（時(shí)間120分鐘，共150分）
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.
1. 已知集合，集合，則（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出集合，利用并集的定義可求得集合.
【詳解】因?yàn)?，，則.
故選：C．
2. 已知平面向量，則“”是“，共線”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)向量共線及充分條件、必要條件的定義判斷即可.
【詳解】若則，共線，故充分性成立；
若，共線，不一定得到，
如，，顯然滿足，共線，
但是不存在實(shí)數(shù)使得，故必要性不成立；
所以“”是“，共線”的充分不必要條件.
故選：A
3. 已知扇形的圓心角為，弧長為，則該扇形的面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出扇形的半徑，再根據(jù)扇形面積公式即可代入求值.
【詳解】扇形的半徑，所以扇形的面積為，
故選：D.
4. 已知，則（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】弦化切后代入計(jì)算．
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
故選：C．
5. 已知，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小關(guān)系，即可得答案.
【詳解】由，即.
故選：C
6. 函數(shù)，的圖象形狀大致是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根據(jù)函數(shù)奇偶性排除AC，再結(jié)合特殊點(diǎn)的函數(shù)值排除B.
【詳解】定義域，且，所以為奇函數(shù)，排除AC；又，排除B選項(xiàng).
故選：D
7. 已知是的重心，過點(diǎn)作一條直線與邊分別交于點(diǎn)（點(diǎn)與所在邊的端點(diǎn)均不重合），設(shè)，則的最小值是（ ）
A. 1B. C. 2D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】利用重心性質(zhì)以及平面向量共線定理可得，再由基本不等式計(jì)算可得結(jié)果.
【詳解】如圖，取中點(diǎn)，則，
，
三點(diǎn)共線，，即，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào).
即的最小值是.
故選：B
8. 如圖，為了測(cè)量兩山頂間的距離，飛機(jī)沿水平方向在兩點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量，在同一個(gè)鉛垂平面內(nèi).已知飛機(jī)在點(diǎn)時(shí)，測(cè)得，在點(diǎn)時(shí)，測(cè)得，千米，則（ ）
A. 千米B. 千米C. 千米D. 千米
【答案】A
【解析】
【分析】由題意可得是等邊三角形，可得千米，記直線與直線的交點(diǎn)為，，進(jìn)而可得為等腰三角形，可求得，計(jì)算可求得.
【詳解】因?yàn)椋?br>可得是等邊三角形，則千米.
記直線與直線的交點(diǎn)為，
所以,為的中點(diǎn)，
所以為等腰三角形，
所以千米.
故選：A.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 已知向量，，下列命題中正確的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)向量模公式計(jì)算可判斷A；由向量平行的坐標(biāo)表示可判斷B；由向量垂直的坐標(biāo)表示可判斷C；根據(jù)向量模公式計(jì)算可判斷D.
【詳解】因?yàn)?，所以不平行，B錯(cuò)誤；
因?yàn)?，所以，C正確；
因?yàn)?，所以?br>又，所以，A正確，D錯(cuò)誤.
故選：AC
10. 已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A.
B. 點(diǎn)是函數(shù)圖象的對(duì)稱中心
C. 函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)
D. 將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度后所得的函數(shù)為偶函數(shù)
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象求出函數(shù)解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可.
【詳解】對(duì)于：由函數(shù)的圖象，可得，且，
所以，又，所以，所以，
又由，
則，，可得，，
因?yàn)椋傻?，所以，故正確；
對(duì)于：因?yàn)椋?br>所以點(diǎn)是函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心，故正確；
對(duì)于：當(dāng)，則，因?yàn)樵谏喜粏握{(diào)，
所以在區(qū)間上不單調(diào)，故錯(cuò)誤；
對(duì)于：將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，
得到為偶函數(shù)，故正確.
故選：ABD.
11. 設(shè)函數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A. 若，則或
B. 若函數(shù)有3個(gè)不同零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為
C. 若函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，，，則的取值范圍為
D. 對(duì)任意，函數(shù)在內(nèi)無最小值
【答案】ABD
【解析】
【分析】對(duì)于A，由分段討論代入求解即可判斷；對(duì)于B，由需有一個(gè)零點(diǎn)，同時(shí)
方程需有兩個(gè)不等的小于1的實(shí)根， 即可判斷；對(duì)于C，由題意得到，構(gòu)造函數(shù)，確定單調(diào)性即可判斷；對(duì)于D，分別討論時(shí)，二次函數(shù)的最小值及時(shí)，的最小值，進(jìn)而可判斷；
詳解】對(duì)于中，若，，
解得（舍去），若，則，解得，
因此，若，則或，可判定正確；
對(duì)于中，令，當(dāng)時(shí)，可得，
若函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，則需有一個(gè)零點(diǎn)，則；
當(dāng)時(shí)，可得，若函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，
則需有兩個(gè)不等的小于1的實(shí)根，則滿足，解得，
所以若函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是，所以正確.
對(duì)于中，設(shè)函數(shù)的3個(gè)零點(diǎn)分別是，
則，可得，
令，則在上單調(diào)遞減，所以，
即的取值范圍是，所以C錯(cuò)誤；
對(duì)于中，當(dāng)時(shí)，函數(shù)是開口向下的二次函數(shù)，，
對(duì)稱軸是，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞減，在沒有最小值，，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，
因?yàn)?，所以，所以在?nèi)無最小值；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在沒有最小值，
，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，
因?yàn)?，所以，所以在?nèi)無最小值；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞增，在沒有最小值，，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，
因?yàn)?，所以，所以在?nèi)無最小值，所以正確.
