2021-2022學(xué)年湖南省永州市高二上學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單選題1．直線的斜率是（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】把直線方程化為斜截式即得．【詳解】直線方程的斜截式為，斜率為．故選：D．2．已知向量，，若，則（       ）A．1 B． C． D．2【答案】B【分析】由向量平行，先求出的值，再由模長(zhǎng)公式求解模長(zhǎng).【詳解】由，則，即 則，所以則故選：B3．在數(shù)列中，，，，則（       ）A．2 B． C． D．1【答案】A【分析】根據(jù)題中條件，逐項(xiàng)計(jì)算，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>，，，所以，因此.故選：A.4．已知雙曲線，其中一條漸近線與x軸的夾角為，則雙曲線的漸近線方程是（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知條件計(jì)算可得，即得到結(jié)果.【詳解】由雙曲線，可知漸近線方程為，又雙曲線的一條漸近線與x軸的夾角為，故，即漸近線方程為.故選：C.5．若為等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，，，則（       ）A．10 B．12 C．14 D．16【答案】B【分析】由等差數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】由等差數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)可得成等差數(shù)列，，即，得.故選：B.6．已知橢圓方程為，點(diǎn)在橢圓上，右焦點(diǎn)為F，過(guò)原點(diǎn)的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，若，則橢圓的方程為（       ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)橢圓的性質(zhì)可得，則橢圓方程可求.【詳解】由點(diǎn)在橢圓上得，由橢圓的對(duì)稱性可得，則，故橢圓方程為.故選：A.7．2021年是中國(guó)共產(chǎn)黨百年華誕，3月24日，中宣部發(fā)布中國(guó)共產(chǎn)黨成立100周年慶?；顒?dòng)標(biāo)識(shí)（如圖1）.其中“100”的兩個(gè)“0”設(shè)計(jì)為兩個(gè)半徑為R的相交大圓，分別內(nèi)含一個(gè)半徑為r的同心小圓，且同心小圓均與另一個(gè)大圓外切（如圖2）.已知，則由其中一個(gè)圓心向另一個(gè)小圓引的切線長(zhǎng)與兩大圓的公共弦長(zhǎng)之比為（       ）A． B．3 C． D．【答案】C【分析】作出圖形，進(jìn)而根據(jù)勾股定理并結(jié)合圓與圓的位置關(guān)系即可求得答案.【詳解】如示意圖，由題意，，則，又，，所以，所以.故選：C.8．長(zhǎng)方體中，，，，為側(cè)面內(nèi)（含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則四棱錐體積的最小值為（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】取的中點(diǎn)，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，分析可知點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)、為焦點(diǎn)的橢圓，求出橢圓的方程，可知當(dāng)點(diǎn)為橢圓與棱或的交點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到平面的距離取最小值，由此可求得四棱錐體積的最小值.【詳解】取的中點(diǎn)，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，其中，，則、，因?yàn)?/span>平面，平面，則，所以，，同理可得，所以，，所以點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)、為焦點(diǎn)，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓的一部分，則，，，所以，點(diǎn)的軌跡方程為，點(diǎn)到平面的距離為，當(dāng)點(diǎn)為曲線與棱或棱的交點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到平面的距離取最小值，將代入方程得，因此，四棱錐體積的最小值為.故選：D.二、多選題9．已知數(shù)列，，下列說(shuō)法正確的是（       ）A．若，，則為遞減數(shù)列B．若，，，則為等比數(shù)列C．若等比數(shù)列的公比，，則為遞減數(shù)列D．若的前n項(xiàng)和為，，則為等差數(shù)列【答案】AB【分析】A.計(jì)算可得答案；B.變形得可得答案；C.舉例求出可得答案；D. 求出可得答案.【詳解】A.當(dāng)時(shí)，，即，A正確；B.，，由已知得，則是以4為公比的等比數(shù)列，B正確；C.當(dāng)時(shí)，，，則，C錯(cuò)誤；D.由得，，D錯(cuò)誤.故選：AB.10．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P為C上任意一點(diǎn)，若點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（       ）A．的最小值為2B．拋物線C關(guān)于x軸對(duì)稱C．過(guò)點(diǎn)M與拋物線C有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有且只有一條D．點(diǎn)P到點(diǎn)M的距離與到焦點(diǎn)F距離之和的最小值為4【答案】CD【分析】設(shè)，求出的長(zhǎng)，由二次函數(shù)性質(zhì)得最小值判斷A，由拋物線的對(duì)稱性判斷B，由直線與拋物線的位置關(guān)系判斷C，結(jié)合拋物線的定義，把轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離后可求得題中距離和的最小值判斷D．