一、選擇題
1．設(shè)全集,,則( )
A.B.C.D.
2．命題,的否定是( )
A.,B.,
C.,D.,
3．“”是“”成立的( )
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
4．已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn),則( )
A.B.4C.D.
5．扇形面積為4,周長為8,則扇形的圓心角的弧度數(shù)為( )
A.1B.2C.3D.4
6．已知,則( )
A.1B.C.2D.3
7．已知,,,則( )
A.B.C.D.
8．已知函數(shù),若方程有5個不同的實(shí)數(shù)解,則a的取值范圍是( )
A.B.C.D.
二、多項(xiàng)選擇題
9．若,則下列不等式成立的是( )
A.B.C.D.
10．在下列函數(shù)中,既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的有( )
A.B.C.D.
11．定義域?yàn)镽的偶函數(shù)滿足,且時,,則( )
A.
B.
C.的圖象關(guān)于直線對稱
D.在區(qū)間上單調(diào)遞增
12．已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有兩個不同的零點(diǎn),則( )
A.在區(qū)間上有兩條對稱軸
B.的取值范圍是
C.在區(qū)間上單調(diào)遞增
D.若,則
三、填空題
13．______.
14．函數(shù)圖象恒過定點(diǎn)_____________.
15．已知,,則的最小值為______.
16．若函數(shù)在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)x使得,其中,則稱函數(shù)為定義域上的“k階局部奇函數(shù)”,對于任意的實(shí)數(shù),函數(shù)恒為R上的“k階局部奇函數(shù)”,則k的取值集合是______.
四、解答題
17．已知函數(shù)
（1）若,求的值;
（2）若,判斷在區(qū)間上的單調(diào)性,并用定義證明.
18．已知集合,
（1）求;
（2）已知集合,若,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
19．已知函數(shù).
（1）求的最小正周期;
（2）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度,再把橫坐標(biāo)縮小為原來的(縱坐標(biāo)不變),得到函數(shù)的圖象,求在上的單調(diào)遞增區(qū)間.
20．為響應(yīng)“湘商回歸,返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)”的號召,某企業(yè)回永州投資特色農(nóng)業(yè),為了實(shí)現(xiàn)既定銷售利潤目標(biāo),準(zhǔn)備制定一個激勵銷售人員的獎勵方案:按銷售利潤進(jìn)行獎勵,總獎金額y(單位:萬元)關(guān)于銷售利潤x(單位:萬元)的函數(shù)的圖象接近如圖所示,現(xiàn)有以下三個函數(shù)模型供企業(yè)選擇:①
②
③
（1）請你幫助該企業(yè)從中選擇一個最合適的函數(shù)模型,并說明理由;
（2）根據(jù)你在（1）中選擇的函數(shù)模型,如果總獎金不少于6萬元,則至少應(yīng)完成銷售利潤多少萬元?
21．在平面直角坐標(biāo)系xOy中,角及銳角的終邊分別與單位圓交于A,B兩點(diǎn).
（1）若B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,求的值:
（2）設(shè)角的終邊與單位圓交于點(diǎn)C,AP,BQ,CR均與x軸垂直,垂足分別為P,Q,R,請判斷以線段AP,BQ,CR為邊能否構(gòu)成三角形,并說明理由.
22．已知函數(shù),.
（1）若對,都有,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
（2）若函數(shù),求函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù).
參考答案
1．答案：C
解析:由,,則.
故選:C
2．答案：C
解析:命題,的否定是:,.
故選:C.
3．答案：A
解析:由,可得,故“”是“”成立的充分不必要條件.
故選:A
4．答案：D
解析:設(shè),因?yàn)閮绾瘮?shù)圖象過,
則有,,即,
故選:D
5．答案：B
解析:令扇形半徑為r,弧長為l,則,
所以扇形的圓心角的弧度數(shù)為.
故選:B
6．答案：D
解析:由題設(shè),又.
故選:D
7．答案：C
解析:由,,則,
所以,又,
綜上,.
故選:C
8．答案：B
解析:由解析式得函數(shù)大致圖象如下,由,令,可得或,
令,當(dāng)或時有1個解;當(dāng)或時有2個解;
當(dāng)時有3個解;當(dāng)時無解;
要使有5個不同的實(shí)數(shù)解,
若,則,此時方程有1解;
若,則有2個解,有1解,此時方程共有3個解;
若,則有1個解,有3解,有1解,
此時方程共有5個解;
若,則有1個解,有3解,有2解,
此時方程共有6個解;
若,則有1個解,有3解,有3解,
此時方程共有7個解;
若,則有3個解,有3個解,此時方程共有6個解;
若,則有3個解,此時方程共有3個解;
若,沒有對應(yīng)t,此時方程無解;
綜上,.
