2024-2025學(xué)年四川省綿陽市高三上冊9月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試題（附解析）

這是一份2024-2025學(xué)年四川省綿陽市高三上冊9月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試題（附解析），共20頁。試卷主要包含了選擇題的作答，非選擇題的作答，已知，則等內(nèi)容，歡迎下載使用。
1．答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．
2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑．寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．
3．非選擇題的作答：用簽字筆直接寫在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．
4．考試結(jié)束后，請將本試題卷和答題卡一并上交．
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．已知集合，則（ ）
A．B．C．D．
2．復(fù)數(shù)滿足，則的虛部是（ ）
A．B．C．D．
3．若，且，則（ ）
A．1B．C．D．或
4．已知，則（ ）
A．B．C．D．
5．兩圓錐母線長均為3，體積分別為，側(cè)面展開圖面積分別記為，且，側(cè)面展開圖圓心角滿足，則（ ）
A．B．C．D．
6．命題在上為減函數(shù)，命題在為增函數(shù)，則命題是命題的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分又不必要條件
7．已知函數(shù)，將的所有極值點按照由小到大的順序排列，得到數(shù)列，對于正整數(shù)，甲：；乙：為單調(diào)遞增數(shù)列，則（ ）
A．甲正確，乙正確B．甲正確，乙錯誤
C．甲錯誤，乙正確D．甲錯誤，乙錯誤
8．已知定義在上的函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，且滿足，函數(shù)的對稱中心為，則（ ）（注：）
A．B．
C．D．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9．某學(xué)校有甲、乙、丙三個社團，人數(shù)分別為、、，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取人，進行某項興趣調(diào)查．已知抽出的人中有人對此感興趣，有人不感興趣，現(xiàn)從這人中隨機抽取人做進一步的深入訪談，用表示抽取的人中感興趣的學(xué)生人數(shù)，則（ ）
A．從甲、乙、丙三個社團抽取的人數(shù)分別為人、人、人
B．隨機變量
C．隨機變量的數(shù)學(xué)期望為
D．若事件“抽取的3人都感興趣”，則
10．已知，則（）
A．B．在上單調(diào)遞增
C．，使D．，使
11．“曼哈頓幾何”也叫“出租車幾何”，是在19世紀由赫爾曼·閔可夫斯基提出的．如圖是抽象的城市路網(wǎng)，其中線段AB是歐式空間中定義的兩點最短距離，但在城市路網(wǎng)中，我們只能走有路的地方，不能“穿墻”而過，所以在“曼哈頓幾何”中，這兩點最短距離用表示，又稱“曼哈頓距離”，即，因此“曼哈頓兩點間距離公式”：若Ax1,y1,Bx2,y2，則．在平面直角坐標系中，我們把到兩定點的“曼哈頓距離”之和為常數(shù)的點的軌跡叫“新橢圓”．設(shè)“新橢圓”上任意一點設(shè)為Px,y，則（ ）

A．已知點，則
B．“新橢圓”關(guān)于軸，軸，原點對稱
C．的最大值為
D．“新橢圓”圍成的面積為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．已知橢圓的左、右焦點為，右頂點為為上一動點（不與左、右頂點重合），設(shè)的周長為，若，則的離心率為 ．
13．若曲線與曲線有公共點，且在公共點處有公切線，則實數(shù) ．
14．若，則 ．
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
15．在某象棋比賽中，若選手甲和選手乙進入了最終的象棋決賽，經(jīng)賽前數(shù)據(jù)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)在每局象棋比賽中甲和乙獲勝的概率分別為和，且決賽賽制為局勝制，求：
(1)前局中乙恰有局獲勝的概率；
(2)比賽結(jié)束時兩位選手共進行了局比賽的概率．
16．記的內(nèi)角的對邊分別為，且．
(1)求；
(2)若為邊上的中點，求的長．
17．如圖，三棱柱中，，且與均為等腰直角三角形，．