【詳解】設(shè)，則，，又拋物線的焦點(diǎn)為，所以，時(shí)，等號(hào)成立．所以的最小值是1，A錯(cuò)；拋物線的焦點(diǎn)在軸上，拋物線關(guān)于軸對(duì)稱，B錯(cuò)；易知點(diǎn)在拋物線的內(nèi)部（含有焦點(diǎn)的部分），因此過(guò)與對(duì)稱軸平行的直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，其他直線與拋物線都有兩個(gè)公共點(diǎn)，C正確；記拋物線的準(zhǔn)線為，準(zhǔn)線方程為，過(guò)作于，過(guò)作于，則，，所以當(dāng)三點(diǎn)共線，即與重合時(shí)，最小，最小值為．D正確．故選：CD．11．在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)M，N分別是棱BC和中點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（       ）A．B．直線MN與平面平行C．點(diǎn)N到面的距離為D．平面AMN截正方體所得截面的面積為【答案】AC【分析】在正方體中建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行判斷；A,計(jì)算即可；B，求出平面的法向量為，計(jì)算即可；C，求平面的的法向量為，計(jì)算點(diǎn)N到面的距離即可；D，作出面AMN截正方體所得截面，求其面積即可.【詳解】如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)，則 ，對(duì)于A, ,則，故，即，故A正確；對(duì)于B, ,設(shè)平面的法向量為，,則 ，則可取，而，故直線MN與平面不平行，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，設(shè)平面的的法向量為，,則，可取，而，故點(diǎn)N到面的距離為 ，故C正確；對(duì)于D，平面AMN截正方體所得截面為如圖等腰梯形 ,則,高為 ，故其面積為 ，故D錯(cuò)誤,故選:AC.12．已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，，P為雙曲線C右支上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作兩漸近線的垂線，垂足分別為A，B.若圓與雙曲線C的漸近線相切，則（       ）A．的最小值為B．為定值C．雙曲線C的離心率D．當(dāng)點(diǎn)P異于頂點(diǎn)時(shí)，的內(nèi)切圓的圓心總在直線上【答案】BCD【分析】由圓心到漸近線的距離等于半徑求得，從而可得，得離心率，判斷C；設(shè)出的內(nèi)切圓與其三邊的切點(diǎn)，利用切線的性質(zhì)得出點(diǎn)橫坐標(biāo)，從而判斷D；，求出，代入點(diǎn)在雙曲線上的條件可判斷B；利用余弦定理求得，并由基本不等式求得最小值判斷A．【詳解】由題意雙曲線的漸近線方程是，圓的圓心是，半徑是1，則，（舍去），又，所以，離心率為，C正確；設(shè)的內(nèi)切圓與三邊切點(diǎn)分別為，如圖，由圓的切線性質(zhì)知，所以，因此內(nèi)心在直線，即直線上，D正確；設(shè)，則，，漸近線方程是，則，，為常數(shù)，B正確；由已知的方程是，傾斜角為，所以，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，A錯(cuò)誤．故選：BCD.故選：BCD．三、填空題13．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_____.【答案】【解析】【詳解】試題分析：根據(jù)拋物線方程求得p，則根據(jù)拋物線性質(zhì)可求得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)．解：拋物線方程中p=2，∴拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0）故填寫【解析】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．屬基礎(chǔ)題．14．直線與直線間的距離為___________.【答案】【分析】利用平行間的距離公式可求得結(jié)果.【詳解】由平行線間的距離公式可知，直線、間的距離為.故答案為：.15．已知橢圓方程為，左、右焦點(diǎn)分別為、，P為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，若的最大值為，則橢圓的離心率為___________.【答案】【分析】利用橢圓的定義結(jié)合余弦定理可求得，再利用公式可求得該橢圓的離心率的值.【詳解】由橢圓的定義可得，由余弦定理可得，因?yàn)?/span>的最大值為，則，可得，因此，該橢圓的離心率為.故答案為：.16．已知集合，，將中的所有元素按從大到小的順序排列構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，則數(shù)列的前n項(xiàng)和的最大值為___________.【答案】【分析】由題意設(shè)，，根據(jù)可得，從而，即可得出答案.【詳解】設(shè)，由，得 ，由，得中的元素滿足，即，可得 所以，由,所以 所以，要使得數(shù)列的前n項(xiàng)和的最大值，即求出數(shù)列中所以滿足的項(xiàng)的和即可.即，得，則 所以數(shù)列的前n項(xiàng)和的最大值為 故答案為：1472四、解答題17．在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，O為原點(diǎn)，已知點(diǎn)，，，設(shè)向量，.(1)求與夾角的余弦值；(2)若與互相垂直，求實(shí)數(shù)k的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由向量的坐標(biāo)先求出，，，由向量的夾角公式可得答案.（2）由題意可得，從而求出參數(shù)的值(1)由題，，，故，，，所以故與夾角余弦值為.(2)由與的互相垂直知，，， 即18．已知等比數(shù)列的公比，，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，若，求滿足條件的最大整數(shù)n.