考生在答題前請(qǐng)認(rèn)真閱讀本注意事項(xiàng)及各題答題要求
1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上．
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上．寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．已知集合，則（ ）
A．B．C．D．
2．已知命題，則：（ ）
A．B．C．D．
3．函數(shù)在區(qū)間上（ ）
A．單調(diào)遞增B．單調(diào)遞減C．先增后減D．先減后增
4．已知函數(shù)，則（ ）
A．B．
C．D．
5．已知，則（ ）
A．B．6C．8D．9
6．設(shè)，函數(shù)，則“關(guān)于x的不等式的解集為”是“恒成立”的（ ）條件
A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要D．不充分不必要
7．已知直線與曲線相切，則的最大值為（ ）
A．B．2C．D．5
8．若函數(shù)的3個(gè)零點(diǎn)由小到大排列成等差數(shù)列，則（ ）
A．2B．C．D．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9．下列曲線平移后可得到曲線的是（ ）
A．B．C．D．
10．一般認(rèn)為，教室的窗戶面積應(yīng)小于地面面積，但窗戶面積與地面面積之比應(yīng)不小于15%，且這個(gè)比值越大，通風(fēng)效果越好．（ ）
A．若教室的窗戶面積與地面面積之和為，則窗戶面積至少應(yīng)該為
B．若窗戶面積和地面面積都增加原來(lái)的10%，則教室通風(fēng)效果不變
C．若窗戶面積和地面面積都增加相同的面積，則教室的通風(fēng)效果變好
D．若窗戶面積第一次增加了m%，第二次增加了,地面面積兩次都增加了，則教室的通風(fēng)效果變差
11．設(shè)函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且不恒為0，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若具有奇偶性，則滿足的奇函數(shù)與偶函數(shù)中恰有一個(gè)為常函數(shù)，其函數(shù)值為0
B．若不具有奇偶性，則滿足奇函數(shù)與偶函數(shù)不存在
C．若為奇函數(shù)，則滿足的奇函數(shù)與偶函數(shù)存在無(wú)數(shù)對(duì)
D．若為偶函數(shù)，則滿足的奇函數(shù)與偶函數(shù)存在無(wú)數(shù)對(duì)
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．設(shè)函數(shù)的圖象上任意兩點(diǎn)處的切線都不相同，則滿足題設(shè)的一個(gè) ．
13．已知矩形的周長(zhǎng)為24，將沿向折疊，AB折過(guò)去后與DC交于點(diǎn)P．設(shè)，則 （用x表示），當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)， ．
14．已知a為常數(shù)，且．定義在上的函數(shù)滿足：，且當(dāng)時(shí)，，則 ．
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
15．如圖，在三棱柱中，平面，E，F(xiàn)，G分別是棱AB，BC，上的動(dòng)點(diǎn)，且．

(1)求證：；
(2)若平面與平面的夾角的余弦值為，求．
16．某學(xué)習(xí)小組研究得到以下兩個(gè)公式：①；②．
(1)請(qǐng)你在①和②中任選一個(gè)進(jìn)行證明；
(2)在中，已知，求的面積．
17．分別過(guò)橢圓的左、右焦點(diǎn)作兩條平行直線，與C在x軸上方的曲線分別交于點(diǎn)．
(1)當(dāng)P為C的上頂點(diǎn)時(shí)，求直線PQ的斜率；
(2)求四邊形的面積的最大值．
18．已知紅方、藍(lán)方發(fā)射炮彈攻擊對(duì)方目標(biāo)擊中的概率均為，紅方、藍(lán)方空中攔截對(duì)方炮彈成功的概率分別為.現(xiàn)紅方、藍(lán)方進(jìn)行模擬對(duì)抗訓(xùn)練，每次由一方先發(fā)射一枚炮彈攻擊對(duì)方目標(biāo)，另一方再進(jìn)行空中攔截，輪流進(jìn)行，各攻擊對(duì)方目標(biāo)一次為1輪對(duì)抗.經(jīng)過(guò)數(shù)輪對(duì)抗后，當(dāng)一方比另一方多擊中對(duì)方目標(biāo)兩次時(shí)，訓(xùn)練結(jié)束.假定紅方、藍(lán)方互不影響，各輪結(jié)果也互不影響.記在1輪對(duì)抗中，紅方擊中藍(lán)方目標(biāo)為事件A，藍(lán)方擊中紅方目標(biāo)為事件B.求：
(1)概率；
(2)經(jīng)過(guò)1輪對(duì)抗，紅方與藍(lán)方擊中對(duì)方目標(biāo)次數(shù)之差X的概率分布及數(shù)學(xué)期望；
