一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 設(shè)全集，，則（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由集合補(bǔ)運(yùn)算求集合.
【詳解】由，，則.
故選：C
2. 命題：，的否定是（）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)含有一個(gè)量詞的命題的否定的方法即可求解.
【詳解】命題：，的否定是：，.
故選：C.
3. “”是“”成立的（）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】解一元二次不等式求參數(shù)范圍，結(jié)合充分、必要性定義判斷條件間的關(guān)系.
【詳解】由，可得，故“”是“”成立的充分不必要條件.
故選：A
4. 已知冪函數(shù)y＝f（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（4，2），則f（2）＝（）
A. B. 4C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用待定系數(shù)法求出函數(shù)的解析式，再代入求值即可.
【詳解】設(shè)f（x）＝xa，因?yàn)閮绾瘮?shù)圖象過（4，2），
則有2 ，∴a，即，
∴f（2）
故選：D
【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，考查了求函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.
5. 扇形面積為4，周長(zhǎng)為8，則扇形的圓心角的弧度數(shù)為（）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】利用扇形的面積、弧長(zhǎng)公式列方程求半徑、弧長(zhǎng)，即可求扇形的圓心角.
【詳解】令扇形半徑為，弧長(zhǎng)為，則，
所以扇形的圓心角的弧度數(shù)為.
故選：B
6. 已知，則（）
A. 1B. C. 2D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】由題設(shè)得，化弦為切求目標(biāo)式的值.
【詳解】由題設(shè)，又.
故選：D
7. 已知，，，則（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)有，進(jìn)而有，再由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)求，即可得答案.
【詳解】由，，則，
所以，又，
綜上，.
故選：C
8. 已知函數(shù)，若方程有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式，結(jié)合指對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)畫出函數(shù)大致圖象，令并討論判斷對(duì)應(yīng)方程根的個(gè)數(shù)，再由有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，討論范圍，結(jié)合對(duì)應(yīng)的分布確定根的個(gè)數(shù)，即可得范圍.
【詳解】由解析式得函數(shù)大致圖象如下，由，令，可得或，
令，當(dāng)或時(shí)有1個(gè)解；當(dāng)或時(shí)有2個(gè)解；
當(dāng)時(shí)有3個(gè)解；當(dāng)時(shí)無解；
要使有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，
若，則，此時(shí)方程有1解；
若，則有2個(gè)解，有1解，此時(shí)方程共有3個(gè)解；
若，則有1個(gè)解，有3解，有1解，
此時(shí)方程共有5個(gè)解；
若，則有1個(gè)解，有3解，有2解，
此時(shí)方程共有6個(gè)解；
若，則有1個(gè)解，有3解，有3解，
此時(shí)方程共有7個(gè)解；
若，則有3個(gè)解，有3個(gè)解，此時(shí)方程共有6個(gè)解；
若，則有3個(gè)解，此時(shí)方程共有3個(gè)解；
若，沒有對(duì)應(yīng)，此時(shí)方程無解；
綜上，.
故選：B
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)函數(shù)圖象研究對(duì)應(yīng)根的個(gè)數(shù)，再數(shù)形結(jié)合討論范圍研究根的個(gè)數(shù).
二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.
9. 若，則下列不等式成立的是（）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由不等式性質(zhì)判斷A、B、C，根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性判斷D.
【詳解】由，則，，A、C對(duì)；
若，此時(shí)，B錯(cuò)；
由單調(diào)遞增，故，D對(duì).
故選：ACD
10. 在下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的有（）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)指數(shù)、冪函數(shù)及三角函數(shù)性質(zhì)判斷函數(shù)奇偶性、區(qū)間單調(diào)性，即可得答案.
【詳解】由為奇函數(shù)，A不符；
由定義域?yàn)镽，且，為偶函數(shù)，
在區(qū)間上單調(diào)遞增，B符合；
由定義域?yàn)?，且，為偶函?shù)，
在區(qū)間上單調(diào)遞增，C符合；
由定義域?yàn)镽，且，為偶函數(shù)，
在區(qū)間上單調(diào)遞增，D符合；
故選：BCD
11. 定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)滿足，且時(shí)，，則（）
A.
B
C. 的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
D. 在區(qū)間上單調(diào)遞增
【答案】ABD
【解析】
【分析】由題設(shè)關(guān)系得，結(jié)合區(qū)間解析式求值判斷A；根據(jù)已知有，即，利用遞推關(guān)系即可判斷B；由已知可得即可判斷C；根據(jù)周期性，區(qū)間與區(qū)間的單調(diào)性相同，結(jié)合已知區(qū)間單調(diào)性及偶函數(shù)判斷D.
