 的解集為 ．
19. 若在函數(shù) 的定義域內(nèi)存在 ，使得 成立，則稱 具有性質(zhì) ．
（1）試判斷函數(shù) 是否具有性質(zhì) ；
（2）證明：函數(shù) 具有性質(zhì) ；
（3）若函數(shù) 具有性質(zhì) ，求實數(shù) 的取值范圍．
【答案】（1） 不具有性質(zhì)
（2）證明見解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)性質(zhì) 的定義判斷即可；
（2）函數(shù) ，根據(jù)性質(zhì) 的定義證明即可；
（3）由已知可得 ，令 ，則問題轉(zhuǎn)化為
存在 的根，計算求解即可得出解.
【小問 1 詳解】
假設(shè)函數(shù) 具有性質(zhì) ，
則存 ，使得 ，
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即 ，即 ，顯然不成立，
假設(shè)不成立，即 不具有性質(zhì) ．
【小問 2 詳解】
證明： ，
， ， ，
令 ，得 ，
即 ，即 ，
又函數(shù) 的定義域為 ， ，
函數(shù) 具有性質(zhì) ．
【小問 3 詳解】
函數(shù) 的定義域為 ，且具有性質(zhì) ，
，
即 ，
令 ，則 ，
，
，
解得 或 ，
當(dāng)方程有一個正根時，即 ， 即 ， 此時 ．
當(dāng)方程有兩個正根時，當(dāng) ，即 時， 此時 ．
實數(shù) 的取值范圍為
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