1．（4分）下列各組圖形中，一定相似的是（ ）
A．兩個菱形B．兩個正方形
C．兩個三角形D．兩個等腰三角形
2．（4分）在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，那么∠B的正切值為（ ）
A．35B．34C．45D．43
3．（4分）已知非零向量a→、b→和c→，下列條件中，不能判定a→∥b→的是（ ）
A．a→=2b→B．a→=2c→，2b→=c→C．|3a→|=|2b→|D．a→∥c→，b→∥c→
4．（4分）已知（﹣3，y1）、（0，y2）和（1，y3）都在拋物線y＝（x+2）2上，那么y1、y2和y3的大小關系為（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y1＞y2＞y3D．y1＞y3＞y2
5．（4分）已知拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）如圖所示，下列結論中，正確的是（ ）
A．a＞0B．b＜0C．c＜0D．a+b+c＞0
6．（4分）如圖，已知AB∥CD，聯(lián)結AD、BC交于點O，聯(lián)結AC，∠ACB＝∠BAD，如果AB＝2，CD＝6，那么CO長為（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空題（本大題共12題，每題4分，滿分48分）
7．（4分）已知線段a是線段b、c的比例中項，b＝2cm，c＝8cm，那么a＝ cm．
8．（4分）計算：2a→+3（b→?a→）＝ ．
9．（4分）已知y=2xm2+2是二次函數(shù)，那么m的值是 ．
10．（4分）拋物線y＝（x﹣1）2+3與y軸的交點坐標是 ．
11．（4分）如果拋物線y＝（m﹣2）x2﹣2有最高點，那么m的取值范圍是 ．
12．（4分）已知拋物線在y軸右側的部分是下降的，且經(jīng)過（0，1），請寫出一個符合上述條件的拋物線表達式是 ．
13．（4分）如圖，直線AD∥EB∥FC，如果DE＝2EF，AC＝9，那么AB長是 ．
14．（4分）已知△ABC∽△A′B′C′，且△ABC和△A′B′C′的最長邊分別是5和10，如果△ABC的面積是6，那么△A′B′C′的面積是 ．
15．（4分）如圖，在△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，聯(lián)結BE、DE，如果BD＝2AD，DE∥BC，AB→=a→，AC→=b→，用a→、b→表示BE→= ．
16．（4分）如圖，正方形ABCD的頂點B、C在x軸上，點A、D恰好在拋物線y＝x2﹣3上，那么正方形ABCD的面積是 ．
17．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝5，tanC＝2，D是AC上的動點，將△BCD沿BD翻折，如果點C落到△ABD內（不包括邊），那么CD的取值范圍是 ．
18．（4分）過三角形的重心作一條直線與這個三角形兩邊相交，如果截得的三角形與原三角形相似，那么我們把這條直線叫做這個三角形的“重似線”，這條直線與兩邊交點之間的線段叫做這個三角形的“重似線段”．如圖，在△ABC中，AB＝10，tanB=43，tanC＝2，點D、E分別在邊AB、AC上，如果線段DE是△ABC的“重似線段”，那么DE＝ ．
三、解答題（本大題共7題，滿分78分）
19．（10分）計算：tan45°tan60°?2sin30°?cs60°．
20．（10分）在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝x2+2mx+m+1經(jīng)過點B（﹣1，0）．
（1）求m的值以及拋物線的對稱軸；
（2）將該拋物線向右平移n個單位后得到新拋物線，如果新拋物線經(jīng)過原點，求n的值．
21．（10分）如圖，在△ABC中，AB＝10，BC＝5，sinB=35，點D、E在BC的延長線上，聯(lián)結AD、AE，且AD＝AC．
（1）求tan∠ADC的值；
（2）如果∠E＝∠BAC，求DE的長．
22．（10分）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，點D在邊AC上，過點D作DE垂直AC交AB于點E，聯(lián)結EC、BD交于點F．
