福建省2024年中考數(shù)學模擬卷 原卷+解析卷

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選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．下列選項中，比小的數(shù)是（ ）
A．B．0C．D．
【答案】D
【分析】本題考查了有理數(shù)的大小比較，掌握0大于負數(shù)，負數(shù)比較大小絕對值大的反而小是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)0大于負數(shù)，負數(shù)比較大小絕對值大的反而小，即可解答．
【詳解】解：，
比小的數(shù)是，
故選：D．
2．在顯微鏡下，人體的一種細胞形狀可以近似地看成圓形，它的半徑約為 米，用科學計數(shù)法表示為，則n的值為（ ）
A．7B．C．D．
【答案】C
【分析】本題考查科學記數(shù)法，根據(jù)將一個數(shù)寫成的形式叫科學記數(shù)法直接求解即可得到答案；
【詳解】解：由題意可得，
，
所以．
故選：C．
3．如圖是某幾何體的主視圖和俯視圖，則這個幾何體是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了幾何體的三視圖、由三視圖還原幾何體，根據(jù)主視圖和俯視圖分別是從正面、上面看到的圖形，即可作答．
【詳解】解：∵俯視圖的圓的直徑是跟長方體的寬是等長的
∴這個幾何體是
故選：C．
4．多項式提取公因式后，剩下的因式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本題考查公因式的定義，掌握找公因式的要點是解答此題的關(guān)鍵，即公因式的系數(shù)是多項式各項系數(shù)的最大公約數(shù)；字母取各項都含有的相同字母，相同字母的指數(shù)取次數(shù)最低的． 通過觀察知公因式為，提取后得即可判斷．
【詳解】解：
∴此多項式的公因式為，提取公因式后，剩下的因式是．
故選C
5．如圖，的周長是，，于點D，則的長為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)“三線合一”可得，由題意求出的長，即可求解．
【詳解】解：∵，于點D，
∴點D為的中點，，
∵的周長是20，，
∴，
∴，
故選：C．
6．我國古代數(shù)學著作《九章算術(shù)》中有這樣一題，原文是：“今有大器五小器一容三斛，大器—小器五容二斛，問大小器各容幾何？”意思是：有大小兩種盛酒的桶，已知5個大桶加上1個小桶可以盛酒3斜斛（斛，音hú，是古代的一種容量單位），1個大桶加上5個小桶可以盛酒2斛；問：1個大桶、1個小桶分別可以盛酒多少斛？若設(shè)1個大桶可以盛酒x斛，1個小桶可以盛酒y斛，則列方程組是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程組若設(shè)1個大桶可以盛酒斛，1個小桶可以盛酒斛，根據(jù)“5個大桶加上1個小桶可以盛酒3斛，1個大桶加上5個小桶可以盛酒2斛”，即可得出關(guān)于，的二元一次方程組，此題得解．
【詳解】解：設(shè)1個大桶可以盛酒斛，1個小桶可以盛酒斛，則列方程組是
，
故選：B．
7．無論x取何實數(shù)時，二次函數(shù)的值始終為正數(shù)，則m的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本題主要考查二次函數(shù)圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)值始終為正數(shù)，則其開口向上且與x軸沒有交點，據(jù)此可解決問題．
【詳解】解：由題知，因為二次函數(shù)的值始終為正數(shù)，且，
所以，
解得，．
故選：D．
8．如圖，是的直徑，與相切于點，，的延長線交于點，則的度數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本題考查切線的性質(zhì)，圓周角定理，解題的關(guān)鍵是根據(jù)切線的性質(zhì)可得，從而得到，再由圓周角定理，即可求解．
【詳解】解：∵與相切于點，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
即的度數(shù)是．
故選：A．
