1. 拋物線的準線方程為______．
【答案】
【解析】
【分析】根據拋物線方程求出準線方程．
【詳解】由拋物線，可得，
拋物線的準線方程為，
故答案為：．
2. 在的二項展開式中，若各項系數和為729，則正整數的值為______．
【答案】6
【解析】
【分析】利用在的二項展開式中，令，可得各項系數和即可求解.
【詳解】在的二項展開式中，令，可得各項系數和為，
解得.
故答案為：6
3. 若直線與垂直，則________．
【答案】1
【解析】
【分析】根據兩條直線垂直，得到關于的方程，即可求解.
【詳解】直線與垂直，
則，解得.
故答案為：1.
4. 在5名男生和4名女生中選出3人，至少有一名男生的選法有________種（填寫數值）.
【答案】80
【解析】
【分析】先由題意，分別確定從5名男生和4名女生中選出3人，和選出的3人全部都是女生對應的選法種數，進而可求出結果.
【詳解】從5名男生和4名女生中選出3人，共有種選法；
選出的3人全部都是女生，共有種選法；
因此，至少有一名男生的選法有種.
故答案為
【點睛】本題主要考查組合問題，熟記組合的概念，以及組合數的計算公式即可，屬于?？碱}型.
5. 橢圓，橢圓的離心率為，則與更扁平的是_____．（填r）
【答案】
【解析】
【分析】計算出橢圓得離心率，然后與的離心率進行比較，誰的離心率越大且越接近于1，誰越扁.
【詳解】在橢圓中，，所以，所以，
因為橢圓的離心率為，且，所以橢圓的圖形更為扁平一些.
故答案為：.
6. 已知雙曲線的一條漸近線方程是，則__________．
【答案】
【解析】
【分析】求出雙曲線的漸近線方程，結合已知條件可求得正數的值.
【詳解】雙曲線的漸近線方程為，
直線的方程可化為，所以，.
故答案為：.
7. 已知空間向量，則向量在向量上的投影向量是______．
【答案】
【解析】
【分析】根據向量在向量上的投影向量計算公式進行計算即可.
【詳解】空間向量，得，，
則向量在向量上的投影向量是：
.
故答案為：.
8. 已知，其中，若，，則實數的最大值為______．
【答案】23
【解析】
【分析】為的系數，由二項式定理求得的系數，由，可得的不等關系，從而求得實數的最大值.
【詳解】因為展開式中的系數為，
展開式中的系數為，
所以展開式中的系數為
.
要使，則為奇數，且，
所以，則，則的最大值為.
故答案為：.
9. 如圖，在三棱柱中，、分別為和的中點，設，，，則___________（用表示）．
【答案】
【解析】
【分析】利用向量加法的三角形法則與向量減法的三角形法則即可求得結果.
【詳解】
,
故答案為：
10. 甲、乙兩人組成“星隊”參加投籃比賽，每輪比賽由甲、乙在罰球區(qū)各投一次，已知甲、乙每輪投中的概率分別為、，在每輪比察中，甲和乙是否投中互不影響，各輪之間也互不影響，則“星隊”在兩輪比賽中共投中3球的概率為________．
【答案】
【解析】
【分析】應用互斥、對立事件的概率求法及獨立事件乘法公式求目標事件的概率即可.
【詳解】由“星隊”在兩輪比賽中共投中3球，即其中有一輪甲、乙有一人未投中，
所以其概率為.
故答案為：.
11. 若直線與曲線有兩個不同的交點，則實數的取值范圍是________．
【答案】
【解析】
【分析】根據直線和圓的位置關系，結合圖象來求得正確答案.
【詳解】直線，即，過定點，
曲線（），
可化為（），
即以為圓心，半徑為的圓的上半部分，
畫出直線和半圓的圖象如下圖所示，
設，則的最小值為.
當直線與半圓相切于點時，圓心到直線的距離：
，解得或（舍去），
所以.
故答案為：
12. 將3個的正方形沿鄰邊的中點剪開分成兩部分（如圖左）；將這六個部分接于一個邊長為的正六邊形邊上（如圖），若拼接后的圖形是一個多面體的表面展開圖，則該多面體的體積是_______．