(3)在4輪對(duì)抗后訓(xùn)練結(jié)束的條件下，紅方比藍(lán)方多擊中對(duì)方目標(biāo)兩次的概率．
19．（1）函數(shù)與的圖象有怎樣的關(guān)系?請(qǐng)證明；
（2）是否存在正數(shù)c，對(duì)任意的，總有？若存在，求c的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）已知常數(shù)，證明：當(dāng)x足夠大時(shí)，總有．
1．B
【分析】解一元二次不等式求出集合A，然后由交集運(yùn)算可得.
【詳解】解不等式，得，
所以.
故選：B
2．C
【分析】利用存在題詞命題的否定是全稱(chēng)量詞命題，直接寫(xiě)出結(jié)論.
【詳解】命題是存在量詞命題，其否定是全稱(chēng)量詞命題，
所以.
故選：C
3．D
【分析】利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解即可.
【詳解】，即，
設(shè)，則單調(diào)遞減，
且
故存在唯一一個(gè)使
故在上，，此時(shí)單調(diào)遞減；
在上，，此時(shí)單調(diào)遞增；
故在區(qū)間上先減后增.
故選：D
4．C
【分析】根據(jù)解析式代入驗(yàn)證即可.
【詳解】因?yàn)?，而?br>所以f1+x=f1?x.
故選：C
5．D
【分析】根據(jù)題意，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，求得，結(jié)合指數(shù)冪與對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，即可求解.
【詳解】由，可得，則，
則.
故選：D.
6．A
【分析】由二次函數(shù)的性質(zhì)確定不等式和函數(shù)成立的條件，再由充分必要條件得出結(jié)果即可；
【詳解】因?yàn)殛P(guān)于x的不等式的解集為，則，
可得恒成立，故充分性成立；
取，滿足恒成立，
但的解集為，故必要性不成立；
所以“關(guān)于x的不等式的解集為”是“恒成立”的充分不必要條件.
故選：A.
7．C
【分析】設(shè)切點(diǎn)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為，由題意列出的關(guān)系，進(jìn)而得到，再由二次函數(shù)求最值即可.
【詳解】設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為，求導(dǎo)： 得，
由題意可得解得：，
所以，
所以時(shí)，的最大值為.
故選:C
8．D
【分析】將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為和的交點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象以及一元二次方程的根可得，，即可利用等差中項(xiàng)求解.
【詳解】令可得，
在同一直角坐系中作出和的圖象如下：
要使有3個(gè)零點(diǎn)，則，
由圖可知：有一個(gè)零點(diǎn)，有2個(gè)零點(diǎn)，且，
即有一個(gè)零點(diǎn)，有2個(gè)零點(diǎn)，且
故，，
由于，故，
化簡(jiǎn)可得，平方解得，
由于，故，
故選：D
方法點(diǎn)睛：判斷函數(shù)y=fx零點(diǎn)個(gè)數(shù)的常用方法：(1) 直接法： 令則方程實(shí)根的個(gè)數(shù)就是函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
(2) 零點(diǎn)存在性定理法：判斷函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且再結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱(chēng)性) 可確定函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；
(3) 數(shù)形結(jié)合法：轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的圖象，其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，在一個(gè)區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)至多只有一個(gè)零點(diǎn)，在確定函數(shù)零點(diǎn)的唯一性時(shí)往往要利用函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間主要利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理，有時(shí)可結(jié)合函數(shù)的圖象輔助解題.
