一、單選題：本大題共8個小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 已知集合,,則（）
A. B.
C. D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】利用集合的補(bǔ)集運(yùn)算計算即可.
【詳解】因為集合，
所以.
故選:A.
2. 函數(shù)的零點所在的區(qū)間是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先判斷單調(diào)性,再根據(jù)零點存在定理將端點值代入,即可判斷零點所在區(qū)間.
【詳解】解:由題知,
由于均為單調(diào)遞增,
所以隨著的增大也增大,故在單調(diào)遞增,
,
根據(jù)零點存在定理,
零點在區(qū)間內(nèi).
故選:C
3. “”是“”的 （ ）
A. 充要條件B. 充分不必要條件C. 必要不充分條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【詳解】試題分析：，故正確答案是充分不必要條件，故選B.
考點：充分必要條件.
4. 已知角的頂點為坐標(biāo)原點，始邊為軸的正半軸，若角終邊有一點，且，則（）
A. 1B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)正弦定義即可得到方程，解出即可.
【詳解】由題意得，解得，
故選：B.
5. 已知正數(shù)滿足，則的最小值為（）
A. 5B. C. 4D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先乘以，然后根據(jù)基本不等式求解；
【詳解】因為，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號,
故選：．
6. 已知不等式的解集為或，則下列結(jié)論錯誤的是（）
A. B.
C. D. 的解集為或
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)二次不等式的解集可得對應(yīng)二次函數(shù)的開口，即可判斷A；由已知可得，可判斷BC；根據(jù)二次不等式可得對應(yīng)方程的根，利用韋達(dá)定理可解的解集，判斷D.
【詳解】不等式的解集為或，則函數(shù)開口向下，故，A正確；
不等式的解集為或，則對于函數(shù)，有，，B，C正確；
不等式的解集為或，即方程的解為，
則，且，
即為，
，解得，故D錯誤.
故選：D.
7. 已知是上的單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)的解析式判斷出在上為減函數(shù)，從而得，求解即可．
【詳解】解：因為當(dāng)時，為減函數(shù)，
又因為在上為單調(diào)函數(shù)，
所以只能為單調(diào)遞減函數(shù)，
當(dāng)時，一次函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時，指數(shù)函數(shù)，
所以將代入得：，
又因為在上為單調(diào)遞減函數(shù)，
所以，
解得：，
故選：D．
8. 設(shè)是定義在上的偶函數(shù)，對，都有，且當(dāng)時，，若在區(qū)間內(nèi)關(guān)于的方程恰好有三個不同的實數(shù)根，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用已知及奇偶性求的周期和解析式，根據(jù)指對數(shù)性質(zhì)畫出與在內(nèi)的圖像，由交點情況確定參數(shù)范圍.
【詳解】∵對都有，
∴，即的周期為4，
∵當(dāng)時，，
∴當(dāng)時，則，
∵是偶函數(shù)，
∴當(dāng)時，
∵，
∴，
∴作出在區(qū)間內(nèi)的圖像如下：
∵在內(nèi)關(guān)于的方程恰好有三個不同的實數(shù)根，
∴與在內(nèi)有三個不同的交點，
∴只需滿足在的下方，過或在其上方，即，
∴.
故選：D
二、多選題：本大題共4 小題，每小題5 分，共 20 分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．
9. 已知，則使函數(shù)的值域為R，且為奇函數(shù)的a的值為（）
A. 1B. C. 3D. 2
【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)分析可得.
【詳解】因為的值域為R，所以，
又因為為奇函數(shù)，所以.
故選：AC
10. 設(shè)a，bR，則下列結(jié)論正確的是（）
A. 若a＞b＞0，則B. 若a＜b＜0，則
C. 若a＋b＝2，則≥4D. 若，則a＞b
【答案】AC
【解析】
【分析】
由不等式的性質(zhì)可得A正確，通過舉反例可得BD錯誤，利用基本不等式可得C正確.
【詳解】選項A顯然正確；
選項B，a＝﹣2，b＝﹣1代入即可驗證，不等式不成立，故B錯誤；
選項C，，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝1時，取“＝”，故C正確；
選項D，a＝﹣1，b＝滿足，不符合a＞b，故D錯誤.
