一、單選題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.日日新學(xué)習(xí)頻道對四組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計，獲得如圖所示的散點圖.則其相關(guān)系數(shù)最大的是( )
A. r1B. r2C. r3D. r4
2.已知a，b是兩個不共線的單位向量，向量c=λa+μb(λ,μ∈R).“λ>0，且μ>0”是“c?(a+b)>0”的( )
A. 充分而不必要條件B. 必要而不充分條件
C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件
3.已知α?l?β是直二面角，直線a在平面α上，直線b在平面β上.若a、b均與l既不平行，也不垂直，則a與b的位置關(guān)系是( )
A. 可能垂直，也可能平行B. 可能垂直，但不可能平行
C. 不可能垂直，但可能平行D. 既不可能垂直，也不可能平行
4.設(shè)無窮正數(shù)數(shù)列{an}，如果對任意的正整數(shù)n，都存在唯一的正整數(shù)m，使得am=a1+a2+a3+…+an，那么稱{an}為“內(nèi)和數(shù)列”，并令bn=m，稱{bn}為{an}的“伴隨數(shù)列”，下列四個命題：
①若{an}為等差數(shù)列，則{an}為內(nèi)和數(shù)列；
②若{an}為等比數(shù)列，則{an}為內(nèi)和數(shù)列；
③若內(nèi)和數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，則其伴隨數(shù)列{bn}為遞增數(shù)列；
④若內(nèi)和數(shù)列{an}的伴隨數(shù)列{bn}為遞增數(shù)列，則{an}為遞增數(shù)列．
其中真命題的個數(shù)是( )
A. 0個B. 1個C. 2個D. 3個
二、填空題：本題共12小題，共54分。
5.已知集合{a2,a}={a,1}，則a= ______．
6.復(fù)數(shù)z=4?i1?i?2i的虛部為______．
7.函數(shù)f(x)= 1+x+ln(2?x)的定義域為______．
8.過點A(?1,a)，B(a,8)兩點的直線與直線4x?2y?5=0平行，則a的值為______．
9.已知扇形的半徑為R，周長為3R，則其面積為______．
10.已知某獨(dú)立性檢驗中，由χ2=n(ad?bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a+b+c+d，計算出χ2=χ12≠0，若將2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)a，b，c，d分別變成4a，4b，4c，4d，計算出的χ2=χ22，則χ22是χ12的多少倍______．
11.無窮等比數(shù)列{an}滿足：a1+a2=1，a3+a4=14，則{an}的各項和為______．
12.已知a1，a2，…，a12均為常數(shù)，(x2+x)6=i=612aixi對任意的實數(shù)x恒成立，則a9= ______．
13.設(shè)f(x)=2a?(12)|x|+b，若實數(shù)a，b滿足a+b=0，且函數(shù)y=f(x)的圖像可以無限接近直線y=1但又永遠(yuǎn)不相交，則不等式f(x)>34的解集為______．
14.已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點，過F2作C的兩條漸近線的平行線，與漸近線交于M，N兩點.若cs∠MF1N=35，則C的離心率為______．
15.對于?b∈R，函數(shù)f(x)=e3x?(2x+b)ex?a有且僅有一個零點，則實數(shù)a的取值范圍是______．