9．ABD
【分析】根據(jù)圖像的平移變換可判斷ABD，根據(jù)圖像的伸縮變換可判斷C.
【詳解】對(duì)于A，曲線向右平移3個(gè)單位可得到曲線，故A正確；
對(duì)于B，曲線向上平移3個(gè)單位可得到曲線，故B正確；
對(duì)于C，曲線橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的3倍可得到曲線，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，曲線，向左平移個(gè)單位可得到曲線，故D正確；
故選：ABD
10．BC
【分析】設(shè)該公寓窗戶面積為x，依題意列出不等式組求解可判斷A；記窗戶面積為a和地板面積為b，同時(shí)根據(jù)B，C，D設(shè)增加的面積，表示出增加面積前后的比值作差比較即可判斷B，C，D.
【詳解】對(duì)于A，設(shè)該公寓窗戶面積為，則地板面積為，
依題意有，解得，
所以，這所公寓的窗戶面積至少為，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，記窗戶面積為a和地板面積為b，同時(shí)窗戶增加的面積為，同時(shí)地板增加的面積為，
由題可知增加面積前后窗戶面積與地板面積的比分別為，
所以公寓采光效果不變，故B正確；
對(duì)于C，記窗戶面積為a和地板面積為b，同時(shí)增加的面積為c.
由題可知，，增加面積前后窗戶面積與地板面積的比分別為，
因?yàn)?，且?br>所以，即,
所以，同時(shí)增加相同的窗戶面積和地板面積，公寓的采光效果變好了， 故C正確；
對(duì)于D，記窗戶面積為a和地板面積為b，則窗戶增加后的面積為,地板增加后的面積為，
由題可知增加面積前后窗戶面積與地板面積的比分別為，
因?yàn)椋?br>又因?yàn)椋裕?br>因?yàn)?，所?
當(dāng)時(shí)，采光效果不變，
所以無(wú)法判斷公寓的采光效果是否變差了， 故D錯(cuò)誤.
故選：BC.
11．ACD
【分析】利用奇偶性的定義即可判斷A選項(xiàng)；通過(guò)舉例，即可判斷B選項(xiàng)；通過(guò)構(gòu)造，即可判斷C選項(xiàng)；通過(guò)構(gòu)造即可判斷D選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A，，則，
當(dāng)為奇函數(shù)時(shí)，則，即；
當(dāng)為偶函數(shù)時(shí)，則，即，
即滿足的奇函數(shù)與偶函數(shù)中恰有一個(gè)為常函數(shù)，其函數(shù)值為0，故A正確；
對(duì)于B，當(dāng)，時(shí)，不具有奇偶性，
滿足的奇函數(shù)與偶函數(shù)存在，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，為奇函數(shù)時(shí)，令奇函數(shù)，偶函數(shù)，則，
，故存在無(wú)數(shù)對(duì)奇函數(shù)與偶函數(shù)，滿足.故C正確；
對(duì)于D，為偶函數(shù)，令奇函數(shù)，偶函數(shù)，則，
，故存在無(wú)數(shù)對(duì)奇函數(shù)與偶函數(shù)，滿足.故D正確.
故選：ACD
12．（答案不唯一）
【分析】只需要函數(shù)在不同點(diǎn)處的切線斜率不同即可.
【詳解】設(shè)，則.
在上任取一點(diǎn)，
則函數(shù)在該點(diǎn)處的切線方程為：即.
只要不同，切線方程就不同.
故（答案不唯一）
13． .
【分析】結(jié)合圖形，折疊后易得，設(shè)，利用，即可求得的表示式；依題意，求出的面積表示式，利用基本不等式即可求得面積最大值，從而得到此時(shí)的值.
