一、填空題（本大題共 12 題，滿(mǎn)分 54 分，第 1-6 題每題 4 分，第 7-12 題每題 5 分）
1. 已知某扇形的周長(zhǎng)是，面積為，則該扇形的圓心角的弧度數(shù)是______.
【答案】2
【解析】
【分析】由扇形的周長(zhǎng)和面積，可求出扇形的半徑及弧長(zhǎng)，進(jìn)而可求出該扇形的圓心角.
【詳解】設(shè)扇形的半徑為，所對(duì)弧長(zhǎng)為，則有，解得，故.
故答案為：2.
【點(diǎn)睛】本題考查扇形面積公式、弧長(zhǎng)公式的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.
2. 已知，則_______．
【答案】
【解析】
【分析】利用同角基本關(guān)系式，結(jié)合正余弦的齊次式法即可得解.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以.
故答案為：.
3 已知，且，則___________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意利用兩角和差公式分析求解.
【詳解】因?yàn)椋?br>由題意可得，即，
且，可知.
故答案為：.
4. 若，則______．
【答案】
【解析】
【分析】利用誘導(dǎo)公式對(duì)所求進(jìn)行化簡(jiǎn)，把條件代入求值即可.
【詳解】
又，所以原式
故答案為：
5. 定義在上的函數(shù)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)，的最小正周期是，且當(dāng)時(shí)，，則的值為_(kāi)______．
【答案】##
【解析】
【分析】利用函數(shù)的周期性和奇偶性即可得解.
【詳解】因?yàn)榧仁桥己瘮?shù)，又是周期函數(shù)，其最小正周期是，
又當(dāng)時(shí)，，
所以.
故答案為：.
6. 若函數(shù)的圖像關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則實(shí)數(shù)=_____.
【答案】
【解析】
【分析】由的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，可得，從而可求得．
【詳解】解：的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，
，即，
．
故答案為
【點(diǎn)睛】本題考查正弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，關(guān)鍵在于對(duì)的理解與應(yīng)用，屬于中檔題．
7. 在中，，，若該三角形為鈍角三角形，則邊的取值范圍是______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)三角形的性質(zhì)可得，分類(lèi)討論，結(jié)合題意列式求解即可.
【詳解】由三角形可得，解得，
若該三角形為鈍角三角形，注意到，
則角為鈍角或角為鈍角，可得或，
即或，解得或，
故邊的取值范圍是.
故答案為：.
8. 已知，則角_____．
【答案】或或或
【解析】
【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，結(jié)合題意，直接求解即可.
【詳解】因?yàn)?，則，
又，故或或或，
解得：或或或.
故答案為：或或或.
9. 已知，則________.
【答案】
【解析】
【分析】
由題意得出，然后利用誘導(dǎo)公式可計(jì)算出的值.
【詳解】，.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題考查利用誘導(dǎo)公式求值，解題時(shí)要明確各角之間的關(guān)系，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.
10. 在中，，，要使被唯一確定，那么的取值范圍是_________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)利用正弦定理，結(jié)合三角形有1個(gè)解的條件即可求解.
【詳解】根據(jù)題意，，，
由正弦定理得：，則，
三角形只有一個(gè)解，則或，
則或，即或，
所以的取值范圍是.
故答案為：.
11. 已知，則_______．
【答案】
【解析】
【分析】利用余弦函數(shù)的二倍角公式，將被開(kāi)方數(shù)化為完全平方數(shù)，結(jié)合的范圍即可得解.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>所以 .
故答案為：.
12. 已知函數(shù)，若對(duì)任意的，，當(dāng)時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．
【答案】
【解析】
【分析】將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)任意的，當(dāng)時(shí)，恒成立，不妨設(shè)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在單調(diào)遞減，再結(jié)合利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求出的取值范圍．
【詳解】，
由，
得，
所以，
所以，
因?yàn)閷?duì)任意的，當(dāng)時(shí)，恒成立，
所以對(duì)任意的，
當(dāng)時(shí)，恒成立，
，
不妨設(shè)，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化成在單調(diào)遞減，
所以，其中，解得，
所以的取值范圍為.