(1)若為等邊三角形，證明：平面平面；
(2)若二面角的平面角為，求二面角的平面角的余弦值．
18．已知雙曲線的左、右焦點分別為的一條漸近線方程為，過且與軸垂直的直線與交于兩點，且的周長為16.
(1)求的方程；
(2)過作直線與交于兩點，若，求直線的斜率．
19．已知函數(shù)．
(1)當時，證明：；
(2)現(xiàn)定義：階階乘數(shù)列滿足．若，證明：．
1．C
【分析】解一元二次不等式可求得，再結(jié)合集合的特征即可計算得出結(jié)果.
【詳解】解不等式可得，
又可得只有當時，的取值分別為在集合中，
所以.
故選：C
2．D
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算化簡化簡可得，即可得共軛復(fù)數(shù)，由虛部定義即可求解.
【詳解】由，得，故，進而可得，即的虛部是，
故選：D
3．D
【分析】根據(jù)向量數(shù)量積坐標運算公式計算垂直數(shù)量積為0求參.
【詳解】因為，所以，
所以，即或.
故選：D.
4．A
【分析】先由平方差公式化簡已知條件并結(jié)合二倍角的余弦公式得，進而得，從而結(jié)合二倍角正弦公式即可計算求解.
【詳解】因為，
所以，
所以 ，即，
所以由得，
所以.
故選：A.
5．B
【分析】利用圓錐側(cè)面積公式推得，再由側(cè)面展開圖的圓心角公式推得，由此得到兩圓錐高分別為與，從而求得兩圓錐體積的比值.
【詳解】依題意，不妨設(shè)甲圓錐的底面半徑為，高為，乙圓錐底面半徑為，高為，
則，，
由得，
故，因為側(cè)面展開圖的圓心角之和為，
所以，
故，所以，，
所以.
故選：B.
6．A
【分析】根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性得到不等式得到，分離常數(shù)后，由的單調(diào)性得到，結(jié)合集合的包含關(guān)系得到是的充分不必要條件.
【詳解】要在上單調(diào)遞減，
則，解得，
在1,+∞為增函數(shù)，則，
解得，
因為是的真子集，故命題是命題的充分不必要條件.
故選：A
7．B
【分析】將函數(shù)的極值點轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖像的交點的橫坐標，由圖象判斷命題甲，結(jié)合函數(shù)圖像利用極限思想判斷命題乙.
【詳解】
函數(shù)的定義域為，
導(dǎo)函數(shù)，令，得，
所以函數(shù)的極值點為函數(shù)與函數(shù)的圖象的交點的橫坐標，
在同一平面直角坐標系中，分別畫出函數(shù)與函數(shù)的圖象，
如圖所示，由圖可知，在區(qū)間內(nèi)，
函數(shù)函數(shù)與函數(shù)的圖象，
有且僅有個交點，且，
所以命題甲正確；
因為，函數(shù)為增函數(shù)，
所以，
由圖像可知，隨著的增大，與越來越接近，距離越來越小，
所以數(shù)列為遞減數(shù)列，命題乙錯誤.
故選：B.
方法點睛：根據(jù)條件將的極值點轉(zhuǎn)化成函數(shù)的“異號”零點，先對解析式變形，進而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象，再結(jié)合命題甲、乙，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.