【答案】256
【解析】
【分析】折成多面體以后，將其補形為正方體，其體積是正方體的一半，計算即可.
【詳解】折成的多面體如圖①所示，將其補形為正方體，如圖②，
所求多面體體積為正方體的一半，又由已知可得正方體的棱長為8，
故.
故答案為：256.
二、選擇題：（每題4分，共16分）
13. 設直線的方向向量為，平面的法向量為，則是的（ ）條件
A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分也非必要
【答案】B
【解析】
【分析】利用空間向量與立體幾何的關系即可得到答案.
【詳解】已知直線的方向向量為，平面的法向量為，則由得到或,
故是的非充分條件；
由可得，故是的必要條件；
故選：B
14. 若橢圓（）和雙曲線（）有相同的焦點和，而P是這兩條曲線的一個交點，則的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用橢圓與雙曲線的定義得出與的和與差，變形求得積．
【詳解】設為半焦距，
由題意知不妨設點是兩曲線在第一象限內的交點，可得：
，解得：，
則，故A項正確.
故選：A.
15. 如圖，一個高為2的長方體形狀的容器內裝有水，若保持容器底面的一條棱不動，將該容器的另一端抬起至水恰好不能流出容器，發(fā)現此時容器的底面中不被水浸到的面積為底面積的，則容器在原來位置時的水深為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據幾何體的體積關系，化歸轉化，即可求解.
【詳解】設該長方體的底面矩形的長為，寬為，又高為2，
所以根據題意可得水體積為：
，
解得：.
故選：D.
16. 在等腰直角中，，點是邊上異于端點的一點，光線從點出發(fā)經、邊反射后又回到點，若光線經過的重心，則的面積等于（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】建立直角坐標系，設點P的坐標，可得P關于直線BC的對稱點的坐標，
和P關于y軸的對稱點的坐標，由四點共線可得直線的方程，
由于過三角形的重心，代入可得關于a的方程，解得P的坐標，
即可求得PB的長和直線方程，進而求得面積.
【詳解】
建立直角坐標系，可得,故直線BC的方程為，
則三角形的重心為，即，
設,其中，則點P關于直線BC的對稱點，
滿足，解得，即，
易得P關于y軸的對稱點，由光的反射原理可知四點共線，
直線的斜率為，故直線的方程為，
由于直線過三角形的重心，代入得，
化簡得或（舍去），故,,,直線的方程為,
聯(lián)立,解得,即點Q的坐標為,
則三角形的面積，
故選：A
【點睛】關鍵點點睛：根據題干設出點P 的坐標，根據對稱性和光的反射原理可知
四點共線，進而求出點的坐標，和直線的方程，進而求出點Q的坐標，即可求得結果.
三、解答題：（第17、18題每題14分，第19題16分，第20、21題每題18分，共80分）
17. 男女排成一排，設事件個男生不相鄰，事件個女生都相鄰，
（1）分別求事件與事件發(fā)生的概率；
（2）判斷事件與事件是否是獨立事件，并說明理由．
【答案】（1），
（2）不獨立事件，理由見解析
【解析】
【分析】（1）利用插空法、捆綁法結合古典概型的概率公式可求得、的值；
（2）求出，結合獨立事件的定義判斷即可.
【小問1詳解】
由古典概型的概率公式可得，
.
【小問2詳解】
事件為“個男生站兩端，個女生相鄰且站在中間”，
則，
因此，事件與事件不獨立.
18. 如圖是用個圓構成“卡通鼠”的形象，點是圓的圓心，圓過坐標原點；點、均在軸上，圓與圓的半徑都等于，圓、圓均與圓外切．