【詳解】由，A對(duì)；
由題設(shè)，即，B對(duì)；
由，則，綜上，即關(guān)于對(duì)稱，C錯(cuò)；
根據(jù)周期性，區(qū)間上單調(diào)性與區(qū)間上單調(diào)性相同，
又時(shí)，，即在上上遞減，又是偶函數(shù)，
所以在區(qū)間上遞增，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，D對(duì).
故選：ABD
12. 已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則（）
A. 在區(qū)間上有兩條對(duì)稱軸
B. 的取值范圍是
C. 在區(qū)間上單調(diào)遞增
D. 若，則
【答案】BC
【解析】
【分析】由題設(shè)有在有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)求得，再由各項(xiàng)描述逐項(xiàng)判斷各項(xiàng)正誤.
【詳解】區(qū)間上且，
故在有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，
所以，可得，B對(duì)；
當(dāng)時(shí)，此時(shí)只有一條對(duì)稱軸，
即在上可能只有一條對(duì)稱軸，A錯(cuò)；
區(qū)間上，而，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，C對(duì)；
由，即，又，
所以或，可得或，D錯(cuò).
故選：BC
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：應(yīng)用換元法，將問題化為在有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn)求參數(shù)范圍為關(guān)鍵.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. ______.
【答案】
【解析】
【分析】利用換底公式計(jì)算不同底數(shù)的對(duì)數(shù)運(yùn)算，再與－8的立方求和即得．
【詳解】
故答案為：－511．
14. 函數(shù)圖象恒過定點(diǎn)_____________.
【答案】（1,3）
【解析】
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，即可得答案.
【詳解】令，可得，
所以，即圖象恒過定點(diǎn)（13）.
故答案為：（1,3）
15. 已知，，則的最小值為______.
【答案】
【解析】
【分析】?jī)纱螒?yīng)用基本不等式求目標(biāo)式最小值，注意取值條件.
【詳解】由題設(shè)，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)第一個(gè)等號(hào)成立，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)第二個(gè)等號(hào)成立，
綜上，時(shí)目標(biāo)式有最小值為.
故答案為：
16. 若函數(shù)在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)使得，其中，則稱函數(shù)為定義域上的“階局部奇函數(shù)”，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，函數(shù)恒為上的“階局部奇函數(shù)”，則的取值集合是______.
【答案】
【解析】
【分析】由題意，建立方程，利用分類討論思想，結(jié)合一元二次方程有解問題，可得答案.
【詳解】由題意得，函數(shù)恒為上的“階局部奇函數(shù)”，
即在上有解，則有，
即有解，
當(dāng)時(shí)，，滿足題意；
當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，，
變形可得，解可得：，
由，故.
故答案為：.
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17. 已知函數(shù)
（1）若，求的值；
（2）若，判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，并用定義證明.
【答案】（1）；
（2）在區(qū)間上遞增，證明見解析.
【解析】
【分析】（1）由，將自變量代入求值即可；
（2）設(shè)，應(yīng)用作差法比較證明單調(diào)性.
【小問1詳解】
由題設(shè)，則，故；
【小問2詳解】
在區(qū)間上遞增，證明如下：
令，則，
又，則，且，
所以，即在區(qū)間上遞增.
18. 已知集合，
（1）求；
（2）已知集合，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）解一元二次不等式求集合A，解對(duì)數(shù)不等式求集合B，再應(yīng)用集合交運(yùn)算求結(jié)果；
（2）由包含關(guān)系，討論、列不等式求參數(shù)范圍.
【小問1詳解】
由題設(shè)，，
所以；
【小問2詳解】
由，若，則滿足題設(shè)；
若，則，即；
綜上，.
19. 已知函數(shù).
（1）求的最小正周期；
（2）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把橫坐標(biāo)縮小為原來的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，求在上的單調(diào)遞增區(qū)間.
【答案】（1）；
（2）單調(diào)遞增區(qū)間為和.
【解析】
【分析】（1）利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)式得，即可求最小正周期；
（2）根據(jù)圖象平移得，由正弦函數(shù)性質(zhì)，應(yīng)用整體法求遞增區(qū)間.