（1）求證：△ABD∽△ACE；
（2）如果BC＝BE，求證：12CE2=BF?BD．
23．（12分）根據(jù)以下素材，完成任務．
24．（12分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y＝﹣x2+bx+3與x軸交于點A、B（點A在點B的左側），與y軸交于點C，聯(lián)結AC，tan∠CAO＝3，拋物線的頂點為點D．
（1）求b的值和點D的坐標；
（2）點P是拋物線上一點（不與點B重合），點P關于x軸的對稱點恰好在直線BC上．
①求點P的坐標；
②點M是拋物線上一點且在對稱軸左側，聯(lián)結BM，如果∠MBP＝∠ABD，求點M的坐標．
25．（14分）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，CD＝2，E是CD的中點，AC、BE交于點F，且∠ACD＝2∠EBC．
（1）求證：CE＝CF；
（2）如果BC＝2AD，求tan∠ABC的值；
（3）如果∠ABE＝∠ACB，求ADBC的值．
一．選擇題（共6小題）
一、選擇題（本大題共6題，每題4分，滿分24分）【下列各題的四個選項中，有且只有一個選項是正確的，選擇正確項的代號并填涂在答題紙的相應位置上．】
1．【答案】B
【解答】解：A、兩個菱形的對應角不一定相等，故兩個菱形不一定相似，不符合題意；
B、兩個正方形一定相似，符合題意；
C、兩個三角形不一定相似，不符合題意；
D、兩個等腰三角形不一定相似，不符合題意，
故選：B．
2．【答案】D
【解答】解：∵在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，
∴AC=52?32=4，
則∠B的正切值為ACBC=43，
故選：D．
3．【答案】C
【解答】解：不能判定a→∥b→的是選項C．
故選：C．
4．【答案】A
【解答】解：拋物線y＝（x+2）2圖象開口向上，對稱軸為直線x＝﹣2，
（﹣3，y1）距離對稱軸1個單位長度，
（0，y2）距離對稱軸2個單位長度；
（1，y3）距離對稱軸3個單位長度，
根據(jù)開口向上，距離對稱軸越遠，函數(shù)值越大可得：y1＜y2＜y3．
故選：A．
5．【答案】B
【解答】解：∵拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象開口向下，
∴a＜0，
故A選項錯誤，不符合題意；
∵?b2a＜0，
∴b2a＞0，
∴b＜0，
故B選項正確，符合題意；
∵拋物線的圖象與y軸的正半軸相交，
∴c＞0，
故C選項錯誤，不符合題意；
根據(jù)函數(shù)圖象，當x＝1時，y＜0，
∴a+b+c＜0，
故D選項錯誤，不符合題意，
故選：B．
6．【答案】C
【解答】解：∵AB∥CD，AB＝2，CD＝6，
∴△AOB∽△DOC，
∴BOCO=ABCD=26=13，
∴CO＝3BO，
∴CB＝BO+3BO＝4BO，
∵∠ACB＝∠BAD，∠B＝∠B，
∴△ACB∽△OAB，
∴CBAB=ABBO，
∴CB?BO＝AB2＝22＝4，
∴4BO2＝4，
解得BO＝1或BO＝﹣1（不符合題意，舍去），
∴CO＝3，
故選：C．
二、填空題（本大題共12題，每題4分，滿分48分）
7．【答案】4．
【解答】解：∵線段a是線段b、c的比例中項，b＝2cm，c＝8cm，
∴a2＝bc＝2×8＝16，
∴a＝4（負值舍去），
∴a＝4cm．
故答案為：4．
8．【答案】3b→?a→．
【解答】解：2a→+3（b→?a→）
＝2a→+3b→?3a→
＝3b→?a→．
故答案為：3b→?a→．
9．【答案】0．
【解答】解：根據(jù)已知，得m2+2＝2，
解得：m＝0．
故答案為：0．
10．【答案】見試題解答內容
【解答】解：令x＝0，得y＝4，
故與y軸的交點坐標是：（0，4）．
故答案為：（0，4）．
11．【答案】m＜2．
【解答】解：∵拋物線y＝（m﹣2）x2﹣2有最高點，
∴拋物線圖象的開口向下，
∴m﹣2＜0，
∴m＜2，
故答案為：m＜2．
12．【答案】y＝﹣x2+1（答案不唯一）．
【解答】解：由拋物線在y軸右側的部分是下降的可知對稱軸可確定為y軸，即b＝0，