（1）求圓心與圓心的坐標；
（2）已知直線過點若直線截圓、圓、圓所得弦長均等于，求出的值.
【答案】（1）、
（2）
【解析】
【分析】（1）設圓心，其中，根據圓與圓的位置關系可得出，可求出的值，即可得出點的坐標，同理可得出點的坐標；
（2）分析可知，直線的斜率存在，設直線的方程為，利用幾何法求出直線截三個圓所得的弦長，可得出關于的方程，解出的值，即可求出的值.
小問1詳解】
圓的半徑為，設圓心，其中，
由于圓和圓外切，且圓的半徑為，則，解得，
即點，同理可得點.
【小問2詳解】
若直線的斜率不存在，則直線與軸重合，此時，直線與圓、圓都相離，不合乎題意，
設直線的方程為，即，
圓心到直線的距離為，圓心到直線的距離為，
且圓、圓的半徑均為，所以，直線截圓、圓的弦長為，
圓心到直線的距離為，則直線截圓的弦長為，
由題意可得，解得，
所以，

19. 已知拋物線過點，其焦點為，若且
（1）求的值以及拋物線的方程；
（2）過點且斜率為1的直線被拋物線截得的弦為，若在以為直徑的圓內，求實數的取值范圍．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根據拋物線的定義及點在拋物線上建立方程，解方程即可得解；
（2）由題意得直線方程為，聯(lián)立方程組，由根與系數的關系及數量積的運算，建立不等式求解即可得解.
【小問1詳解】
由拋物線定義知：，
又點在拋物線上，所以，，
可得m=4?p2>p?p0?t>?1x1+x2=2t+4x1x2=t2，
易知拋物線的，點在以為直徑的圓內等價于，
解得：，符合.
綜上：的范圍是.
20. 如圖所示，已知三棱柱的側棱與底面垂直，，，是的中點，是的中點，點在直線上，且滿足．
（1）證明：；
（2）當取何值時，直線與平面所成的角最大？并求該角取得最大值時的正切值；
（3）若平面與平面所成的銳二面角為，試確定點的位置．
【答案】（1）證明見解析
（2），2
（3）位于的延長線上，且到的距離為1
【解析】
【分析】（1）由已知，以為原點，建立空間直角坐標系，可得，，得，證得；
（2）取平面的法向量，由則，即可得到當時，直線與平面所成的角最大，此時的正切值為2；
（3）由平面與平面所成的銳二面角為，利用坐標運算求出，即可確定點的位置．
【小問1詳解】
因為三棱柱的側棱與底面垂直，
底面，則，
由，
如圖，以為原點，分別為軸建立空間直角坐標系，
又， 是的中點，是的中點，
點在直線上，且滿足，
則，，，
，，
，．
【小問2詳解】
取平面的法向量，，
則，
當時，，此時，．
【小問3詳解】
設平面的一個法向量，，，
則，，
令，則，
，
解得，
位于的延長線上，且到的距離為1．
21. 已知橢圓長軸長為4，C的短軸的兩個頂點與左焦點構成等邊三角形．
（1）求C的標準方程；
（2）F是橢圓的右焦點，點Q是橢圓上一動點，，求周長的最大值．
（3）直線l與橢圓相交于A、B兩點，且，點P滿足，O為坐標原點，求的最大值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根據題意可得，，再根據，解得，即可得出答案；
（2）根據，當且僅當為的延長線與橢圓相交時取等號，即可求周長的最大值；
（3）當直線的斜率不存在時，直線恰好是短軸，由，得；當直線的斜率存在時，設，,將直線與橢圓方程聯(lián)立結合韋達定理可得，由弦長公式可得，解得，設點為的中點，則，由基本不等式可得，所以，即可得出答案.
【小問1詳解】

，，
，
的標準方程是．
【小問2詳解】
設左焦點為，，
.

的周長為，
，
當且僅當為的延長線與橢圓相交時取等號，
.
【小問3詳解】
①當直線的斜率不存在時，設，，
直線恰好是短軸，
又，在圓上，；

②當直線的斜率存在時，設,，
聯(lián)立，得，
，
，，
所以，
解得：，
設點為的中點，
，，則，
令，
所以，當且僅當時等號成立，
因為，所以在以為直徑的圓上，圓心為，，
經檢驗，，所以的最大值為．

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