【詳解】

如圖2是圖1沿著折疊后的圖形，因，則，
因矩形的周長(zhǎng)為24，則，對(duì)折后,易得,
設(shè)，則,在中，由勾股定理，，
整理得，即
的面積為，
因，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，
此時(shí)時(shí)，.
故；.
14．1
【分析】根據(jù)題意，先求出，再賦值得到，將轉(zhuǎn)化為，運(yùn)用不等式傳遞性，得到.式子恒成立.只能.解方程即可.
【詳解】時(shí)，，則.
．定義在R上的函數(shù)滿足：．
令，得到，即.
由于，則.
則要使得式子恒成立，則，解得或或者.
由于.則.
故1．
15．(1)證明過(guò)程見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）證明線線垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)，計(jì)算出，得到垂直關(guān)系；
（2）在（1）的基礎(chǔ)上，得到，故，從而得到線面垂直，故為平面的一個(gè)法向量，結(jié)合平面的法向量，利用向量夾角余弦公式得到方程，求出，從而求出.
【詳解】（1）因?yàn)槠矫?，平面?br>所以，，
又，故兩兩垂直，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
因?yàn)?，，設(shè)，，
所以，
則，
則，
故；

（2），則，
則，
則，
又，平面，
所以平面，
故為平面的一個(gè)法向量，
又平面的法向量為，
則平面與平面的夾角的余弦值為
，
又平面與平面的夾角的余弦值為，
所以，解得，故.
16．(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）若選①，利用兩角和差的正弦公式及同角之間的關(guān)系即可證明；
若選②，利用兩角和差的正弦公式及同角之間的關(guān)系即可證明；
（2）利用兩角和差的正弦公式及正弦定理可得，再利用面積公式求解.
【詳解】（1）若選①，證明如下：
.
若選②，證明如下：
.
（2）由已知，
可得，
即，
即，
由正弦定理可得，
又，所以，
所以的面積.
17．(1)
(2)3
【分析】（1）結(jié)合圖形，易得，求得的斜率，由直線與橢圓的方程聯(lián)立，求得點(diǎn)，即得直線PQ的斜率；
（2）結(jié)合圖形，由對(duì)稱(chēng)性可知，四邊形是平行四邊形，四邊形的面積是面積的一半，設(shè)直線的方程，并與橢圓方程聯(lián)立，寫(xiě)出韋達(dá)定理，求出和點(diǎn)到直線的距離，得到四邊形的面積函數(shù)式，利用換元和對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性即可求得面積的最大值.
【詳解】（1）由可知,橢圓上頂點(diǎn)為，即,
直線的斜率為，則直線的方程為：，
將其代入整理得，，解得，或，
因點(diǎn)在x軸上方,故得點(diǎn)，于是直線PQ的斜率為：；
（2）
如圖，設(shè)過(guò)點(diǎn)的兩條平行線分別交橢圓于點(diǎn)和，
利用對(duì)稱(chēng)性可知，四邊形是平行四邊形，且四邊形的面積是面積的一半.
顯然這兩條平行線的斜率不可能是0（否則不能構(gòu)成構(gòu)成四邊形），可設(shè)直線的方程為
代入，整理得：，顯然，
設(shè)，則，
于是，
，
點(diǎn)到直線的距離為，
則四邊形的面積為，
令，則，且，代入得，，
因函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，當(dāng)時(shí)，取得最小值為4，此時(shí).
18．(1)，
(2)分布列見(jiàn)解析，
(3)
【分析】（1）根據(jù)概率的乘法公式即可求出；
（2）求出的可能取值范圍及對(duì)應(yīng)的概率，求出；
（3）分藍(lán)方擊中、和次三種情況討論，結(jié)合條件概率即可求解.