∴圖象開口向下，取a＝﹣1，
拋物線解析式為y＝﹣x2+c，
把（0，1）代入，得c＝1，
∴拋物線解析式為y＝﹣x2+1．本題答案不唯一．
故答案為：y＝﹣x2+1（答案不唯一）．
13．【答案】見試題解答內容
【解答】解：∵AD∥EB∥FC，
∴DEDF=ABAC，
∵DE＝2EF，AC＝9，
∴ABAC=AB9=DEDE+EF=2EF2EF+EF=23，
∴AB＝6，
故答案為：6．
14．【答案】24．
【解答】解：由題意得：S△ABCS△A′B′C′=（510）2=14，S△ABC＝6，
所以△A′B′C′的面積是＝24，
故答案為：24．
15．【答案】?a→+13b→．
【解答】解：∵BD＝2AD，AB→=a→，
∴BD→=?23a→．
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴DEBC=ADAB=13．
又∵BC→=AC→?AB→=b→?a→，
∴DE→=13BC→=13b→?13a→，
∴BE→=BD→+DE→=?23a→+13b→?13a→=?a→+13b→．
故答案為：?a→+13b→．
16．【答案】36．
【解答】解：由題意設D（m，2m），
∵點A、D恰好在拋物線y＝x2﹣3上，
∴2m＝m2﹣3，
解得m＝3，m＝﹣19（舍去），
∴D（3，6），
∴正方形ABCD的邊長為6，
∴正方形ABCD的面積為36．
故答案為：36．
17．【答案】1＜CD＜53．
【解答】解：∵∠ABC＝90°，tanC＝2，
∴AB＝2BC，
∵AC＝5，
∴AB2+BC2＝5，
∴AB＝25，BC=5，
設C的對應點為C'，
當C'在AC上時，如圖：
∵將△BCD沿BD翻折，
∴∠BDC＝∠BDC'＝90°，
∴tanC=BDCD=2，即BD＝2CD，
∵BD2+CD2＝BC2，
∴（2CD）2+CD2＝5，
∴CD＝1；
當C'在AB上時，過D作DH⊥AB于H，如圖：
∵將△BCD沿BD翻折，
∴BC＝BC'=5，∠CBD＝∠C'BD=12∠ABC＝45°，CD＝C'D，∠C＝∠BC'D，
∴△BDH是等腰直角三角形，tan∠BC'D＝2，
∴BH＝DH，DH＝2C'H，
設C'H＝x，則DH＝BH＝2x，
∵C'H+BH＝BC'=5，
∴x+2x=5，
解得x=53，
∴C'H=53，DH=253，
∴C'D=C′H2+DH2=53，
∴CD=53；
∵C'落到△ABD內（不包括邊），
∴1＜CD＜53；
故答案為：1＜CD＜53．
18．【答案】203或5．
【解答】解：如圖，作AG⊥BC于G，AB＝10，tanB=43，tanC＝2，
∴AGBG=43，AGCG=2，
∴AG＝8，BG＝6，CG＝4，
∴BG＝6+4＝10，AC=82+42=45，
作△ABC的中線AF，Q為△ABC的重心，
∴AQAF=23，
∵線段DE是△ABC的“重似線段”，
∴當△ADE∽△ABC時，
∴∠ADE＝∠B，ADAB=DEBC，
∴DE∥BC，
∴ADAB=AQAE=23，
∴AD10=DE10=23，
∴DE=203，AD=203；
當△AD'E'∽△ACB時，過B作BH⊥AC交AC于H，
∴∠AE'D'＝∠ABC，∠AD'E'＝∠C，AE′AB=AD′AC=D′E′BC，
∵BA＝BC＝10，
∴∠C＝∠BAC，AH=CH=25，
∴∠BAC＝∠AD'E'，BH=102?(25)2=45，Q在BH上，
∴AE'＝D'E'，
∵BQBH=23，
∴QH=453，
∵tan∠AE′D′=tan∠ABC=43，
∴453E′H=43，則E′H=5，
∴D′E′=AE′=AH+HE′=25+5=35；
綜上：DE=203或35，
故答案為：203或5．
三、解答題（本大題共7題，滿分78分）
19．【答案】32．
【解答】解：原式=13?2×12?12
=3+12?12
=32．
20．【答案】（1）m＝2，拋物線的對稱軸為直線x＝﹣2；（2）n＝3或1．
【解答】解：（1）∵拋物線y＝x2+2mx+m+1經(jīng)過點B（﹣1，0），
∴1﹣2m+m+1＝0，解得m＝2，
∴拋物線解析式為：y＝x2+4x+3＝（x+2）2﹣1，
∴拋物線的對稱軸為直線x＝﹣2；
（2）將拋物線y＝（x+2）2﹣1向右平移n個單位后得到新拋物線為y＝（x+2﹣n）2﹣1，