【答案】(1)(2)【分析】(1)由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，結(jié)合條件求出，得出公比，從而得出通項(xiàng)公式.(2)由（1）可得，再求出的前項(xiàng)和，從而可得出答案.(1)由題意可知，有，，得或∴或又，∴∴(2)，∴∴，又單調(diào)遞增, 所以滿足條件的的最大整數(shù)為19．如圖所示在多面體中，平面，四邊形是正方形，，，，.(1)求證：直線平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).【分析】（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、、為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可證明出直線平面；（2）利用空間向量法可求得平面與平面夾角的余弦值.(1)證明：因?yàn)?/span>平面，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、、為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、，所以，，，設(shè)平面的法向量為，依題意有，即，令，可得，，則，平面，因此，平面.(2)解：由題，，設(shè)平面的法向量為，依題意有，即，取，可得，，因此，平面與平面的夾角余弦值為.20．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，滿足，.(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）先將變?yōu)?/span>，然后等式兩邊同除即可得答案；（2）求出，再用錯(cuò)位相減求和．(1)證明：∵∴由已知易得，∴∴數(shù)列是首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列；(2)由（1）可知，∴∴①②①－②有∴21．如圖所示，第九屆亞洲機(jī)器人錦標(biāo)賽VEX中國(guó)選拔賽永州賽區(qū)中，主辦方設(shè)計(jì)了一個(gè)矩形坐標(biāo)場(chǎng)地ABCD（包含邊界和內(nèi)部，A為坐標(biāo)原點(diǎn)），AD長(zhǎng)為10米，在AB邊上距離A點(diǎn)4米的F處放置一只電子狗，在距離A點(diǎn)2米的E處放置一個(gè)機(jī)器人，機(jī)器人行走速度為v，電子狗行走速度為，若電子狗和機(jī)器人在場(chǎng)地內(nèi)沿直線方向同時(shí)到達(dá)場(chǎng)地內(nèi)某點(diǎn)M，那么電子狗將被機(jī)器人捕獲，點(diǎn)M叫成功點(diǎn).(1)求在這個(gè)矩形場(chǎng)地內(nèi)成功點(diǎn)M的軌跡方程；(2)P為矩形場(chǎng)地AD邊上的一動(dòng)點(diǎn)，若存在兩個(gè)成功點(diǎn)到直線FP的距離為，且直線FP與點(diǎn)M的軌跡沒(méi)有公共點(diǎn)，求P點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）分別以為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，由題意，利用兩點(diǎn)間的距離公式可得答案.(2)由題意可得點(diǎn)的軌跡所在圓的圓心到直線的距離，點(diǎn)的軌跡與軸的交點(diǎn)到直線的距離，從而可得答案.(1)分別以為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)成功點(diǎn)，可得即,化簡(jiǎn)得因?yàn)辄c(diǎn)需在矩形場(chǎng)地內(nèi)，所以故所求軌跡方程為 (2)設(shè)，直線方程為直線FP與點(diǎn)M的軌跡沒(méi)有公共點(diǎn),則圓心到直線的距離大于 依題意，動(dòng)點(diǎn)需滿足兩個(gè)條件：點(diǎn)的軌跡所在圓的圓心到直線的距離即,解得②點(diǎn)的軌跡與軸的交點(diǎn)到直線的距離即,解得綜上所述，P點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍是22．已知橢圓的上頂點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在橢圓上.(1)求橢圓C的方程；(2)點(diǎn)P，Q在橢圓C上，且，，點(diǎn)G為垂足，是否存在定圓恒經(jīng)過(guò)A，G兩點(diǎn)，若存在，求出圓的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)；(2)存在，定圓.【分析】（1）由題可得，，即求；（2）由題可設(shè)直線的方程，利用韋達(dá)定理及條件可得直線恒過(guò)定點(diǎn)，則以為直徑的圓適合題意，即得.(1)由題設(shè)知，橢圓上頂點(diǎn)為，且在直線上∴，即又點(diǎn)在橢圓上，∴解得，∴橢圓C的方程為；(2)設(shè)，，當(dāng)直線斜率存在，設(shè)直線為：聯(lián)立方程，化簡(jiǎn)得∴，，∵，∴又∵，∴將，代入，化簡(jiǎn)得，即則或，①當(dāng)時(shí)，直線恒過(guò)定點(diǎn)與點(diǎn)重合，不符題意.②當(dāng)時(shí)，直線恒過(guò)定點(diǎn)，記為點(diǎn)，∵，∴以為直徑，其中點(diǎn)為圓心的圓恒經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，則圓方程為：；當(dāng)直線斜率不存在，設(shè)方程為，，，且，，∴，解得或（舍去），，取，以為直徑作圓，圓方程為：恒經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，綜上所述，存在定圓恒經(jīng)過(guò)兩點(diǎn).【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問(wèn)的關(guān)鍵是證明直線恒過(guò)定點(diǎn)，結(jié)合條件可得以為直徑的圓，適合題意即得. 

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