1.已知集合A={x|x≤4}，B={x∈N|x>1}，則A∩B=( )
A. {x|10)的焦點(diǎn)為F(0,p2)，
設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，直線l的方程為y=kx+p2，
與拋物線x2=2py聯(lián)立，消去y可得x2?2pkx?p2=0，(?)，
則Δ=4p2k2+4p2>0，x1+x2=2pk，x1x2=?p2，
當(dāng)k=1時(shí)，x1+x2=2p，
此時(shí)|AB|=y1+y2+p=(x1+p2)+(x2+p2)+p=(x1+x2)+2p=8，
所以4p=8，即p=2．
所以C的方程為x2=4y．
(2)由(1)知，AB中點(diǎn)Q(2k,2k2+1)．
因?yàn)閤2=4y，所以y′=x2，
則直線PA方程為y?y1=x12(x?x1)，即y=12x1x?14x12，
同理，直線PB方程為y=12x2x?14x22，
所以xP=14x12?14x2212(x1?x2)=x1+x22=2k，yP=x1(x1+x2)4?x124=x1x24=?1，
所以P(2k,?1)．
因?yàn)閤P=2，2k=2，即k=1，此時(shí)Q(2,3)，P(2,?1)，
所以直線PQ的方程為x=2，
代入x2=4y，得y=1，所以E(2,1)，
所以|QE|=2．
(3)由(2)知Q(2k,2k2+1)，P(2k,?1)，
所以直線PQ方程為x=2k，
代入x2=4y，得y=k2，所以E(2k,k2)，
所以E為PQ的中點(diǎn)．
因?yàn)镃在E處的切線斜率y′=12×2k=k，
所以C在E處的切線平行于AB，
又因?yàn)镋為PQ的中點(diǎn)，
所以S四邊形ABNM=34S△ABP，
由(1)中(?)式得x2?4kx?4=0，所以x1+x2=4k，
因?yàn)橹本€AB方程為y=kx+1，
所以|AB|=y1+y2+p=(kx1+1)+(kx2+1)+2=k(x1+x2)+4=4k2+4．
又P(2k,?1)到直線AB的距離?=|2k2+2| k2+1=2 k2+1，
所以S△ABP=12|AB|??=12?(4k2+4)?2 k2+1=4(k2+1)32≥4(當(dāng)且僅當(dāng)k=0時(shí)取“=”)，
所以S四邊形ABNM=34S△ABP≥34×4=3，
所以四邊形ABNM的面積的最小值為3．
19.解：(1)對于數(shù)列{an}而言，若an=2n?1，則an+1?an=2n+1?(2n?1)=2>1，
所以數(shù)列{an}是“P數(shù)列”；
對于數(shù)列{bn}而言，若bn=2n?1，則b2?b1=2?1=1，則數(shù)列{bn}不是“P數(shù)列”；
(2)因?yàn)榈炔顢?shù)列{an}是“P數(shù)列”，所以其公差d>1．
因?yàn)閍1=2，所以Sn=2n+n(n?1)2d，
由題意，得2n+n(n?1)2d1且q∈N?，
因?yàn)閍n+1?an=qn?1(q?1)>0，
所以an+2?an+1an+1?an=q>1，所以an+1?an單調(diào)遞增，
所以在數(shù)列{an+1?an}中，“a2?a1”為最小項(xiàng)，
而bn=an3，從而在數(shù)列{bn+1?bn}中，“b2?b1=a23?a13”為最小項(xiàng)．
因?yàn)閧an}是“P數(shù)列”，則只需a2?a1>1，所以q>2，
因?yàn)閿?shù)列{bn}不是“P數(shù)列”，則b2?b1=a23?a13≤1，所以q≤4，
因?yàn)閿?shù)列{an}的每一項(xiàng)均為正整數(shù)，即q∈N?，所以q=3或q=4，
(i)當(dāng)q=3時(shí)，an=3n?1，則cn=3nn，i
令Dn=cn+1?cn=3n+1n+1?3nn=3n?2n?1n(n+1)，
又Dn+1?Dn=3n+1?2n+1(n+1)(n+2)?3n?2n?1n(n+1)=3nn+1.4n2+2n(n+2)>0，
所以{Dn}為遞增數(shù)列，
又D1=c2?c1=92?3=32>1，
所以對于任意的n∈N?，都有Dn>1，即cn+1?cn>1，
所以數(shù)列{cn}為“P數(shù)列”，符合題意．
(ii)同理可知，當(dāng)q=4時(shí)，an=4n?1，則cn=4nn，
令Dn=cn+1?cn=4n+1n+1?4nn=4n?3n?1n(n+1)，
又Dn+1?Dn=4n+1?3n+2(n+1)(n+2)?4n?3n?1n(n+1)=9?4nn(n+2)>0，
所以{Dn}為遞增數(shù)列，
又D1=c2?c1=8?4=4>1，
所以對于任意的n∈N?，都有Dn>1，即cn+1?cn>1，
所以數(shù)列{cn}為“P數(shù)列”，符合題意．
綜上，an=3n?1或an=4n?1．

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