【詳解】（1），；
（2）的可能取值為，
因?yàn)?，?br>，
所以分布列為：
所以；
（3）先考慮四輪后對(duì)抗結(jié)束的概率：
若紅方多擊中兩次，則分為：①若藍(lán)方擊中次，則紅方比藍(lán)方多擊中對(duì)方目標(biāo)兩次的概率為，
②若藍(lán)方擊中次，則紅方比藍(lán)方多擊中對(duì)方目標(biāo)兩次的概率為，
③若藍(lán)方擊中次，則紅方比藍(lán)方多擊中對(duì)方目標(biāo)兩次的概率為，
所以四輪后對(duì)抗結(jié)束且紅方比藍(lán)方多擊中對(duì)方目標(biāo)兩次的概率為；
若藍(lán)方多擊中兩次，則分為：①若紅方擊中次，則藍(lán)方比紅方多擊中對(duì)方目標(biāo)兩次的概率為，
②若紅方擊中次，則藍(lán)方比紅方多擊中對(duì)方目標(biāo)兩次的概率為，
③若紅方擊中次，則藍(lán)方比紅方多擊中對(duì)方目標(biāo)兩次的概率為，
所以四輪后對(duì)抗結(jié)束且藍(lán)方比紅方多擊中對(duì)方目標(biāo)兩次的概率為；
所以在4輪對(duì)抗后訓(xùn)練結(jié)束的概率為，
所以在4輪對(duì)抗后訓(xùn)練結(jié)束的條件下，紅方比藍(lán)方多擊中對(duì)方目標(biāo)兩次的概率為
.
19．（1）關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，證明見(jiàn)解析；（2）存在，；（3）證明見(jiàn)解析.
【分析】（1）利用互為反函數(shù)的性質(zhì)判斷并證明.
（2）由零點(diǎn)，可得，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明時(shí)不等式恒成立.
（3）根據(jù)給定條件，等價(jià)變形不等式，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理推理即得.
【詳解】（1）函數(shù)與互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，
令為函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)，即，則，因此點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，
反之亦然，而點(diǎn)與關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，
所以函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng).
（2）存在正數(shù)，對(duì)任意的，恒成立，
令，顯然，
根據(jù)指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的增長(zhǎng)特征，在上恒有，
當(dāng)時(shí)，求導(dǎo)得，令，
求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
因此，；
令，求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，，
所以存在正數(shù)c，對(duì)任意的，總有，.
（3），不妨令，則不等式，
令，求導(dǎo)得，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，
函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，，
當(dāng)時(shí)，由，得是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，
又，而趨近于正無(wú)窮大時(shí)，趨近于，
因此存在大于的正數(shù)，使得，當(dāng)時(shí)，，
所以對(duì)于，存在正數(shù)，使得，恒有；
，不妨令，，不等式，
令，則函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，，
令，求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，值域?yàn)椋?br>存在，使得，當(dāng)，即時(shí)，，恒成立，
當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，
對(duì)于，恒成立，因此對(duì)于，存在正數(shù)，使得，恒成立，
取，對(duì)于任意的，成立，
所以當(dāng)x足夠大時(shí)，總有.
思路點(diǎn)睛：函數(shù)不等式證明問(wèn)題，將所證不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化，構(gòu)造新函數(shù)，再借助函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問(wèn)題處理.
2024-2025學(xué)年江蘇省南通市海安市高三上學(xué)期開(kāi)學(xué)摸底考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（二）
一、單選題
1．設(shè)，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
2．曲線在點(diǎn)處的切線方程為（ ）
A．B．C．D．
3．設(shè)集合，集合，若中含有一個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
4．已知向量，若，則實(shí)數(shù)（ ）
A．2B．1C．0D．
5．已知函數(shù)，滿足為正實(shí)數(shù)，則的最小值為（ ）
A．1B．2C．4D．
6．已知定義在R上的函數(shù)滿足，且f?1=2，則（ ）
A．B．?2C．4D．2
7．若，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
8．滿足的互不相似的的個(gè)數(shù)為（ ）
A．0B．1個(gè)C．2個(gè)D．前三個(gè)答案都不對(duì)
二、多選題
9．已知、是平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下列四組向量中，能作為基底的一組是（ ）
A．和B．和C．和D．和
10．將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，若這兩函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸都相同，則下列結(jié)論一定正確的是（ ）
A．B．
C．與的零點(diǎn)相同D．與的單調(diào)遞增區(qū)間相同
11．已知函數(shù)，設(shè)為實(shí)數(shù)，且．下列結(jié)論正確的是（ ）
A．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)
B．不等式的解集為
C．若，則
D．若，則
三、填空題
12．已知函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，，且，則不等式的解集為 .