∵新拋物線經(jīng)過原點，
∴（2﹣n）2﹣1＝0，解得n＝3或1．
21．【答案】（1）2；
（2）9．
【解答】解：（1）如圖，過點A作AM⊥CD于點M，
在Rt△ABM中，AB＝10，sinB=AMAB=35，
∴AM＝6，
∴BM=AB2?AM2=8，
∵BC＝5，
∴CM＝BM﹣BC＝3，
∵AD＝AC，AM⊥CD，
∴CM＝DM＝3，
∴tan∠ADC=AMDM=63=2；
（2）∵∠E＝∠BAC，∠ABE＝∠CBA，
∴△ABE∽△CBA，
∴ABBC=BEAB，
∴105=BE10，
∴BE＝20，
∴DE＝BE﹣BC﹣CM﹣DM＝20﹣5﹣3﹣3＝9．
22．【答案】（1）證明見解答；
（2）證明見解答．
【解答】證明：（1）∵∠ABC＝90°，DE⊥AC，
∴∠ADE＝∠ABC＝90°，
∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴ADAB=AEAC，
∴ADAE=ABAC，
∴△ADB∽△AEC．
（2）∵△ADB∽△AEC，
∴∠ABD＝∠ACE，
∴∠BFC﹣∠ACE＝∠BFC﹣∠ABD，
∴∠BDC＝∠BFC﹣∠ACE，∠BEC＝∠BFC﹣∠ABD，
∴∠BDC＝∠BEC，
∵BC＝BE，∠CBE＝90°，
∴∠BCF＝∠BEC，CE2＝BC2+BE2＝2BC2，
∴∠BCF＝∠BDC，BC2=12CE2，
∵∠FBC＝∠CBD，
∴△FBC∽△CBD，
∴BCBD=BFBC，
∴BC2＝BF?BD，
∴12CE2＝BF?BD．
23．【答案】（1）點A到地面的距離AE約為160cm；
（2）①理由見解答部分；
②固定器下降的距離AA′約為10cm．
【解答】解：作BN⊥AH于點N，延長DC交BN于點M，則∠ANB＝∠M＝90°，
∵爸爸身高是176cm，此時水流正好噴在爸爸的“舒適噴淋點”C處，
∴CD＝176﹣30＝146（cm），
∵AB＝20cm，α＝37°，
∴BN＝20×sin37°≈20×0.60＝12（cm），AN＝AB×cs37°≈20×0.80＝16（cm），∠ABN＝53°，
∵DE＝52cm，∠ABC＝90°，
∴BM＝40（cm），∠CBM＝37°，
∴CM＝40×tan37°≈40×0.75＝30（cm），
∴DM＝146+30＝176（cm），
∴EN＝176（cm），
∴AE＝176﹣16＝160（cm）．
答：點A到地面的距離AE約為160cm；
（2）①當α＝60°時，∠ABN＝30°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBM＝60°，
∵AB＝20cm，
∴AN＝10（cm），BN＝103（cm），
∴BM＝（52﹣103）（cm），
∴CM＝（52﹣103）×3=523?30≈59.96（cm），
∴CD＝AE+AN﹣CM＝160+10﹣59.96≈110.04（cm），
∵小明的身高是130cm，
∴小明的舒適距離CD＝130﹣30＝100（cm），
∵110.04＞100，
∴水流無法噴在小明的“舒適噴淋點”處；
②設點A移動到了點A′，此時在小明的“舒適噴淋點”，
∴C′D＝100cm，
由題意得：C′M′＝CM≈59.96cm，A′N′＝AN＝10cm，
∴A′E＝C′D+C′M′﹣A′N′＝100+59.96﹣10≈150（cm），
∴AA′＝AE﹣A′E≈10（cm）．
答：固定器下降的距離AA′約為10cm．
24．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3，點D（1，4）；
（2）①點P（﹣2，﹣5）；②點M（?23，119）．
【解答】解：（1）由拋物線的表達式知，點C（0，3），則OC＝3，
∵tan∠CAO＝3，則OA＝1，即點A（﹣1，0），
將點A的坐標代入拋物線表達式得：0＝﹣1﹣b+3，
則b＝2，
則拋物線的表達式為：y＝﹣x2+2x+3，
則點D（1，4）；
（2）①由拋物線的表達式知，點B（3，0），
由點B、C的坐標知，直線BC的表達式為：y＝﹣x+3，
設點P（m，﹣m2+2m+3），則點P關于x軸的對稱點（m，m2﹣2m﹣3），
將點（m，m2﹣2m﹣3）的坐標代入y＝﹣x+3得：m2﹣2m﹣3＝﹣m+3，
