注意事項(xiàng)：
1、答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)涂寫(xiě)在答題卡上.本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.
2、做選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.
3、回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 某校開(kāi)設(shè)A類選修課4門(mén),B類選修課3門(mén),一同學(xué)從中選1門(mén),則該同學(xué)的不同選法共有（ ）
A. 7種B. 12種C. 4種D. 3種
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)題意求出所有的可能性即可選出結(jié)果.
【詳解】解:由題知某校開(kāi)設(shè)A類選修課4門(mén),B類選修課3門(mén),
共7門(mén),
故該同學(xué)的不同選法共有7種.
故選:A
2. 已知n，m為正整數(shù)，且，則在下列各式中錯(cuò)誤的是（ ）
A. ；B. ；C. ；D.
【答案】C
【解析】
【分析】據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)及排列數(shù)公式計(jì)算可得
【詳解】解：對(duì)于A，，故正確；
對(duì)于B，因?yàn)?，所以，故正確；
對(duì)于C，因?yàn)閚，m為正整數(shù)，且，
所以令，則，，此時(shí)，故錯(cuò)誤；
對(duì)于D，，故正確；
故選：C
3. 設(shè)隨機(jī)變量，滿足：，，則（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】A
【解析】
【分析】二項(xiàng)分布與次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型．先利用二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望公式求出，再利用方差的性質(zhì)求解即可．
【詳解】解：因?yàn)?，則，
又，所以．
故選：A．
4. 已知三個(gè)隨機(jī)變量的正態(tài)密度函數(shù)（，）的圖象如圖所示，則（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】直接根據(jù)圖像的對(duì)稱軸，以及圖像的胖瘦進(jìn)行判斷即可.
【詳解】由題意知：正態(tài)曲線關(guān)于直線對(duì)稱，且越大，對(duì)稱軸越靠右，故，
又越小，數(shù)據(jù)越集中，圖像越瘦高，故.
故選：D
5. 已知市場(chǎng)上供應(yīng)的燈泡中，甲廠產(chǎn)品占70%，乙廠產(chǎn)品占30%，甲廠產(chǎn)品的合格率是95%，乙廠產(chǎn)品的合格率是80%，則從市場(chǎng)上買到一個(gè)是甲廠生產(chǎn)的合格燈泡的概率是（ ）
A. 0.665B. 0.56C. 0.24D. 0.285
【答案】A
【解析】
【分析】記事件A為“甲廠產(chǎn)品”，事件B為“合格產(chǎn)品”，則由P(AB)＝P(A)·P(B|A)可求.
【詳解】記A為“甲廠產(chǎn)品”，B為“合格產(chǎn)品”，則，，
所以．
故選：A．
6. 展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是（ ）
A. -160B. -140C. 160D. 140
【答案】A
【解析】
【分析】先寫(xiě)出展開(kāi)式的通項(xiàng)，然后根據(jù)的指數(shù)部分為確定常數(shù)項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)，代入通項(xiàng)公式可得常數(shù)項(xiàng).
【詳解】展開(kāi)式通項(xiàng)為，
令，所以，
所以常數(shù)項(xiàng)為，
故選：A.
7. 已知的分布列如表所示，其中a，b都是非零實(shí)數(shù)，則的最小值是（ ）
A. 12B. 6C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由分布列的性質(zhì)可得，利用結(jié)合基本不等式，即可求得答案.
【詳解】根據(jù)分布列的性質(zhì)知，．且，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,
故選:B．
8. 如圖，湖北省分別與湖南、安徽、陜西、江西四省交界，且湘、皖、陜互不交界，在地圖上分別給各省地域涂色，要求相鄰省涂不同色，現(xiàn)有種不同顏色可供選用，則不同的涂色方案數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用分類加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理列式計(jì)算作答.
【詳解】依題意，按安徽與陜西涂的顏色相同和不同分成兩類：
若安徽與陜西涂同色，先涂陜西有種方法，再涂湖北有種方法，涂安徽有1種方法，涂江西有種方法，
最后涂湖南有3種方法，由分步計(jì)數(shù)乘法原理得不同的涂色方案種，
若安徽與陜西不同色，先涂陜西有種方法，再涂湖北有種方法，涂安徽有3種方法，
涂江西、湖南也各有種方法，由分步計(jì)數(shù)乘法原理得不同涂色方案 種方法，
所以，由分類加法計(jì)數(shù)原理得不同的涂色方案共有種.