故選：ABD.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：
已知函數(shù)零點(diǎn)（方程根）的個(gè)數(shù)，求參數(shù)的取值范圍問題的常用方法：
1、直接法，直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式（組），再通過解不等式（組）確定參數(shù)的取值范圍
2、分離參數(shù)法，先分離參數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知，，，則與的夾角為_______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)已知及向量的夾角公式求夾角的余弦值，進(jìn)而確定角的大小.
【詳解】設(shè)與的夾角為，因?yàn)?，，?br>所以，因?yàn)椋?br>所以，即與的夾角為．
故答案為：
13. 已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______
【答案】
【解析】
【分析】分析可知，內(nèi)層函數(shù)在上為減函數(shù)，且，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，即可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】令，因?yàn)橥鈱雍瘮?shù)在上為減函數(shù)，
且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，內(nèi)層函數(shù)在上為減函數(shù)，且，
即，解得.
因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
14. 已知圓為的外接圓，，則的最大值為______________.
【答案】3
【解析】
【分析】先利用正弦定理求出外接圓半徑，取的中點(diǎn)，連接，則，變形得到，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最大值，求出答案.
【詳解】設(shè)圓的半徑為，則，解得，
因?yàn)椋裕?br>取的中點(diǎn)，連接，則，
故，
，
當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最大值，最大值為，
故的最大值為.
故答案為：3
四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，.
（1）求角的大?。?br>（2）若，且的面積為，求的周長.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）應(yīng)用二倍角正弦公式及三角形內(nèi)角性質(zhì)求角的大?。?br>（2）應(yīng)用面積公式可得，進(jìn)而有，余弦定理求得，即可得三角形周長.
【小問1詳解】
由題設(shè)，又，則，
所以，則.
【小問2詳解】
由題意，可得，又，則，
由余弦定理，有，則，
綜上，的周長為.
16. 已知函數(shù).A
（1）求函數(shù)的最小正周期；
（2）求函數(shù)在上的值域.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）化簡(jiǎn)得到，由周期公式即可求解；
（2）由，得到，結(jié)合正弦函數(shù)圖像性質(zhì)即可求值域；
【小問1詳解】
因?yàn)?br>所以函數(shù)的最小正周期為；
【小問2詳解】
，，
，
函數(shù)的值域?yàn)?
17. 在中，角，，所對(duì)的邊分別是，，，已知．
（1）求證：；
（2）求角的最大值．
【答案】（1）證明見解析
（2）．
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理將已知條件進(jìn)行化簡(jiǎn)，再通過正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角來證明等式；
（2）在（1）的基礎(chǔ)上，結(jié)合余弦定理和基本不等式求出角的最大值.
【小問1詳解】
因?yàn)?，又?br>所以整理得，
由正弦定理可得：，得證.
【小問2詳解】
由，，可得：，
又（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），
所以，
因?yàn)椋以谏蠁握{(diào)遞減，故，
當(dāng)時(shí)，角取得最大值．
18. 已知函數(shù)滿足.
（1）當(dāng)時(shí)，解不等式；
（2）設(shè)，若對(duì)，函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差不超過1，求的取值范圍.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）當(dāng)，，由的單調(diào)性，即可求解；
（2），，由單調(diào)性求出在區(qū)間上的最大值與最小值，利用其差不超過1，求出關(guān)于的關(guān)系式在恒成立，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)最值與參數(shù)關(guān)系，即可求解.
【詳解】（1）由題意可得，得，
解得.
（2）當(dāng)時(shí)，，
，
∴在上單調(diào)遞減，
函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值分別為，
，
即
整理得對(duì)任意恒成立，
∵，∴函數(shù)對(duì)稱軸方程，
函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
∴時(shí)，有最小值.
由，得，
故的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算法則、單調(diào)性、不等式的解法，考查恒成立問題，轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)最值，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于較難題.
19. 經(jīng)研究，函數(shù)為奇函數(shù)充要條件是函數(shù)圖象的對(duì)稱中心為點(diǎn)，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，由得函數(shù)關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是.
（1）已知函數(shù)，且，求的值；
（2）證明：函數(shù)圖象的對(duì)稱中心為；
（3）已知函數(shù)，求的值.
【答案】（1）
（2）證明見解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)，利用奇偶函數(shù)的判定方法得為奇函數(shù)，從而的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，即可求解；
（2）構(gòu)造函數(shù)，利用奇偶函數(shù)的判定方法得為奇函數(shù)，通過變形可得，再利用題設(shè)定義，即可求解；
（3）先假設(shè)的對(duì)稱中心為，根據(jù)題設(shè)可得，，進(jìn)而可得，即可求解.
【小問1詳解】
令，易知其定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
又，所以為奇函數(shù)，
則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，
則，則，
又，所以.
【小問2詳解】
因?yàn)椋?br>令，則
易知的定義域?yàn)?，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又，
所以為奇函數(shù)，則函數(shù)圖象的對(duì)稱中心為.
【小問3詳解】
假設(shè)函數(shù)圖象有對(duì)稱中心且對(duì)稱中心為，
則，所以，
整理得到，所以，解得，，
所以函數(shù)有對(duì)稱中心，則，
令，
，
相加得，
.

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