8．C
【分析】利用求出函數(shù)的周期為4，利用的對稱中心為求出的對稱中心為，結(jié)合求出然后利用周期性，對稱性和單調(diào)性逐項判斷即可.
【詳解】，故，
所以，
函數(shù)的對稱中心為，
函數(shù)往左平移1個單位得到函數(shù)，
故函數(shù)的對稱中心為，
，令得，，
故，即
且的對稱中心為，故
故即的對稱軸為.
對于A,在區(qū)間上單調(diào)遞減，故，
且，
所以，故A錯誤；
對于B,在區(qū)間上單調(diào)遞減，對稱中心為，
故，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，
則，
，故B錯誤；
對于C，，
且，結(jié)合在區(qū)間上單調(diào)遞減，
故，故C正確；
對于D，，故，
且，即，
結(jié)合在區(qū)間上單調(diào)遞減，故，故D錯誤.
故選：C
關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是通過賦值法求出函數(shù)的周期性和對稱性，然后結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求解即可.
9．ACD
【分析】結(jié)合分層抽樣性質(zhì)求出各社團所需抽取人數(shù)判斷A，求隨機變量的分布列，判斷BD，由期望公式求的期望，判斷C.
【詳解】設(shè)甲、乙、丙三個社團分別需抽取人，則
，
所以，，，
所以從甲、乙、丙三個社團抽取的人數(shù)分別為人、人、人，A正確；
隨機變量的取值有，，，
，，，
所以隨機變量的分布列為
所以B錯誤；
由期望公式可得隨機變量的數(shù)學(xué)期望，C正確；
因為，所以D正確.
故選：ACD.
10．AD
【分析】對于A，代入化簡即可；對于B，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可；對于C，D利用基本不等式求解即可，要注意等號是否能取到.
【詳解】對于A，，，故A正確.
對于的定義域為，
令，則在上恒成立，
所以在上單調(diào)遞增，
所以1即，
在單調(diào)遞減，故B錯誤；
對于，當時，，此時不存在，使；
當x>0時，，
由B知，，等號取不到，故不存在，使，故C錯誤；
對于D，當x>0時，，此時不存在，使；
當時，，
，則在上恒成立，
所以在上單調(diào)遞增，因為，
所以，使得即，
所以存在，使，故D正確.
故AD.
11．BC
【分析】根據(jù)曼哈頓兩點間距離公式，可判定A錯誤；根據(jù)“新橢圓”的定義，求得其方程，畫出“新橢圓”的圖象，結(jié)合圖象，可判定B、C正確；根據(jù)“新橢圓”的圖象，結(jié)合三角形和矩形的面積公式，可判定D錯誤.
【詳解】對于A中，因為，可得，所以A不正確；
對于B中，設(shè)“新橢圓”上任意一點為，
根據(jù)“新橢圓”的定義，可得，即，
當時，可得；當時，可得；
當時，可得；當時，可得；
當時，可得；當時，可得，
當時，可得；當時，可得；
當時，可得，
作出“新橢圓”的圖象，如圖所示，
可得“新橢圓”關(guān)于軸，軸，原點對稱，所以B正確；