故答案為：
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于求不等式成立時(shí)的參數(shù)范圍問(wèn)題，一般有三個(gè)方法，一是分離參數(shù)法, 使不等式一端是含有參數(shù)的式子，另一端是一個(gè)區(qū)間上具體的函數(shù)，通過(guò)對(duì)具體函數(shù)的研究確定含參式子滿(mǎn)足的條件；二是討論分析法，根據(jù)參數(shù)取值情況分類(lèi)討論；三是數(shù)形結(jié)合法，將不等式轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)，通過(guò)兩個(gè)函數(shù)圖像確定條件.
二、選擇題（本大題共 4 題，滿(mǎn)分 18 分，第 13-14 題每題 4 分，第 15-16 題每題 5 分）
13. 下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 角和角是終邊相同的角
B. 第三象限角的集合為
C. 終邊在y軸上角的集合為
D. 第二象限角大于第一象限角
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)角的定義判斷．
【詳解】，因此的解與角的終邊相同，A錯(cuò)；
第三象限角集合為，B錯(cuò)；
終邊在y軸上角，終邊可能在軸正半軸，，
終邊在軸負(fù)半軸，，其中，終合為，C正確；
是第二象限角，是第一象限角，但，D錯(cuò)．
故選：C．
14. 如果是第一象限角，則（ ）
A 且B. 且
C. 且D. 且
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)的象限確定的象限，即可排除B、D，再確定的象限，即可排除A.
【詳解】因?yàn)槭堑谝幌笙藿牵瑒t，，
所以，，
所以是第一或第三象限角，則或，，故排除B、D；
又，，
所以的終邊在第一、第二象限或在軸的非負(fù)半軸上，則，
當(dāng)?shù)慕K邊在軸的非負(fù)半軸上時(shí)，無(wú)意義，故排除A.
故選：C
15. 在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，且，則該三角形外接圓的半徑為（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】先應(yīng)用正弦定理及兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)求出角A,再根據(jù)正弦定理求出外接圓半徑即可.
【詳解】.
,
設(shè)該三角形外接圓的半徑為
由正弦定理得
故選：A.
16. 定義:正割，余割.已知為正實(shí)數(shù)，且對(duì)任意的實(shí)數(shù)均成立，則的最小值為（ ）
A. 1B. 4C. 8D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】利用已知條件先化簡(jiǎn)，分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化恒成立求最值問(wèn)題
【詳解】由已知可得，
即.
因?yàn)?，所以?br>則
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,故，
故選：D.
三、解答題（本大題共 5 題，共 14+14+14+18+18=78 分）
17. （1）已知是關(guān)于的方程的一個(gè)實(shí)根，且是第一象限角，求的值；
（2）已知，且，求的值．
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】
【分析】（1）解方程，求出，利用同角三角函數(shù)關(guān)系式能求出結(jié)果．
（2）由且，得，從而，再由，能求出結(jié)果．
【詳解】（1）解方程，得，，
是關(guān)于的方程的一個(gè)實(shí)根，且是第一象限角，則，
（2），且，
，則，而，
則，故，
18. 在中，角A、B、C所對(duì)的邊做改為a、b、c，，且．
（1）求的面積；
（2）若，求a的值：
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）利用二倍角公式求出，再利用同角的平方關(guān)系求得，帶入面積公式即可；
（2）結(jié)合余弦定理即可直接求出結(jié)果.
【詳解】（1）因?yàn)?，所以?br>所以，所以，故，
又因?yàn)?，所以?br>（2）由（1）中知，
結(jié)合余弦定理得
，
所以.
19. 在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且.
（1）求C；
（2）若角C的內(nèi)角平分線(xiàn)與AB邊交于點(diǎn)D，且CD＝2，求b＋4a的最小值.
【答案】（1）
（2）18
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理把已知條件化，再用余弦定理求得角；
（2）由△BCD和△ACD的面積之和等于△ABC的面積求出，利用基本不等式求出故的最小值.
【小問(wèn)1詳解】
設(shè)外接圓的半徑為R，由正弦定理得：
，
則可化為，
整理得.