13．已知矩形滿足，若分別是線段上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為 .
(*）14.設(shè)三角形的外心為，重心為，且滿足，則的最大值為 .
四、解答題
15．已知向量，設(shè)函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域；
(2)已知在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若 ，且，求面積的最大值.
16．已知函數(shù)
(1)求函數(shù)的值域；
(2)若時(shí)，恒有，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
17．記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．
(1)求；
(2)若是上的一點(diǎn)，且，求的最小值．
18．已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
（1）設(shè)，恒成立，求的最大值；
（2）設(shè)，討論函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
（參考數(shù)據(jù)：）
高三數(shù)學(xué)答案
一、單選題
1．設(shè)，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【正確答案】C
【分析】判斷兩個(gè)等式的、關(guān)系，利用充分必要條件判斷即可.
【詳解】，由等價(jià)于；若等價(jià)于；
所以，則“”是“”的充分必要條件.
故選：C
2．曲線在點(diǎn)處的切線方程為（ ）
A．B．C．D．
【正確答案】C
【分析】用導(dǎo)數(shù)幾何意義去求切線方程即可.
【詳解】由，得，
所以該曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，
故所求切線方程為，
即．
故選：C.
3．設(shè)集合，集合，若中含有一個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【正確答案】A
【分析】求出中不等式的解集確定出，由與交集中恰有一個(gè)整數(shù)，得到且，解不等式即得解．
【詳解】由解得或，故或，
因?yàn)榈拈_(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為，，
根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知：要使中含有一個(gè)整數(shù)，則這個(gè)整數(shù)解為2，
所以且，即，解得：．
故選：A．
4．已知向量，若，則實(shí)數(shù)（ ）
A．2B．1C．0D．
【正確答案】D
【分析】借助向量坐標(biāo)運(yùn)算與向量平行的坐標(biāo)表示計(jì)算即可得.
【詳解】，，
由，則有，
解得.
故選：D.
5．已知函數(shù)，滿足為正實(shí)數(shù)，則的最小值為（ ）
A．1B．2C．4D．
【正確答案】B
【分析】由已知構(gòu)造函數(shù)，探討函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，進(jìn)而求得，再利用基本不等式求解即得.
【詳解】令，由，得定義域?yàn)椋?br>，即函數(shù)是奇函數(shù)，
而，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)是增函數(shù)，又是增函數(shù)，于是函數(shù)在上單調(diào)遞減，
由奇函數(shù)的性質(zhì)知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，由，
得，即，
所以，則，即，又，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為2.
故選：B.
6．已知定義在R上的函數(shù)滿足，且f?1=2，則（ ）
A．B．?2C．4D．2
【正確答案】B
【分析】根據(jù)題意，求得且，結(jié)合函數(shù)的周期性，即可求解.
【詳解】因?yàn)榍襢?1=2，可得，
由，可得，
所以函數(shù)的一個(gè)周期為，則.
故選：B.
7．若，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【正確答案】D
【分析】由知，由兩角和的正弦公式展開(kāi)并整理得到，再利用得到，由基本不等式得.
【詳解】若，則，
所以，
所以，即，
，
若使得取得最大值，不妨設(shè)，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).
故選：D.
方法點(diǎn)睛：三角函數(shù)中的湊角技巧
；
；
.
8．滿足的互不相似的的個(gè)數(shù)為（ ）
A．0B．1個(gè)C．2個(gè)D．前三個(gè)答案都不對(duì)
【正確答案】B
【分析】根據(jù)三角變換公式可得，令，利用導(dǎo)數(shù)判別其單調(diào)性后可得零點(diǎn)個(gè)數(shù).