對于C中，由“新橢圓”的圖象，可得的最大值為，所以C正確；
對于D中，設(shè)“新橢圓”的圖象，圍成的六邊形為，

聯(lián)立方程組，解得，所以，則，
根據(jù)“新橢圓”的對稱性，可得：
“新橢圓”圍成的面積為
，所以D錯誤.
故選：BC.
12．
【分析】根據(jù)已知條件列方程，求得與的關(guān)系式，從而求得雙曲線的離心率.
【詳解】依題意，，則，
所以離心率.
故
13．
【分析】設(shè)曲線與曲線的公共點為，由題意可以得到，列出關(guān)于的方程并進行求解即可.
【詳解】由的定義域為，
因此設(shè)曲線與曲線的公共點為，，
則，即①，
又，，且兩曲線在公共點有公切線，
則，即②，
①②聯(lián)立消去得，解得，
代入①可得，
故
14．
【分析】首先利用二項式定理求的展開式，從而確定的值，再利用二項式定理求的展開式，并把展開式用表示，最后求出的值.
【詳解】由
①，
則，，
又
②，
①②得，
即，因此，
故
關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵在于通過觀察的展開式，發(fā)現(xiàn)展開式中一部分是整數(shù)，一部分是含的整數(shù)倍，從而確定的值，考查了二項式定理的應(yīng)用，利用二項式定理求展開式，是一道綜合性比較強的題.
15．(1)前局中乙恰有局獲勝的概率為.
(2)比賽結(jié)束時兩位選手共進行了局比賽的概率為.
【分析】（1）根據(jù)獨立事件概率乘法公式求前局中乙恰有局獲勝的概率；
（2）根據(jù)獨立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式求概率即可.
【詳解】（1）設(shè)事件甲第局比賽獲勝為，，
則，，
事件前3局中乙恰有2局獲勝可表示為，
又，
所以，
所以，
所以前3局中乙恰有2局獲勝的概率為.
（2）設(shè)事件比賽結(jié)束時兩位選手共進行了局比賽為，
事件前局甲勝局且第局甲勝為，
事件前局乙勝局且第局乙勝為，
則，且事件互為互斥事件，
所以，
所以比賽結(jié)束時兩位選手共進行了局比賽的概率為.
16．(1)
(2)
【分析】（1）由，利用正弦定理，再化簡可得，可得，求得；
（2）由，，可得，在中，由余弦定理解得，得，由余弦定理求得，在中，由余弦定理即可求得.
【詳解】（1）因為，
由正弦定理得，
在中，，
則，
得，
因為，
所以，即，，
又，則，則，所以.
（2）因為，
由，
所以，解得，
在中，由余弦定理得
，
則，又為邊上的中點，所以，
在中，由余弦定理得
則，
在中，由余弦定理得
，
所以.
17．(1)見解析
(2)
【分析】（1）設(shè)的中點為，證明平面,然后利用線面垂直證明面面垂直即可；
（2）作出二面角的平面角，然后利用線面關(guān)系作出二面角的平面角，然后利用余弦定理求余弦值即可.
【詳解】（1）設(shè)的中點為，連接,如圖所示，

因為與均為等腰直角三角形，，
故,且,
因為為等邊三角形，故,
故,即,
且平面,,
故平面,且平面，
故平面平面.
（2）由（1）知，，,且平面平面,
故 即二面角的平面角，即，
故為等邊三角形，則，
因為，,且平面,
所以平面,且,故平面,
且平面,故，則
設(shè)和的中點分別為,連接,

則,故,
又因為,故，
且平面,平面,
故即二面角的平面角，
且,
因為,故,
則,
所以.
故面角的平面角的余弦值為.
18．(1)
(2)或
【分析】（1）將代入曲線E得，故得，從而結(jié)合雙曲線定義以及題意得，解出即可得解.
（2）由題意得直線的斜率存在且不為0，設(shè)，接著與曲線E聯(lián)立方程結(jié)合韋達定理求得和，由得，與韋達定理結(jié)合即可求出，進而即可得直線的斜率.
【詳解】（1）將代入，得，
所以，所以，
所以由題得，，
所以雙曲線的方程為.
（2）由（1）知，顯然當直線的斜率不存在或的斜率為0時，不成立，

故直線的斜率存在，且不為0，設(shè)，，，
聯(lián)立，
則，且即，
，
又，所以，所以，
所以由得，解得，故，
故直線的斜率為或.
19．(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）合理構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解最值，證明不等式即可.
（2）利用給定定義結(jié)合累加法對目標式進行化簡，再結(jié)合換元法轉(zhuǎn)化后利用導(dǎo)數(shù)證明即可.
【詳解】（1）令函數(shù)，
要證明時，，即證明，
，
，
所以當時，?x單調(diào)遞減，所以，故原不等式成立.
（2）將左右同除以，
有
即，累加有，
即，
由（1）知，，即，
所以，
所以，所以，
當時也滿足，所以
所以，
下面證明，
令數(shù)列，，
因為
，
因為，故只需判斷的符號，
令，則，
令，
當x∈1,+∞時，，所以Fx單調(diào)遞增，
所以，所以，
即故數(shù)列bn單調(diào)遞增，
所以，
故原不等式成立.
關(guān)鍵點點睛：本題考查導(dǎo)數(shù)新定義，解題關(guān)鍵是合理利用給定定義，然后利用累加法和換元法合理轉(zhuǎn)化，最后利用導(dǎo)數(shù)得到所要求的不等關(guān)系即可．