9．如圖，太陽光線與地面成的角，照射在地面上的一只皮球上，皮球在地面上的投影長是，則皮球的直徑是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本題考查平行投影以及解直角三角形，畫出示意圖，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．
由于太陽光線為平行光線，根據(jù)切線的性質(zhì)得到為皮球的直徑，，，在中，利用正弦的定義可計算出的長，從而得到皮球的直徑．
【詳解】為方便描述取點A、B、C、D、E，如圖，點A與點B為太陽光線與球的切點，
即，，
則有四邊形是矩形，
根據(jù)太陽光的特點可知，即，
則為皮球的直徑，，
在中，
即，
即皮球的直徑為15，
故選：B．
10．如圖，在平行四邊形中，對角線相交于點O，過O作的垂線交于點與相交于點F，且，那么下列結(jié)論的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由題意可知，垂直平分，則，可判斷A的正誤；由，，，，可得，可判斷B的正誤；證明，則，即，可得，進而可判斷C的正誤；證明，可得，進而可判斷D的正誤．
【詳解】解：∵平行四邊形，
∴，，，
又∵，
∴垂直平分，
∴，A正確，故不符合要求；
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，B正確，故不符合要求；
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，，C正確，故不符合要求；
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，D錯誤，故符合要求；
故選：D．
二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分。
11．數(shù)軸上點A對應的數(shù)是，那么將點A向右移動4個單位長度，此時點A表示的數(shù)是 ．
【答案】1
【分析】本題考查了有理數(shù)加法、數(shù)軸上數(shù)的表示以及數(shù)軸上點的變化規(guī)律：左減右加；列出算式，據(jù)此計算即可；
【詳解】解：，
故答案為：1
12．不透明袋子中裝有9個球，其中有2個紅球、7個綠球，這些球除顏色外無其他差別．從袋子中隨機取出1個球，則它是紅球的概率是 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了概率的公式，根據(jù)概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比即可求得答案．
【詳解】解：∵不透明袋子中裝有個球，其中有個紅球，個綠球，
∴從袋子中隨機取出個球，則它是紅球的概率是．
故答案為：．
13．在平面直角坐標系中，若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點和點，則m n（填“＞”“＝”或“＜”）．
【答案】
【分析】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的性質(zhì)，掌握函數(shù)圖象上的點滿足函數(shù)關(guān)系式是解題關(guān)鍵．
將和兩點代入反比例函數(shù)求得m和n的值，再比較大小即可
【詳解】解：∵點A和B在反比例函數(shù)圖象上，
∴，
∴，
故答案為：
14．如圖，將繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到，且D，B，C三點共線，若恰好平分，則旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為 ．
【答案】/60度
【分析】本題考查旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、角平分線的定義，根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得到，再根據(jù)角平分線的定義證得，進而利用平角定義可求解．
【詳解】解：∵由逆時針旋轉(zhuǎn)得到，
∴，
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵D，B，C三點共線，
∴，
即旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為，
故答案為：．
15．觀察下列各式：
13＝12
13+23＝32
13+23+33＝62
13+23+33+43＝102
…
猜想13+23+33+…+83＝ ．
【答案】