故選:B
9．答案：ACD
解析:由,則,,A,C對;
若,,,,此時,B錯;
由單調(diào)遞增,故,D對.
故選:ACD
10．答案：BCD
解析:由為奇函數(shù),A不符;
由定義域?yàn)镽,且,為偶函數(shù),
在區(qū)間上單調(diào)遞增,B符合;
由定義域?yàn)?,且,為偶函數(shù),
在區(qū)間上單調(diào)遞增,C符合;
由定義域?yàn)镽,且,為偶函數(shù),
在區(qū)間上單調(diào)遞增,D符合;
故選:BCD
11．答案：ABD
解析:由,A對;
由題設(shè),即,B對;
由,則,綜上,即關(guān)于對稱,C錯;
根據(jù)周期性,區(qū)間上單調(diào)性與區(qū)間上單調(diào)性相同,
又時,,即在上上遞減,又是偶函數(shù),
所以在區(qū)間上遞增,故在區(qū)間上單調(diào)遞增,D對.
故選:ABD
12．答案：BC
解析:區(qū)間上且,
故在有且僅有兩個不同的零點(diǎn),
所以,可得,B對;
當(dāng)時,此時只有一條對稱軸,
即在上可能只有一條對稱軸,A錯;
區(qū)間上,而,
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增,C對;
由,即,又,
所以或,可得或,D錯.
故選:BC
13．答案：
解析:
故答案為:.
14．答案：
解析:令,可得,
所以,即圖象恒過定點(diǎn).
故答案為:
15．答案：
解析:由題設(shè),
當(dāng)且僅當(dāng),即時第一個等號成立,
當(dāng)且僅當(dāng),即時第二個等號成立,
綜上,時目標(biāo)式有最小值為.
故答案為:
16．答案：
解析:由題意得,函數(shù)恒為R上的“k階局部奇函數(shù)”,
即在R上有解,則有,
即有解,
當(dāng)時,,滿足題意;
當(dāng)時,對于任意的實(shí)數(shù),,
變形可得,解可得:,
由,故.
故答案為:.
17．答案：（1）;
（2）在區(qū)間上遞增,證明見解析.
解析:（1）由題設(shè),則,故;
（2）在區(qū)間上遞增,證明如下:
令,則,
又,則,且,
所以,即在區(qū)間上遞增.
18．答案：（1）;
（2）.
解析:（1）由題設(shè),,
所以;
（2）由,若,則滿足題設(shè);
若,則,即;
綜上,.
19．答案：（1）;
（2）單調(diào)遞增區(qū)間為和.
解析:（1）由題設(shè),
所以的最小正周期;
（2）圖象向右平移個單位長度,得,
把橫坐標(biāo)縮小為原來的(縱坐標(biāo)不變),得,
在上,顯然或,
所以或,故在上的單調(diào)遞增區(qū)間為和.
20．答案：（1）③,理由見解析
（2）72萬元
解析:（1）對于模型①,,圖象為直線,故①錯誤,
由圖可知,該函數(shù)的增長速度較慢,
對于模型②,指數(shù)型的函數(shù)是爆炸型增長,故②錯誤,
對于模型③,對數(shù)型的函數(shù)增長速度較慢,符合題意,故選項(xiàng)模型③,
（2）由（1）可知,選項(xiàng)模型③,所求函數(shù)過點(diǎn),,
則,解得,,
故所求函數(shù)為,
,即,
,
,
至少應(yīng)完成銷售利潤72萬元.
21．答案：（1）
（2）利用見解析
解析:（1）已知是銳角,則,根據(jù)三角函數(shù)的定義,
得,,,
.
（2）能構(gòu)成三角形,理由如下:
由三角函數(shù)的定義得,,,,
因?yàn)?所以,
于是有,①
故,
又因?yàn)?所以,
,②
故
同理,,③,
由①,②,③可得,以AP,BQ,CR的長為三邊長能構(gòu)成三角形.
22．答案：（1）;
（2）答案見解析.
解析:（1）對,都有,只需,
由在上遞增,故,
由,在上有,
所以且,故有上恒成立,
所以,而,即.
（2）由題設(shè),
令,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立,
則,即,
所以且,
令,則問題等價于在上解的個數(shù),
又在上遞減,故,
當(dāng)或時,在上無解,即無零點(diǎn);
當(dāng)時,在上有,
所以,即,故有1個零點(diǎn);
當(dāng)時,在上有(負(fù)值舍),
又為偶函數(shù),此時有2個零點(diǎn);
綜上,或時,無零點(diǎn);時,有1個零點(diǎn);時,有2個零點(diǎn).

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