數(shù)學(xué)試題
注意事項：
1、答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號涂寫在答題卡上。本試卷滿分150分，考試時間120分鐘.
2、做選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。寫在本試卷上無效.
3、回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.
選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1．直線的傾斜角是（ ）
A．B．C．D．
2．已知點關(guān)于z軸的對稱點為B，則等于（ ）
A．B．C．2D．
3．若直線與互相垂直，則的值為（ ）
A．B．C．或D．或
4．正方體中，為中點，則直線，所成角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
5．過點的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零，則該直線方程為（ ）
A．B．
C．或D．或
6．平行六面體中.則=（ ）
A． B．
C． D．
7．已知點，，直線過點，且兩點在直線的同側(cè)，則直線斜率的取值范圍是（ ）
A．B．(-∞,-1)∪(1,+∞)
C．D．(-1,0)∪(1,+∞)
8．?dāng)?shù)學(xué)家歐拉于1765年在他的著作《三角形的幾何學(xué)》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，這條直線被后人稱之為三角形的歐拉線.已知?ABC的頂點為，，，則該三角形的歐拉線方程為（ ）
A．B．
C．D．
多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.）
9.已知向量，，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A.若，則 B.若，則
C.不存在實數(shù)，使得 D.若，則
10．以下四個命題敘述正確的是（ ）
A．直線在軸上的截距是1
B．直線和的交點為，且在直線上，則的值是
C．設(shè)點是直線上的動點，為原點，則的最小值是2
D．直線，若，則或2
11．如圖，在棱長為2的正方體中，E為的中點，若一點P在底面內(nèi)（包括邊界）移動，且滿足，則（ ）
A．與平面的夾角的正弦值為
B．點到的距離為
C．線段的長度的最大值為
D．與的數(shù)量積的范圍是
填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）.
12．兩平行直線與之間的距離為 ．
13．已知空間向量，，向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)為 ．
14．在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，點P是邊AB上異于A，B的一點，光線從點P出發(fā)經(jīng)BC，CA反射后又回到點P，若光線QR經(jīng)過△ABC的重心，則△PQR的周長是 .
四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）.

15．（滿分13分）
已知?ABC的三個頂點分別為，，，BC中點為D點，求：
(1)邊所在直線的方程
(2)邊上中線AD所在直線的方程
(3)邊的垂直平分線的方程.
16．（滿分15分）
棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)分別是，的中點，G在棱CD上，且，H是的中點．
(1)證明：；
(2)求.
17．（滿分15分）
設(shè)直線l的方程為a+1x+y-5-2a=0a∈R．
(1)求證：不論a為何值，直線l必過一定點P；
(2)若直線l分別與x軸正半軸，y軸正半軸交于點A(xA,0)，B(0,yB)，當(dāng)△AOB面積最小時，求此時的直線方程；
(3)當(dāng)直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距均為正整數(shù)且a也為正整數(shù)時，求直線l的方程．
18．（滿分17分）
如圖，在四棱錐中，平面平面ABCD，，，M為棱PC的中點．
(1)證明：平面PAD；
(2)若，
（i）求二面角的余弦值；
（ii）在線段PA上是否存在點Q，使得點Q到平面BDM的距離是？若存在，求出PQ的值；若不存在，說明理由．
（滿分17分）
有一塊直角三角形的板置于平面直角坐標(biāo)系中，已知，，點是三角形內(nèi)一點，現(xiàn)在由于三角板中陰影部分受到損壞，為把損壞部分鋸掉，可用經(jīng)過點的一條直線，將三角板鋁成，問：應(yīng)該如何鋸法，即直線斜率為多少時，可使三角板的面積最大？
通遼一中2023級高二上學(xué)期第一次月考
數(shù)學(xué)試題評分細(xì)則
二、選擇題：1-8小題為單項選擇題，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，每小題5分，共40分；9-11題為多項選擇題，每小題6分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求,全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
三填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）.
；13.；14.853
1.【解析】由題意可知直線的斜率為.故選：A
2.【解析】點關(guān)于z軸的對稱點為B，所以.
3．【詳解】因為，則，即，
解得或.故選：D.
4．【解析】如圖，以D為坐標(biāo)原點，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為2，則，
可得，
則，
所以直線，所成角的余弦值為.故選：B.
5．【詳解】當(dāng)直線過原點時在兩坐標(biāo)軸上的截距都為，滿足題意，
又因為直線過點，所以直線的斜率為，
所以直線方程為，即，
當(dāng)直線不過原點時，設(shè)直線方程為，
因為點在直線上，所以，解得，
所以直線方程為，
故所求直線方程為或.故D項正確.