【分析】通過觀察得到規(guī)律：左邊是從1開始的連續(xù)自然數(shù)的立方和，右邊是底數(shù)是從1開始的連續(xù)自然數(shù)的和，指數(shù)為2；根據(jù)此規(guī)律即可計算結(jié)果．
【詳解】由題意得：
故答案為：．
16．如圖，點P為矩形的對角線上一動點，點E為的中點，連接，，若，，則的最小值為 ．
【答案】6
【分析】作點關(guān)于的對稱點，交于點，連接交于點，則的最小值為的長度；然后求出和的長度，再利用勾股定理即可求出答案．
【詳解】解：作點關(guān)于的對稱點，交于點，連接交于點，則的最小值為的長度，
∵四邊形是矩形，
∴，
在直角中，，，
∴，
∴，
由對稱的性質(zhì)，得，，
∴，
∴
∵，，
∴是等邊三角形，
∴，，
∴ ，
∴，
∴，
∵，
∴當三點共線時有最小值，最小值為的長，
∴的最小值為，
故答案為：．
三、解答題：本題共9小題，共84分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
17．計算：-14+-（-）-3．
【答案】9
【詳解】解 -14+-(-)-3=-1+2-（-8）=-1+2+8=9．
18．如圖，在和中，點在上，，，，求證：．
【答案】見詳解
【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)．由可得，再結(jié)合已知條件用兩角夾邊證即可．
【詳解】證明：，
，
在和中，
，
，
．
19．解方程：．
【答案】
【分析】本題考查解分式方程，去分母，將方程轉(zhuǎn)化為整式方程，求解后檢驗即可．
【詳解】解：去分母，得：，
整理得：，
∴，
解得：，
當時，，
∴是原方程的增根，舍去；
當時，，
∴是原方程的解．
20．某校“數(shù)學智多星”比賽由小論文、說題比賽、其他榮譽、現(xiàn)場考核四部分組成，各部分在總分中占比分別為，，，．九（1）班小鹿、小誠兩位同學前三項的得分如下表．

(1)在首次現(xiàn)場考核模擬中，小鹿得到91分，小誠得到98分，請分別計算兩位同學首次模擬后的總分．
(2)兩位同學先后5次現(xiàn)場考核模擬的成績情況如圖所示，根據(jù)所學的統(tǒng)計知識，你推薦哪位同學參加校級“數(shù)學智多星”比賽？請說明理由．
【答案】(1)小鹿總分為分，小誠總分為分
(2)推薦小鹿同學參加校級“數(shù)學智多星”比賽，理由見解析
【分析】本題考查了數(shù)據(jù)的波動程度、加權(quán)平均數(shù)．掌握加權(quán)平均數(shù)的定義是關(guān)鍵.
（1）根據(jù)小論文、說題比賽、其它榮譽、現(xiàn)場考核在總分中占比分別計算相加即可．
（2）先計算平均數(shù)，再結(jié)合統(tǒng)計圖比較即可．
【詳解】（1），
，
答：小鹿總分為76.4分，小誠總分為79.2分．
（2）小鹿現(xiàn)場考核分數(shù)：，
小誠現(xiàn)場考核分數(shù)：．
小鹿其他項的得分為，小誠其他項的得分為，兩人平均分相同的情況下，由圖象知：小誠的成績波動大，小鹿的成績比較平穩(wěn)，
推薦小鹿同學參加校級“數(shù)學智多星”比賽．
21．如圖，已知中，，，
(1)利用直尺和圓規(guī)，作，且點M在直線的上方（不寫作法，保留作圖痕跡）．
(2)在（1）的條件下，若射線和的延長線交于點D，試求的度數(shù)．
【答案】(1)見詳解
(2)
【分析】本題考查了畫一個角等于已知角，三角形的內(nèi)角和性質(zhì)以及角的和差運算
（1）延長，因為，所以，以A為圓心，為半徑，畫兩弧，其中一弧交于一點E，以C為圓心，同樣長度為半徑畫兩弧，其中一弧交于一點F，再以點E為圓心，畫弧交于點N，以點F為圓心，長為半徑畫弧交于點M，即可作答．
（2）運用角的和差以及領(lǐng)補角得出，，再結(jié)合三角形內(nèi)角和性質(zhì)，列式計算，即可作答．
【詳解】（1）解：如圖所示：
（2）解：如圖所示：
∵已知中，，，
∵，
∴
∵
∴
在中，
22．如圖，是的外接圓，，，交的延長線于點D，交于點E．
(1)求證：是的切線；
(2)若，求圖中陰影部分的面積．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】本題主要考查了切線的性質(zhì)，扇形的面積，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學的知識解決問題，屬于中考?？碱}．
（1）連接，利用已知條件求證，即可求解；
（2）根據(jù)已知條件可求證，利用相似三角形的線段比可求出半徑，即可求解．