故選：C
二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）
9. 關(guān)于及其二項(xiàng)展開(kāi)式，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 該二項(xiàng)展開(kāi)式中偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為
B. 該二項(xiàng)展開(kāi)式中第8項(xiàng)為
C. 當(dāng)時(shí)，除以100的余數(shù)是9
D. 該二項(xiàng)展開(kāi)式中不含有理項(xiàng)
【答案】BC
【解析】
【分析】對(duì)于A，由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，由公式可得答案；
對(duì)于B，根據(jù)二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式，令時(shí)，可得答案；
對(duì)于C，根據(jù)二項(xiàng)式定理，結(jié)合帶余除法的變換等式，可得答案；
對(duì)于D，利用二項(xiàng)式定理通項(xiàng)，使的指數(shù)為整數(shù)，可得答案.
【詳解】偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，故A錯(cuò)誤；
展開(kāi)式中第8項(xiàng)，故B正確；
當(dāng)時(shí)，
，
∵，除以100的余數(shù)是9，
∴當(dāng)時(shí)，除以100的余數(shù)是9，故C正確；
的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，
當(dāng)為整數(shù)，即時(shí)，為有理項(xiàng)，故D錯(cuò)誤．
故選：BC．
10. 現(xiàn)有3名老師，8名男生和5名女生共16人，有一項(xiàng)活動(dòng)需派人參加，則下列命題中正確的是（ ）
A. 只需1人參加，有16種不同選法
B. 若需老師、男生、女生各1人參加，則有120種不同選法
C. 若需1名老師和1名學(xué)生參加，則有39種不同選法
D. 若需3名老師和1名學(xué)生參加，則有56種不同選法
【答案】ABC
【解析】
【分析】根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理依次討論各選項(xiàng)即可求解.
【詳解】解：選項(xiàng)A，分三類：取老師有3種選法，取男生有8種選法，取女生有5種選法，故共有種選法，故A正確；
選項(xiàng)B，分三步：第一步選老師，第二步選男生，第三步選女生，
故共有種選法，故B正確；
選項(xiàng)C，分兩步：第一步選老師，第二步選學(xué)生，第二步，又分為兩類：第一類選男生，第二類選女生，故共有種選法，故C正確；
選項(xiàng)D，若需3名老師和1名學(xué)生參加，則有13種不同選法，故D錯(cuò)誤.
故選：ABC.
11. 袋中有大小完全相同的2個(gè)黑球和3個(gè)白球，從中不放回地每次任取一個(gè)小球，直到取到白球后停止取球，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 抽取次后停止取球的概率為
B. 停止取球時(shí)，取出的白球個(gè)數(shù)不少于黑球的概率為
C. 取球次數(shù)期望為
D. 取球次數(shù)的方差為
【答案】BD
【解析】
【分析】設(shè)取球次數(shù)為，可知隨機(jī)變量的可能取值有、、，計(jì)算出隨機(jī)變量在不同取值下的概率，可判斷出A選項(xiàng)的正誤，計(jì)算出取出的白球個(gè)數(shù)不少于黑球的概率為，可判斷出B選項(xiàng)的正誤，利用數(shù)學(xué)期望公式和方差公式計(jì)算出隨機(jī)變量的期望和方差，可判斷C、D選項(xiàng)的正誤，綜合可得出結(jié)論.
【詳解】設(shè)取球次數(shù)為，可知隨機(jī)變量的可能取值有、、，
則，，.
對(duì)于A選項(xiàng)，抽取次后停止取球的概率為，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于B選項(xiàng)，停止取球時(shí)，取出的白球個(gè)數(shù)不少于黑球的概率為，B選項(xiàng)正確；
對(duì)于C選項(xiàng)，取球次數(shù)的期望為，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于D選項(xiàng)，取球次數(shù)的方差為，D選項(xiàng)正確.
故選：BD.
三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）.
12. 在如圖所示的正方形中隨機(jī)投擲10 000個(gè)點(diǎn)，則落入陰影部分(曲線C為正態(tài)分布N(0，1)的密度曲線)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值為_(kāi)_______．
附：若，則，.
【答案】3413
【解析】
【分析】結(jié)合已知條件，利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性即可求解.
【詳解】由題意，，可知，
所以，
故正方形中陰影部分面積，
設(shè)落在陰影部分中點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值為，
從而，解得，.
故答案為：3413.
13. 隨機(jī)變量X的分布列如表所示，若，則_________.