由余弦定理得，
又，所以.
【小問(wèn)2詳解】
由和的面積之和等于的面積，得，
可得，即.
則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.
故的最小值為18.
20. 已知 ．
（1）設(shè) ，若對(duì)任意的，不等式 成立，求的取值范圍；
（2）畫(huà)出函數(shù) 的大致圖象，并寫(xiě)出滿(mǎn)足 的的集合．
【答案】（1）
（2）函數(shù)圖象見(jiàn)解析；
【解析】
【分析】（1）求函數(shù)在上的最值，解不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為且，由此可得結(jié)果.
（2）利用輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式即可畫(huà)出函數(shù)圖象.利用反三角函數(shù)可表示的集合.
【小問(wèn)1詳解】
∵，∴，
∴，故.
∵，∴，
∴，
∵對(duì)任意的，不等式 成立，
∴，且，
由得，，，
∴，即的取值范圍是.
【小問(wèn)2詳解】
由題意得，
，
令，
∵時(shí)，，時(shí)，，
∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
∵，，，
∴在上的大致圖象為：
由得，，故，
∵，∴，
令，則上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
又∵，
∴或，
∴或，
∴滿(mǎn)足的的集合為.
21. 若函數(shù)滿(mǎn)足且（），則稱(chēng)函數(shù)為“函數(shù)”．
（1）試判斷是否為“函數(shù)”，并說(shuō)明理由；
（2）函數(shù)為“函數(shù)”，且當(dāng)時(shí)，，求的解析式，并寫(xiě)出在上的單調(diào)增區(qū)間；
（3）在（2）條件下，當(dāng)，關(guān)于的方程（為常數(shù)）有解，記該方程所有解的和為，求．
【答案】（1）不是“函數(shù)”，理由見(jiàn)解析
（2），單調(diào)遞增區(qū)間為，；
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題干條件代入檢驗(yàn)，得到，故不是“函數(shù)”；
（2）求出函數(shù)的周期，由得到，結(jié)合當(dāng)時(shí)，，從而得到函數(shù)解析式，并求出單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）畫(huà)出在上圖象，數(shù)形結(jié)合，由函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，分三種情況進(jìn)行求解，得到.
【小問(wèn)1詳解】
不是“函數(shù)”，理由如下：
，
，，
則，
故不是“函數(shù)”；
【小問(wèn)2詳解】
函數(shù)滿(mǎn)足，故的周期為，
因?yàn)椋?br>所以，
當(dāng)時(shí)，，，
當(dāng)時(shí)，，，
綜上：，
中，
當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)單調(diào)遞增區(qū)間為，
，中，
當(dāng)時(shí)，，，
則，
當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，
經(jīng)檢驗(yàn)，其他范圍不是單調(diào)遞增區(qū)間，
所以在上的單調(diào)遞增區(qū)間為，；
【小問(wèn)3詳解】
由（2）知：函數(shù)在上圖象為：
當(dāng)或1時(shí)，有4個(gè)解，由對(duì)稱(chēng)性可知：其和為，
當(dāng)時(shí)，有6個(gè)解，由對(duì)稱(chēng)性可知：其和為，
當(dāng)時(shí)，有8個(gè)解，其和為，
所以.
【點(diǎn)睛】函數(shù)新定義問(wèn)題的方法和技巧：
（1）可通過(guò)舉例子的方式，將抽象的定義轉(zhuǎn)化為具體的簡(jiǎn)單的應(yīng)用，從而加深對(duì)信息的理解；
（2）可用自己的語(yǔ)言轉(zhuǎn)述新信息所表達(dá)的內(nèi)容，如果能清晰描述，那么說(shuō)明對(duì)此信息理解的較為透徹；
（3）發(fā)現(xiàn)新信息與所學(xué)知識(shí)的聯(lián)系，并從描述中體會(huì)信息的本質(zhì)特征與規(guī)律；
（4）如果新信息是課本知識(shí)的推廣，則要關(guān)注此信息與課本中概念的不同之處，以及什么情況下可以使用書(shū)上的概念.

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