6．【詳解】由題意得，
故
，故.
7．【詳解】由題意，點，，，
根據(jù)斜率公式，可得，，
如圖所示，要使得直線過點，且兩點在直線的同側(cè)，則直線斜率的取值范圍是.故選：A .
8.【解析】由重心坐標(biāo)公式可得：重心，即.
由，，可知外心在的垂直平分線上，
所以設(shè)外心，因為，
所以，解得，即：，
則，故歐拉線方程為：，即：.
多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.）
9.【詳解】對于A項，由可得，解得，故A項正確；
對于B項，由可得，解得，故B項錯誤；
對于C項，假設(shè)存在實數(shù)，使得，則，所以不存在實數(shù)，使得，故C項正確；
對于D項，由可得，解得，所以，故D項正確.故選：ACD.
10.【詳解】對于A，直線在軸上的截距是，A錯誤；
由解得，即，則，解得，B正確；
對于C，依題意，，C正確；
對于D，當(dāng)時，直線重合，D錯誤.故選：BC
11.【解析】如圖，以為坐標(biāo)原點，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，
可得，，
若，則，可得，
則，解得，即.
對于選項A：可知平面的法向量，
則，所以與平面的夾角的正弦值為，故A正確；對于選項B：因為，
所以點到的距離為，故B正確；
對于選項C：因為，
則，且，
可得當(dāng)且僅當(dāng)時，取到最大值，所以線段的長度的最大值為3，故C錯誤；對于選項D：因為，，
則，且，
可知當(dāng)時，取到最小值；當(dāng)時，取到最大值；
所以與的數(shù)量積的范圍是，故D正確；故選：ABD.
填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）.
12．【答案】
【詳解】由，可得，
所以與之間的距離為.
13.【答案】
【解析】由投影向量的定義可知，.
【答案】853
【詳解】以A為坐標(biāo)原點，AB所在直線為x軸，AC所在直線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則B(4,0)，C(0,4)，A(0,0)，
所以直線BC的方程為x+y-4=0.
設(shè)P(t,0)(00，得a>-1， 6分∴S△AOB=12?5+2a?5+2aa+1=124a+1+9a+1+12≥1224a+1?9a+1+12=12，
當(dāng)且僅當(dāng)4a+1=9a+1，即a=12時取等號 9分
∴A4,0，B0,6，
∴直線方程為 3x+2y-12=0． 10分（3）直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距均為正整數(shù)，
即5+2a，5+2aa+1均為正整數(shù)，而a也為正整數(shù)， 12分∵5+2aa+1=2+3a+1，∴a=2， 14分∴直線l的方程為3x+y-9=0． 15分
說明：列出S△AOB=12?5+2a?5+2aa+1給1分
18.【解析】（1）取PD的中點N，連接AN，MN，如圖所示：
∵M(jìn)為棱PC的中點，
∴，
∵，
∴，
∴四邊形ABMN是平行四邊形，∴， 2分
又平面PAD，平面PAD，∴平面PAD． 4分
（2）∵，∴，∴，
∵平面平面ABCD，平面平面，平面PDC，
∴平面ABCD， 5分
又AD，平面ABCD，∴，而，，
∴以點D為坐標(biāo)原點，DA，DC，DP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系， 6分
如圖：則，
∵M(jìn)為棱PC的中點，∴ 8分
（i），
設(shè)平面BDM的一個法向量為，
則，令，則，∴，
平面PDM的一個法向量為， 10分
∴，
由圖形得：二面角為鈍角，則二面角的余弦值為 12分
（ii）假設(shè)在線段PA上存在點Q，使得點Q到平面BDM的距離是，
設(shè)，則， 14分
由（2）知平面BDM的一個法向量為，
，
∴點Q到平面BDM的距離是， 16分
∴，∴． 17分
說明：第（1）問用向量方法或者用面面平行證明均得分.
19.【詳解】依題意，直線MN過點且斜率存在，
設(shè)直線MN的方程為， 1分
，，
直線OA的方程為，直線AB的方程為， 2分
由知： 3分
且，可得或， 4分
由知： 5分
且，可得k≥-12， 6分
， 7分
∴，
∴，且. 11分
設(shè)，，
當(dāng)時，，
∵，，，，則，
即，在是增函數(shù)， 15分
當(dāng)時，，即時，. 17分
說明：按采分點得分即可.

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