【答案】5
【解析】
【分析】利用離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)，列出方程組，求出，，由此能求出方差，再根據(jù)方差的性質(zhì)計(jì)算可得．
詳解】依題意可得，解得，
所以，
所以.
故答案為：5.
14. 甲箱中有5個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙箱中有4個(gè)紅球，3個(gè)白球和3個(gè)黑球（球除顏色外，大小質(zhì)地均相同）.先從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱，分別以，和表示由甲箱中取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再?gòu)囊蚁渲须S機(jī)取出一球，以B表示由乙箱中取出的球是紅球的事件，下列說(shuō)法正確的序號(hào)是__________.
①事件，相互獨(dú)立；②；③；④；⑤．
【答案】③④⑤
【解析】
【分析】首先判斷出，和是兩兩互斥事件，再判斷與是否相等，可確定①；求出可判斷②；利用全概率判斷③；再利用條件概率判斷④⑤.
【詳解】依題意，，和是兩兩互斥事件，
，，
又，①②錯(cuò)誤；
又，，
，③④正確；
，⑤正確；
故答案為：③④⑤.
四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）.
15. 在下列所給的三個(gè)條件中，任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并加以解答選擇多個(gè)解答，按第一個(gè)解答給分．
①與直線垂直；
②直線的一個(gè)方向向量為；
③與直線平行．
已知直線l過(guò)點(diǎn)，____________．
（1）求直線l的一般式方程；
（2）若直線l與圓相交于P，Q兩點(diǎn)，求．
【答案】（1）選①：直線的方程為；
選②：直線的方程為；
選③：直線的方程為.
（2）選①②時(shí)，為4；
選③時(shí)：為．
【解析】
【分析】（1）先選條件，然后根據(jù)條件求直線方程；
（2）利用直線與圓相交，建立直角三角形，即可求解．
【小問(wèn)1詳解】
選①：
因?yàn)橹本€的斜率為，
因?yàn)橹本€與直線垂直，所以直線的斜率為，
依題意，直線的方程為，即；
選②：
因?yàn)橹本€的一個(gè)方向向量為，所以直線的向量為，
依題意，直線的方程為，即；
選③：因?yàn)榈男甭蕿椋?br>又因?yàn)橹本€與平行，所以直線的斜率為，
依題意，直線的方程為：，即；
【小問(wèn)2詳解】
選①②時(shí)，
圓的圓心到直線的距離為，
設(shè)，的中點(diǎn)為，由圓的半徑為可知：，
因此，即弦長(zhǎng)為4．
選③：圓的圓心到直線的距離為，
設(shè)，的中點(diǎn)為，由圓的半徑為可知：，
因此，即弦長(zhǎng)為．
16. 某校舉辦傳統(tǒng)文化知識(shí)競(jìng)賽，從該校參賽學(xué)生中隨機(jī)抽取名學(xué)生，競(jìng)賽成績(jī)的頻率分布表如下：
（1）估計(jì)該校學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；
（2）已知樣本中競(jìng)賽成績(jī)?cè)诘哪猩腥?，從樣本中?jìng)賽成績(jī)?cè)诘膶W(xué)生中隨機(jī)抽取人進(jìn)行調(diào)查，記抽取的男生人數(shù)為，求的分布列及期望.
【答案】（1）
（2）分布列見(jiàn)解析；期望
【解析】
【分析】（1）利用每組區(qū)間的中點(diǎn)值乘以該組的概率，加總和即可得到平均數(shù)的估計(jì)值；
（2）根據(jù)頻率分布表可求得樣本中競(jìng)賽成績(jī)?cè)诘目側(cè)藬?shù)，進(jìn)而確定所有可能的取值，根據(jù)超幾何分布概率公式可求得每個(gè)取值對(duì)應(yīng)的概率，進(jìn)而得到分布列；根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式可計(jì)算求得期望值.
【小問(wèn)1詳解】
平均數(shù)為.
【小問(wèn)2詳解】
由題意知：樣本中競(jìng)賽成績(jī)?cè)诘墓灿腥?，其中有男生人?br>則所有可能的取值為，
；；；
的分布列為
數(shù)學(xué)期望.
17. 如圖，在正方體中，正方體的棱長(zhǎng)為2，E為的中點(diǎn).