16.已知平面向量a，b滿足|a|=3|b|=3，若c=(2?2λ)a+3λb(λ∈R)，且c?a|a|=c?b|b|，則cs的最小值為______．
三、解答題：本題共5小題，共76分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
17.(本小題14分)
已知函數(shù)f(x)=4 3sinxcsx?4cs2x．
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間；
(2)如果函數(shù)f(x)在(0,+∞)上的零點從小到大排列后構(gòu)成數(shù)列{an}，求{an}的前12項和．
18.(本小題14分)
如圖，空間幾何體由兩部分構(gòu)成，上部是一個底面半徑為1的圓錐，下部是一個底面半徑為1，高為2的圓柱，圓錐和圓柱的軸在同一直線上，圓錐的下底面與圓柱的上底面重合.設(shè)P是圓錐的頂點，AB是圓柱下底面的一條直徑，AA1、BB1是圓柱的兩條母線，C是圓弧AB的中點．
(1)若圓錐的側(cè)面積是圓柱的側(cè)面積12，求該幾何體的體積
(2)若圓錐的高為1，求直線PB1與平面PAC所成角的大小．
19.(本小題14分)
為了檢查一批零件的質(zhì)量是否合格，檢查員計劃從中依次隨機(jī)抽取零件檢查：第i次檢查抽取i號零件，測量其尺寸yi(單位：厘米).檢查員共進(jìn)行了100次檢查，整理并計算得到如下數(shù)據(jù)：i=1100yi=52，i=1100iyi=2428，i=1100yi2=30.18．
(1)這批零件共有1000個.若在抽查過程中，質(zhì)量合格的零件共有60個，估計這批零件中質(zhì)量合格的零件數(shù)量；
(2)若變量yi與i存在線性關(guān)系，記yi=a i+b ，求回歸系數(shù)a?的值；
(3)在抽出的100個零件中，檢查員計劃從中隨機(jī)抽出20個零件進(jìn)行進(jìn)一步檢查，記抽出的20個零件中有X對相鄰序號的零件.求X的數(shù)學(xué)期望．
示例零件序號為“1、2、4、5”與“1、2、3、5”時均恰有2對相鄰序號的零件．
參考公式：
(1)線性回歸方程：y=a x+b ，其中a =i=1n(xi?x?)(yi?y?)i=1n(xi?x?)2，b =y??a x?．
(2)期望的線性性質(zhì)：E[∑Xi]=∑E[Xi]，其中Xi是若干隨機(jī)變量．
20.(本小題16分)
如圖，已知橢圓E1：x2a2+y2b2=1(a>b>0)與橢圓E2：x212+y24=1有相同的離心率，點P( 3,1)在橢圓E1上.過點P的兩條不重合直線l1，l2與橢圓E1相交于Q，H兩點，與橢圓E2相交于A，B和C，D四點．
(1)求橢圓E1的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)求證：S△APD=S△BQD；
(3)若|BQ||DH|=|DP||BP|，設(shè)直線l1，l2的傾斜角分別為α，β，求證：α+β為定值．
21.(本小題18分)
已知f(x)=2ax3?(3a+1)x2+2x，若對于給定的a∈R及平面上一點M，函數(shù)y=f(x)的圖像上存在與M不同的一點Q(q,f(q))，使得直線MQ為函數(shù)y=f(x)在Q點的切線，則稱點M具有“性質(zhì)Pa”.
(1)判斷點M(1,2)是否具有“性質(zhì)P1”，并說明理由；
(2)證明：“點M(x,y)具有‘性質(zhì)P0’”的充分必要條件是“y>2x?x2”；
(3)若對于任意的非零實數(shù)a，直線x=c上的所有點均具有“性質(zhì)Pa”，求實數(shù)c的值．
參考答案
1.A 2.A 3.D 4.B
5.?1 6.?12 7.[?1,2) 8.2 9.12R2 10.4 11.43 12.20
13.{x|x3}
14. 312
15.[4 39,+∞)
16.3 57
17.