【詳解】根據(jù)題意，有，
于是．因此．
考慮函數(shù)，，
其導(dǎo)函數(shù)，
因此函數(shù)單調(diào)遞增．又，，
于是函數(shù)在上有且僅有1個(gè)零點(diǎn)，
所以只有一組解符合題意．
故選：B
二、多選題
9．已知、是平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下列四組向量中，能作為基底的一組是（ ）
A．和B．和C．和D．和
【正確答案】ACD
【分析】根據(jù)定義由待定系數(shù)法判斷每組向量是否共線，判斷.
【詳解】因?yàn)椋瑒t和共線，不滿足條件；
設(shè)，則，無(wú)解，故和不共線，能作為基底；
同理可知和不共線，和也不共線，CD選項(xiàng)均能作為基底．
故選：ACD．
10．將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，若這兩函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸都相同，則下列結(jié)論一定正確的是（ ）
A．B．
C．與的零點(diǎn)相同D．與的單調(diào)遞增區(qū)間相同
【正確答案】BC
【分析】求出函數(shù)，求出對(duì)稱(chēng)軸判斷AB；探討與的關(guān)系判斷C；舉例說(shuō)明判斷D.
【詳解】對(duì)于AB，，函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸滿足，
函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸滿足，兩式相減得，
因此，A錯(cuò)誤，B正確；
對(duì)于C，，因此與的零點(diǎn)相同，C正確；
對(duì)于D，取，函數(shù)的遞增區(qū)間為，
函數(shù)的遞增區(qū)間為，D錯(cuò)誤.
故選：BC
11．已知函數(shù)，設(shè)為實(shí)數(shù)，且．下列結(jié)論正確的是（ ）
A．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)
B．不等式的解集為
C．若，則
D．若，則
【正確答案】ABD
【分析】對(duì)A，由可判斷；對(duì)B，根據(jù)函數(shù)單調(diào)遞增可求解；對(duì)CD，根據(jù)的性質(zhì)畫(huà)出函數(shù)圖象，表示出直線的方程，根據(jù)均在直線上方建立不等關(guān)系可得.
【詳解】對(duì)A，，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故A正確；
對(duì)B，在上單調(diào)遞增，且，則化為，則，解得，故不等式的解集為，故B正確；
對(duì)CD，，則可得，且關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，在上單調(diào)遞增，可得函數(shù)圖象如下：
均在直線上方，其中直線的方程為，
則可得，，
所以，
，
，即，故C錯(cuò)誤，D正確.
故選：ABD.
關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是判斷出函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性和單調(diào)性畫(huà)出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合求解.
三、填空題
12．已知函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，，且，則不等式的解集為 .
【正確答案】
【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性并求導(dǎo)可得，因此可得，可構(gòu)造函數(shù)并求得其單調(diào)性即可得在上大于零，在上小于零，即可得出結(jié)論.
【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，定義域?yàn)椋?br>所以，兩邊同時(shí)求導(dǎo)可得，即且，
又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以.
構(gòu)造函數(shù)，則，
所以當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，
又因?yàn)?，所以在上大于零，在上小于零?br>又因?yàn)?，所以在上大于零，在上小于零?br>因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以在上小于零，在上大于零，
綜上所述，的解集為.
故
13．已知矩形滿足，若分別是線段上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為 .
【正確答案】.
【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，然后表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可表示出，化簡(jiǎn)后結(jié)合基本不等式可求得結(jié)果.
【詳解】解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，
設(shè)，，，
設(shè)，則，
由，知，所以，
由，知，
所以，
所以
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以的最小值為.
故
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查三角函數(shù)恒等變換公式的應(yīng)用，考查基本不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意建立平面直角坐標(biāo)系，將數(shù)量積用坐標(biāo)表示，考查數(shù)形結(jié)合的思想和計(jì)算能力，屬于較難題.
四、解答題
14．已知向量，設(shè)函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域；
(2)已知在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若 ，且，求面積的最大值.