【詳解】（1）解：連接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是的切線；
（2）∵且，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴．
23．課本呈現(xiàn)：
直覺的誤差
有一張的正方形紙片，面積是．把這張紙片按圖1所示剪開成四小塊，其中兩塊是三角形，另外兩塊是四邊形，把剪出的4個小塊按圖2所示重新拼合，這樣就得到了一個的長方形，面積是，面積多了，這是為什么？
小明給出如下證明：如圖2，可知，，，
，
．
∵，
，
．
因此、、三點不共線．同理、、三點不共線，所以拼合的長方形內(nèi)部有空隙，故面積多了．
問題探究：
(1)小紅給出的證明思路為：以為原點，所在的直線為軸，建立平面直角坐標系，證明三點不共線．請你幫小紅完成證明；
(2)如圖，將正方形沿圖中虛線剪成①②③④四塊圖形（其中，用這四塊圖形恰能拼成一個矩形（非正方形），求的值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）以為原點，所在的直線為軸，建立平面直角坐標系，求出直線的解析式，判斷即可．
（2）設(shè)剪開的矩形短邊長為，長邊長為，根據(jù)題意可列，即可求解．
【詳解】（1）證明：以為原點，所在的直線為軸，建立平面直角坐標系，
，，
設(shè)的解析式為
∴
直線的解析式為，
當時，，
點不在直線上，
在中，，
在直角梯形中，，
、、三點共線不共線，
所以拼合的長方形內(nèi)部有空隙；
（2）解：設(shè)剪開的矩形短邊長為，長邊長為，
如圖，拼后的矩形面積為，
原正方形的面積為，
這四塊圖形恰能拼成一個矩形，
，
解得或（舍，
，
．
【點睛】本題考查圖形的簡拼，直角三角形，直角梯形，二次根式的混合運算，一元二次方程的綜合知識；能夠?qū)栴}轉(zhuǎn)化為一元二次方程求解是解決問題的關(guān)鍵．
24．如圖，平行四邊形對角線交于點O，點E在上，點F在延長線上，連接，且，與交于點G．
(1)求證：；
(2)若，，G恰好是的中點，求的長．
【答案】(1)見詳解
(2)
【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)可得，結(jié)合可得是的中位線，即可求證；
（2）連接由（1）知得，根據(jù)題意證明，利用三角形全等的性質(zhì)即可求證是矩形，在根據(jù)結(jié)合勾股定理即可求解．
【詳解】（1）解：四邊形是平行四邊形，
，
，
是的中位線，
，
；
（2）連接如圖：
由(1)得∶，
，
是的中點，
，
在和中，
，
，
，
四邊形是平行四邊形，
四邊形是平行四邊形，
，
，
又，
，
平行四邊形是矩形，
，
，
在中：，
，
．
25．如圖1，拋物線與x軸交于A，B兩點，點A，B分別位于原點的左、右兩側(cè)，與y軸相交于C，已知拋物線對稱軸為直線，直線經(jīng)過B、C兩點．
(1)求拋物線的解析式；
(2)在拋物線上找一個點D（不與點C重合），使得，請求出點D的坐標；
(3)如圖2，點E是直線上一動點，過E作x軸的垂線交拋物線于F點，連接，將沿折疊，如果點E對應的點M恰好落在y軸上，求此時點E的坐標．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）由直線的解析式求出、點的坐標，由對稱軸得，代入拋物線的解析式，解方程組，即可求解；
（2）作直線關(guān)于軸對稱直線，交軸于，交拋物線于，由對稱的性質(zhì)得，，設(shè)直線的解析式為，求出直線的解析式，聯(lián)立直線和拋物線的解析式，解方程組，即可求解；
（3）①當在軸下方時，由平行線的性質(zhì)及折疊的性質(zhì)得，，由等腰三角形的判定方法得，設(shè)，則，求出和，即可求解；②當在軸上方時，同理可求解．
【詳解】（1）解：當時，，
解得：，
當時，，
，；
設(shè)拋物線的解析式為，則有
，解得：，
拋物線的解析式為；
（2）解：如圖，作直線關(guān)于軸對稱直線，交軸于，交拋物線于，
，，
設(shè)直線的解析式為，則有
，
解得：，
直線的解析式為，
聯(lián)立直線和拋物線的解析式得：
，
解得：或，
．
（3）解：①如圖，當在軸下方時，
軸，
，
由折疊得：，
，
，
設(shè)，
則，
，，
，
解得： ，（舍去），
；
；
②如圖，當在軸上方時，
同理可證：，
設(shè)，
則，
，，
，
解得： ，（舍去），
；
，
綜上所述：E的坐標為或．姓名
小論文
說題比賽
其他榮譽
小鹿
80分
90分
30分
小誠
90分
85分
25分