18.解：(1)設(shè)圓錐的母線長為l，則由題意，
可得πl(wèi)=12×4π，故l=2，
則圓錐的高?= 22?12= 3，
則該幾何體的體積為：
V=π×12×2+13×π×12× 3=6+ 33π；
(2)由題意，C是圓弧AB的中點，則OC⊥AB，
則可以O(shè)為坐標(biāo)原點，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

則A(0,?1,0)，C(1,0,0)，P(0,0,3)，B1(0,1,2)，
AC=(1,1,0)，AP=(0,1,3)，PB1=(0,1,?1)，
設(shè)平面PAC的一個法向量為n=(x,y,z)，
則有n?AC=x+y=0n?AP=y+3z=0，令z=1，可得x=3，y=?3，
則平面PAC的一個法向量為n=(3,?3,1)，
設(shè)直線PB1與平面PAC所成角為θ，
則sinθ=|cs|=|n?PB1||n||PB1|=4 19× 2=2 3819，
故直線PB1與平面PAC所成角的大小為arcsin2 3819．
19.解：(1)因為在這100個零件中，合格的零件為60個，
故質(zhì)量合格的零件所占樣本比例為60100=35，
而在這1000個零件中，質(zhì)量合格的零件數(shù)為35×1000=600(個)；
(2)由a =i=1100(xi?x?)(yi?y?)i=1100(xi?x?)2可得，a =i=1100yii?100y?i?i=1100i2?100i?2，
又因為i=1100yi=52，i=1100iyi=2428，i=1100yi2=30.18，
所以y?=i=1100yi100=0.52，i?=1+2+?+100100=50.5，
所以a =2428?100×0.52×50.5338350?100×(50.5)2=?62525；
(3)用Xi表示抽查的結(jié)果，若第i個零件與第i+1個零件被選中，則記Xi=1，
若結(jié)果是其余情況，記Xi=0，
則X=X1+X2+?+Xn，
由線性期望的性質(zhì)可得：
E[X]=i=199E[Xi]=i=199P(Xi=1)=99×C9818C10020=3.8(個)．
20.(1)解：由題意知，兩橢圓有相同的離心率，則有b2a2=412,a2=3b2，
又點P( 3,1)在橢圓E1上，
有3a2+1b2=1，解得a2=6，b2=2，
所以橢圓E1的標(biāo)準(zhǔn)方程為x26+y22=1；
(2)證明：要證S△APD=S△BQD，即證|AP|=|BQ|，
設(shè)A(xA,yA)，B(xB,yB)，P(xP,yP)，Q(xQ,yQ)，
當(dāng)直線l1斜率不存在時，由橢圓對稱性可知|AP|=|BQ|成立，
當(dāng)直線l1斜率存在時，設(shè)斜率為k1，則AB方程為y?1=k1(x? 3)，
由y?1=k1(x? 3)x26+y22=1，得(3k12+1)x2+(6k1?6 3k12)x+3(1? 3k1)2?6=0，
則xp+xQ=6 3k12?6k13k12+1,xPxQ=3(1? 3k1)2?63k12+1，
由y?1=k1(x? 3)x212+y24=1，得(3k12+1)x2+(6k1?6 3k12)x+3(1? 3k1)2?12=0，
則xA+xB=6 3k12?6k13k12+1,xAxB=3(1? 3k1)2?123k12+1，
得xP+xQ=xA+xB，所以xP?xA=xB?xQ，
又|AP|= 1+k12?|xP?xA|,|BQ|= 1+k12?|xB?xQ|，
則有|AP|=|BQ|，
所以△APD與△BQD等底等高，則S△APD=S△BQD；
(3)證明：由(2)可知|AP|=|BQ|，同理有|CP|=|DH|，
由|BQ||DH|=|DP||BP|，可得|AP||CP|=|DP||BP|，
則有|AP|?|BP|=|CP|?|DP|，
設(shè)直線CD的斜率為k2，直線CD方程為y?1=k2(x? 3)，
設(shè)C(xC,yC)，D(xD,yD)，
由y?1=k2(x? 3)x212+y24=1，可得(3k22+1)x2+(6k2?6 3k22)x+3(1? 3k2)2?12=0，
所以xC+xD=6 3k22?6k23k22+1,xCxD=3(1? 3k2)2?123k22+1，
則|CP|?|DP|= 1+k22?|xC?xP|? 1+k22?|xD?xP|，
|AP|?|BP|= 1+k12?|xA?xP|? 1+k12?|xB?xP|，
所以(1+k22)?|xC?xP|?|xD?xP|=(1+k12)?|xA?xP|?|xB?xP|，
即(1+k22)?|xCxD?xP(xC+xD)+xP2|=(1+k12)?|xAxB?xP(xA+xB)+xP2|，
化簡得1+k223k22+1=1+k123k12+1，即k22=k12，
由題意k2≠k1，所以k1+k2=0，故α+β=π．
21.

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