【正確答案】(1)
(2)1
【分析】（1）利用向量數(shù)量積公式和三角恒等變換得到，整體法求解函數(shù)的值域；
（2）在（1）基礎(chǔ)上，結(jié)合得到，由勾股定理和基本不等式得到，進(jìn)而得到三角形面積的最大值.
【詳解】（1），
，
當(dāng)時(shí)，，
，
所以函數(shù)的值域?yàn)?br>（2）由（1）可知，
又，所以，
因?yàn)?，所以，故?br>因?yàn)?，由可知，?br>由基本不等式得，
解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
故三角形面積，
即面積最大值為.
15．已知函數(shù)
(1)求函數(shù)的值域；
(2)若時(shí)，恒有，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【正確答案】(1)
(2)
【分析】（1）分和兩種情況，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得值域；
（2）將化為，利用換元法結(jié)合參變分離的思想即可求得a的范圍.
【詳解】（1）的定義域?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)?，所以，所以?br>當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)椋?，所以?br>綜上，可得函數(shù)的值域?yàn)椋?br>（2）因?yàn)椋?br>，即
兩邊同時(shí)乘以的
即恒成立，
，
即，令，，
則，由二次函數(shù)圖象與性質(zhì)可知在上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，，
所以，
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是．
16．記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．
(1)求；
(2)若是上的一點(diǎn)，且，求的最小值．
【正確答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)正弦定理化簡(jiǎn)可得，再根據(jù)角度關(guān)系分析即可；
（2）根據(jù)平面向量基本定理可得，再兩邊平方可得，結(jié)合余弦定理可得，再令，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性與最值求解即可.
【詳解】（1），
又，則或，
若，則；
若，則，又，不符合題意，舍去，
綜上所述.
（2）
①，又②，
①÷②得：
令，又，
，
令
令，
令，
當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，
由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可得當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，故，
同理當(dāng)時(shí)，
所以當(dāng)三角形為等邊三角形時(shí)最小，最小值為
17．已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
（1）設(shè)，恒成立，求的最大值；
（2）設(shè)，討論函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
（參考數(shù)據(jù)：）
【正確答案】（1）3；（2）答案見(jiàn)解析.
（1）設(shè)函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)求出的最小值，再由得出的范圍，從而得其最大正整數(shù)值；
（2）先求出，， 設(shè)，用導(dǎo)數(shù)求得極大值，證明，即，然后分類(lèi)求在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)和在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．最終得出結(jié)論．
【詳解】解：（1）設(shè)函數(shù)，
所以，令得，（a>0）
且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以
因?yàn)橐沟煤愠闪ⅲ灰愠闪?br>即 ①
設(shè)，且
，在上單調(diào)遞減
又，，
且圖象連續(xù)不斷，所以滿足①的的最大值為3.
（2），
設(shè)，則，
因?yàn)?，所以在?nèi)必存在唯一的實(shí)數(shù)，使得
所以為增函數(shù)
，，為減函數(shù)
下面先證明. 因?yàn)?，所以?br>當(dāng)時(shí)，有，
，
下證，即證，即證.
.
接下來(lái)，求函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)
，且函數(shù)在上單調(diào)遞減
在上有唯一零點(diǎn)，即函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1
最后，求函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)
，且函數(shù)在上單調(diào)遞增
當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上沒(méi)有零點(diǎn)，
即函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0
當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)，
即函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1
綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1 ；
當(dāng)時(shí)，在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2．
本題考查用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題，研究函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，本題中恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值，利用導(dǎo)數(shù)求得最小值的表達(dá)式，再由最小值滿足的不等關(guān)系得出參數(shù)范圍．零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題也是通過(guò)研究函數(shù)的極值，然后結(jié)合零點(diǎn)存在定理確定結(jié)論．本題旨在考查學(xué)生的邏輯推理能力，運(yùn)算求解能力，轉(zhuǎn)化與化歸能力．屬于難題．

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