（1）求證：；
（2）求直線與平面所成角的正弦值；
（3）求點(diǎn)B到平面的距離.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）以A為原點(diǎn)，，，所在的直線分別為x，y，z軸如圖建立空間直角坐標(biāo)系向量法即可證出；
（2）求出平面的一個(gè)法向量，再根據(jù)線面角的向量公式即可求出；
（3）根據(jù)點(diǎn)到平面的距離向量公式即可求出．
【小問(wèn)1詳解】
以A為原點(diǎn)，，，所在的直線分別為x，y，z軸如圖建立空間直角坐標(biāo)系，
則

，，，
，，
，
∴；
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為2，，，，，
∴，，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，
令，則，，∴，
設(shè)直線與平面所成角為，
則，
故直線與平面所成角的正弦值為.
【小問(wèn)3詳解】
由（Ⅱ）知，平面所的法向量為，
所以點(diǎn)B到平面的距離，
，.
18. 2022年10月1日，某超市舉行“迎國(guó)慶促銷抽獎(jiǎng)活動(dòng)”，所有購(gòu)物的顧客，以收銀臺(tái)機(jī)打發(fā)票為準(zhǔn)，尾數(shù)為偶數(shù)（尾數(shù)中的奇偶數(shù)隨機(jī)出現(xiàn)）的顧客，可以獲得三次抽獎(jiǎng)，三次抽獎(jiǎng)獲得獎(jiǎng)品的概率分別為，，，每次中獎(jiǎng)都可以獲得一份獎(jiǎng)品，且每次抽獎(jiǎng)是否中獎(jiǎng)互不影響.
（1）求顧客獲得兩個(gè)獎(jiǎng)品的概率；
（2）若3位購(gòu)物的顧客，沒(méi)有獲獎(jiǎng)的人數(shù)記為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.
【答案】（1）
（2）分布列詳見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望為
【解析】
【分析】（1）根據(jù)相互獨(dú)立事件概率計(jì)算公式求得正確答案.
（2）根據(jù)二項(xiàng)分布的知識(shí)求得分布列并求得數(shù)學(xué)期望.
【小問(wèn)1詳解】
顧客獲得兩個(gè)獎(jiǎng)品的概率為：
.
【小問(wèn)2詳解】
個(gè)顧客沒(méi)有獲獎(jiǎng)的概率為，
所以，則的可能取值為，
，
，
，
，
所以的分布列為：
所以.
19. 已知和為橢圓上兩點(diǎn)．
（1）求的離心率；
（2）若過(guò)P的直線交于另一點(diǎn)，且的面積為9，求的方程；
（3）過(guò)OA中點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，，試判斷在y軸上是否存在點(diǎn)T使得，若存在，求出點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍；若不存在，說(shuō)明利用．
【答案】（1）
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）將點(diǎn)代入橢圓方程，解出、的值，再由橢圓中求出離心率即可；
（2）根據(jù)已知條件，分直線斜率存在和不存在兩種情況討論解出符合題意的直線方程即可；
（3）根據(jù)已知條件設(shè)直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，設(shè)，，，
寫(xiě)出韋達(dá)定理，將轉(zhuǎn)化為的函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)值域得出點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍，再驗(yàn)證直線斜率不存在的情況，得到最終結(jié)果.
【小問(wèn)1詳解】
依題意，，解得，
則離心率；
【小問(wèn)2詳解】
由（1）可知，橢圓C的方程為，
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為，易知此時(shí)
點(diǎn)到直線的距離為，則，與已知矛盾；
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，即，
設(shè)，
聯(lián)立，
消去整理可得，
則，
由弦長(zhǎng)公式可得，，
整理得：，
點(diǎn)A到直線l的距離為，
則
解得或，
則直線l的方程為或；
【小問(wèn)3詳解】
若過(guò)中點(diǎn)的動(dòng)直線的斜率存在，
則可設(shè)該直線方程為
設(shè)，，，
由，可得，
故，
且，，
而，，
故
因?yàn)楹愠闪ⅲ?br>故，即，
解得，
若過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線的斜率不存在，則，，
此時(shí)需，兩者結(jié)合可得
故這個(gè)點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍為.
1
2
3
4
P
a
b
X
－1
0
1
P
a
b
競(jìng)賽成績(jī)
頻率

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2023-2024學(xué)年內(nèi)蒙古自治區(qū)通遼市高二下學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷（含解析）

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內(nèi)蒙古自治區(qū)通遼市第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期第一次月考（4月）數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）

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2022-2023學(xué)年內(nèi)蒙古自治區(qū)通遼市開(kāi)魯縣第一中學(xué)高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

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