【小問1詳解】
由題設(shè)，
所以的最小正周期；
【小問2詳解】
圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得，
把橫坐標(biāo)縮小為原來的（縱坐標(biāo)不變），得，
在上，顯然或，
所以或，故在上的單調(diào)遞增區(qū)間為和.
20. 為響應(yīng)“湘商回歸，返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)”的號(hào)召，某企業(yè)回永州投資特色農(nóng)業(yè)，為了實(shí)現(xiàn)既定銷售利潤(rùn)目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個(gè)激勵(lì)銷售人員的獎(jiǎng)勵(lì)方案：按銷售利潤(rùn)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，總獎(jiǎng)金額（單位：萬元）關(guān)于銷售利潤(rùn)（單位：萬元）的函數(shù)的圖象接近如圖所示，現(xiàn)有以下三個(gè)函數(shù)模型供企業(yè)選擇：①②③
（1）請(qǐng)你幫助該企業(yè)從中選擇一個(gè)最合適的函數(shù)模型，并說明理由；
（2）根據(jù)你在（1）中選擇的函數(shù)模型，如果總獎(jiǎng)金不少于6萬元，則至少應(yīng)完成銷售利潤(rùn)多少萬元？
【答案】（1）③,理由見解析
（2）72萬元
【解析】
【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合函數(shù)所過的點(diǎn)，以及函數(shù)的增長(zhǎng)速度，即可求解．
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，將對(duì)應(yīng)的點(diǎn)代入，即可求解函數(shù)表達(dá)式，列不等式求解即可.
【小問1詳解】
對(duì)于模型①，，圖象為直線，故①錯(cuò)誤，
由圖可知，該函數(shù)的增長(zhǎng)速度較慢，
對(duì)于模型②，指數(shù)型的函數(shù)是爆炸型增長(zhǎng)，故②錯(cuò)誤，
對(duì)于模型③，對(duì)數(shù)型的函數(shù)增長(zhǎng)速度較慢，符合題意，故選項(xiàng)模型③，
【小問2詳解】
由（1）可知，選項(xiàng)模型③，所求函數(shù)過點(diǎn)，，
則，解得，，
故所求函數(shù)為，
，即，
，
，
至少應(yīng)完成銷售利潤(rùn)72萬元．
21. 在平面直角坐標(biāo)系中，角及銳角的終邊分別與單位圓交于，兩點(diǎn).
（1）若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求的值：
（2）設(shè)角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，，，均與軸垂直，垂足分別為，，，請(qǐng)判斷以線段，，為邊能否構(gòu)成三角形，并說明理由.
【答案】（1）
（2）利用見解析
【解析】
【分析】（1）利用三角函數(shù)的定義，結(jié)合誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)計(jì)算即可；
（2）由，范圍，得，，由此可得證符合三角形兩邊之和大于第三邊．
【小問1詳解】
已知是銳角，則,根據(jù)三角函數(shù)的定義，
得，，，
．
【小問2詳解】
能構(gòu)成三角形，理由如下：
由三角函數(shù)的定義得，，，，
因?yàn)?，所以?br>于是有，①
故,
又因?yàn)?，所以?br>，②
故
同理，，③，
由①，②，③可得，以，，的長(zhǎng)為三邊長(zhǎng)能構(gòu)成三角形．
22. 已知函數(shù)，.
（1）若對(duì)，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）若函數(shù)，求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
【答案】（1）；
（2）答案見解析.
【解析】
【分析】（1）將問題化為，令，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性求最值得在上恒成立，進(jìn)而化為求參數(shù)范圍；
（2）令轉(zhuǎn)化為研究在上解的個(gè)數(shù)，求出右側(cè)范圍，再討論參數(shù)a，確定對(duì)應(yīng)，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)確定的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
【小問1詳解】
對(duì)，都有，只需，
由在上遞增，故，
由，在上有，
所以且，故有上恒成立，
所以，而，即.
【小問2詳解】
由題設(shè)，
令，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
則，即，
所以且，
令，則問題等價(jià)于在上解的個(gè)數(shù)，
又在上遞減，故，
當(dāng)或時(shí)，在上無解，即無零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，在上有，
所以，即，故有1個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，在上有（負(fù)值舍），
又為偶函數(shù)，此時(shí)有2個(gè)零點(diǎn)；
綜上，或時(shí)，無零點(diǎn)；時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)；時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)；
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第一問，問題化為，令進(jìn)一步化為；第二問，令轉(zhuǎn)化為研究在上解的個(gè)數(shù)為關(guān)鍵.

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