解得：m＝3（舍去）或﹣2，
即點P（﹣2，﹣5）；
②設BM交拋物線對稱軸于點H，過點H作HN⊥BD于點N，
由點B、P的坐標得，直線BP的表達式為：y＝（x﹣3），即∠ABP＝45°，
由點B、D的坐標得：tan∠NDH=12，
∵∠MBP＝∠ABD，即∠DBM+∠MBA＝∠MBA＝∠ABP，
∴∠DBM＝∠ABP＝45°，
在△BDH中，tan∠NDH=12，∠DBH＝45°，
故設NH＝x＝NB，則DN＝2x，則DH=5x，
則BD=20=BN+DN＝3x，則x=203，
則DH=5x=103，則點H（1，23）；
由點B、H的坐標得，直線BH的表達式為：y=?13（x﹣3），
聯(lián)立上式和拋物線的表達式得：﹣x2+2x+3=?13（x﹣3），
解得：x＝3（舍去）或?23，
即點M（?23，119）．
25．【答案】（1）見解析；
（2）43；
（3）41?52．
【解答】（1）證明：設∠EBC＝x，則∠ACD＝2x，
∵∠BCD＝90°，
∴∠ACB＝∠BCD﹣∠ACD＝90°﹣2x，∠CEF＝90°﹣x，
∵∠CFE＝∠EBC+∠ACB＝x+90°﹣2x＝90°﹣x，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝CF；
（2）解：延長BE交AD延長線于H，
∵E是CD的中點，BC＝2AD，
∴DH＝BC＝2AD，
∴CFAF=CBAH=23，
∴AC=52CF=52CE=52，
∴AD=32，
∴tan∠ABC=tan∠ACB=tan∠CAD=43；
（3）解：過A作 AM⊥BC 于M，
∵∠ABE＝∠ACB，
∴△ABF∽△ACB，
∴AB2＝AF?AC，
設BC＝DH＝x，AF＝k，
∴AB2＝AF?AC＝k（k+1），AH＝kx，AD＝CM＝（k﹣1）x，BM＝（2﹣k）x，
∵AC2＝AD2+CD2，
∴（k+1）2＝（k﹣1）2x2+4，
∴x=k+3k?1，
∵AB2＝AM2+BM2，
∴k（k+1）＝（2﹣k）2x2+4，
∴k2+3k﹣8＝0，
解得：k=41?32，
∴ADBC=k?1=41?52．
聲明：試題解析著作權屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復制發(fā)布日期：2025/3/26 10:53:57；用戶：陳莊鎮(zhèn)中學；郵箱：czz001@xyh.cm；學號：62602464探究淋浴噴頭的位置
素材1
圖1是一種淋浴噴頭，淋浴噴頭固定器裝在升降桿上的某處，手柄與固定器的連接處記為點A（點A與墻之間的距離忽略不計）．圖2視作淋浴噴頭噴水后的截面示意圖，線段AB為手柄，射線BC為水流，BC與AB的夾角∠ABC為90°，手柄AB與墻EH的夾角∠HAB為淋浴噴頭的“調整角”，記為α．已知AB長為20cm．

素材2
圖3中的矩形EFGH是淋浴房的截面圖，EF＝90cm，EH＝195cm．為了方便在淋浴房里淋浴，規(guī)定淋浴時，人一直站在D處，DE＝52cm．

素材3
我們把人豎直站立時，頭頂以下30cm處記為這個人的“舒適噴淋點”，即“舒適噴淋點”到地面的距離等于人的身高減30cm．
已知小明的身高是130cm，他爸爸和媽媽的身高分別是176cm和160cm．某次爸爸洗澡時，將淋浴噴頭固定器調整至如圖3的點A處，“調整角”α為37°，此時水流正好噴在爸爸的“舒適噴淋點”C處（即CD＝爸爸身高﹣30）．
素材4
參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，3≈1.73．
問題解決
任務一
求圖3中，淋浴噴頭手柄與固定器的連接處點A到地面的距離AE．
任務二
爸爸洗完澡后，不改變固定器的位置（即AE不變），把淋浴噴頭的“調整角”α調整至60°，然后小明進淋浴房洗澡．
①小明發(fā)現(xiàn)水流無法噴在他的“舒適噴淋點”處，請通過計算說明理由；
②下降固定器（將固定器下降后的位置記為點A′）后，小明發(fā)現(xiàn)水流可以噴在他的“舒適噴淋點”處，求此時固定器下降的距離AA′（精確到1cm）．
題號
1
2
3
4
5
6
答案
B
D
C
A
B
C

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