故選：AC
11. 下列說法正確的是（）
A. 命題“，”的否定是“，”
B. 函數(shù)與的圖象關(guān)于對稱
C. 為奇函數(shù)
D. 函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為，
【答案】BCD
【解析】
【分析】對于A，根據(jù)命題與命題的否定直接判斷即可；對于B，根據(jù)互為反函數(shù)的兩個函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱判斷即可；對于C，根據(jù)奇函數(shù)定義判斷即可；對于D，根據(jù)二次函數(shù)單調(diào)性判斷即可；
【詳解】因為命題“，”的否定是“，”，故A錯誤；
函數(shù)與互為反函數(shù)，
故其圖象關(guān)于對稱，故B正確；
因為，可求得定義域為關(guān)于原點對稱，
又，故函數(shù)為奇函數(shù)，故C正確；
因為，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，和，故D正確．
故選：BCD．
12. 若函數(shù)同時滿足：（1）對于定義域內(nèi)的任意x，有；（2）對于定義域內(nèi)的任意，當(dāng)時，有 ，則稱函數(shù)為“理想函數(shù)”．給出下列四個函數(shù)是“理想函數(shù)”的是（ ）
AB.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根據(jù)“理想函數(shù)”的定義可判斷出函數(shù)應(yīng)具有的性質(zhì)，即為奇函數(shù)且在定義域上單調(diào)遞減，由此一一判斷各選項中的函數(shù)是否具有這兩個性質(zhì)，即可得答案.
【詳解】由題意知對于定義域內(nèi)的任意x，有，則為奇函數(shù)；
對于定義域內(nèi)的任意，當(dāng)時，有，為定義域內(nèi)的減函數(shù)；
對于A，的定義域為R，函數(shù)為偶函數(shù)，不符合題意；
對于B，的定義域為R，函數(shù)為奇函數(shù)，在R上單調(diào)遞減，符合題意；
對于C，定義域為，
在上均單調(diào)遞增，
函數(shù)圖象在處是不連續(xù)的，故在定義域上函數(shù)不是減函數(shù)，不符合題意；
對于D，，作出其圖象如圖示：
可知該函數(shù)在定義域上為奇函數(shù)，且單調(diào)遞減，符合題意，
故選：BD
第Ⅱ卷非選擇題（共 90 分）
三、填空題：本大題共 4 小題，每小題5 分，共 20 分．
13. _____________．
【答案】
【解析】
【分析】由于，進(jìn)而結(jié)合誘導(dǎo)公式求解即可.
【詳解】由誘導(dǎo)公式可得．
故答案為：.
14. 當(dāng)且時，函數(shù)的圖象一定經(jīng)過定點___________
【答案】
【解析】
【分析】令可求出定點.
【詳解】令，可得當(dāng)時，，所以圖象一定經(jīng)過定點.
故答案為：.
15. 折扇又名“撒扇”“紙扇”，是一種用竹木或象牙做扇骨，?紙或綾絹做扇面的能折疊的扇子，如圖1．其平面圖如圖2的扇形，其中，，則扇面（曲邊四邊形ABDC）的面積是______．
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)題意和扇形的面積公式分別求出扇形AOB、COD的面積即可.
【詳解】由題意可得，扇形AOB的面積是，
扇形COD的面積是．
則扇面（曲邊四邊形ABDC）的面積是．
故答案為：
16. 函數(shù)的圖象如圖，則的值為______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)圖象可確定最小正周期，由此可得，由此可求得結(jié)果.
【詳解】由圖象可知：最小正周期，，
.
故答案為：.
四、解答題：本大題共6 小題，共70 分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17. 計算下列各式的值：
（1）；
（2）.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡可得結(jié)果；
（2）利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡可得結(jié)果.
【小問1詳解】
解：原式.
【小問2詳解】
解：原式.
18. 集合.
（1）當(dāng)時，求；
（2）問題：已知______，求的取值范圍.
從下面給出的三個條件中任選一個，補(bǔ)充到上面的問題中，并進(jìn)行解答.（若選擇多個方案分別解答，則按第一個解答記分）
①；②；③.
【答案】（1）
（2）答案見解析
【解析】
【分析】（1）先解得，再根據(jù)集合的并集計算即可；（2）分，兩種情況解決即可.
【小問1詳解】
由題知，，
因為，解得，
所以，
當(dāng)時，，
所以.
【小問2詳解】
選①或②，由題知，
由（1）得，，
由題得，，
當(dāng)時，，解得，
當(dāng)時，，解得，
綜上，或.
選③，
當(dāng)時，，解得，
當(dāng)時，，或，解得，或，
綜上，或.
19. 已知函數(shù)（為常數(shù)）.
（1）求的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若在上有最小值1，求的值.
【答案】（1）最小正周期，單調(diào)增區(qū)間：（2）
【解析】
【分析】（1）利用二倍角正弦公式和余弦公式、以及輔助角公式化簡，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得的單調(diào)遞增區(qū)間，利用周期公式可得最小正周期；
（2）根據(jù)上，求出的范圍，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得最小值，即可求解的值．
詳解】解：已知函數(shù)，
則，
化簡可得：，
（1）最小正周期為：，
由，，
解得：，，
單調(diào)增區(qū)間，；
（2）由題意：時，，
，
當(dāng)時，最小值為，
解得：，
故在上有最小值1，的值為2．
【點睛】本題考查根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)求出函數(shù)的單調(diào)性和最值，涉及利用二倍角正弦公式和余弦公式、以及輔助角公式進(jìn)行化簡，考查運(yùn)算能力．
20. 2013年9月7日，習(xí)近平總書記在哈薩克斯坦納扎爾巴耶夫大學(xué)發(fā)表演講并回答學(xué)生們提出問題，在談到環(huán)境保護(hù)問題時，他指出：“我們既要綠水青山，也要金山銀山．寧要綠水青山，不要金山銀山，而且綠水青山就是金山銀山．”“綠水青山就是金山銀山”這一科學(xué)論斷，成為樹立生態(tài)文明觀、引領(lǐng)中國走向綠色發(fā)展之路的理論之基．新能源汽車環(huán)保、節(jié)能，以電代油，減少排放，既符合我國的國情，也代表了世界汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展的方向．某新能源公司投資280萬元用于新能源汽車充電樁項目，n（且）年內(nèi)的總維修保養(yǎng)費用為萬元，該項目每年可給公司帶來200萬元的收入.設(shè)到第n（且）年年底，該項目的純利潤（純利潤＝累計收入－累計維修保養(yǎng)費－投資成本）為萬元．已知到第3年年底，該項目的純利潤為128萬元．
（1）求實數(shù)k的值．并求該項目到第幾年年底純利潤第一次能達(dá)到232萬元；
（2）到第幾年年底，該項目年平均利潤（平均利潤＝純利潤÷年數(shù)）最大？并求出最大值．
【答案】（1）8，第4年；
（2）到第6年年底，該項目年平均利潤最大，最大為萬元.
【解析】
【分析】（1）由題可得，再結(jié)合條件即得；
（2）由題可求年平均利潤為，然后利用對勾函數(shù)的性質(zhì)即得.
【小問1詳解】
依題意可得，，
∵已知，
∴，
∴（且）．
令，解得．
∵，
∴該項目到第4年年底純利潤第一次能達(dá)到232萬元．
【小問2詳解】
年平均利潤為，
令（且），
則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又∵，，
∴．
∴到第6年年底，該項目年平均利潤最大，最大為萬元．
21. 如圖，為半圓的直徑，，為圓心，是半圓上的一點，，將射線繞逆時針旋轉(zhuǎn)到，過分別作于，于.
（1）建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，用的三角函數(shù)表示兩點的坐標(biāo)；
（2）求四邊形的面積的最大值.
【答案】（1）建系答案見解析，點坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為；（2）最大值為.
【解析】
【分析】（1）如圖，以所在直線為軸，為原點建立直角坐標(biāo)系，利用三角函數(shù)的定義及誘導(dǎo)公式即可表示兩點的坐標(biāo)；
（2）把四邊形的面積表示出的函數(shù)，利用三角函數(shù)求最值即可.
【詳解】解：（1）如圖，以所在直線為軸，為原點建立直角坐標(biāo)系，
，圓的半徑為，
點坐標(biāo)為，
點的坐標(biāo)為，
坐標(biāo)為.
（2）四邊形的面積
，
當(dāng)時，即時，，
四邊形的面積的最大值為.
22. 若對定義域內(nèi)任意，都有，則稱函數(shù)為“隔斷”增函數(shù)，稱隔斷距離.
（1）若是“隔斷”增函數(shù)，求隔斷距離的取值范圍；
（2）若，其中，且為“隔斷”增函數(shù)，隔斷距離為2，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為一元二次不等式恒成立問題，利用根的判別式進(jìn)行求解；（2）根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為，分與討論得到答案.
【小問1詳解】
，因為是“隔斷”增函數(shù)，
所以恒成立，由，所以；
所以隔斷距離的取值范圍是；
【小問2詳解】
因為，其中，且為“隔斷”增函數(shù)，隔斷距離為2，即時，
恒成立，所以，
當(dāng)時，即，
當(dāng)時，，所以，

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