考生注意：
1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題紙上.
2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題紙上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.寫在本試卷上無效.回答非選擇題時，將答案寫在答題紙上.寫在本試卷上無效.
3.考試結(jié)束后，將本試卷與答題卡一并由監(jiān)考人員收回.
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求
1. 設集合，，若，則（ ）
A. 2B. 1C. D. -2
【答案】A
【解析】
【分析】由得.易知且不符合題意，則，解之即可求解.
【詳解】由，得.
若，則，不符合題意；
又，所以，解得.
故選：A
2. 已知雙曲線的焦距為，則該雙曲線的漸近線方程為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)雙曲線焦距可得與，進而可得漸近線方程.
【詳解】由已知雙曲線的焦距，即，
所以，解得，
即雙曲線方程為，
則其漸近線方程為，
故選：B.
3. 與向量同向的單位向量為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】設單位向量為，結(jié)合模長公式求得即可.
【詳解】設所求的單位向量為，解得，則，
故所求的單位向量為.
故選：A
4. 已知坐標原點不在圓的內(nèi)部，則的取值可能為（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)方程表示圓得，根據(jù)原點不在圓內(nèi)得，解得的取值范圍，再逐項判斷即可.
【詳解】依題意，方程表示圓，則，解得.
因為坐標原點不在圓的內(nèi)部，所以.
綜上所述，，結(jié)合選項可知A符合題意.
故選：A
5. 若過點的直線與圓交于M，N兩點，則弦長的最小值為（ ）
A. 4B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由時，最小，即可求解.
【詳解】可化為，可得圓心，半徑．
當時，最小，此時點到的距離，
所以的最小值為.
故選：C
6. 已知，，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)得到，根據(jù)得到，由得到.
【詳解】，，
，，
，，
.
故選：D.
7. 已知圓和直線，則圓心C到直線l的最大距離為（ ）
A. 1B. 2C. 3D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)圓的方程和直線方程可得圓心坐標，以及直線所過定點，然后結(jié)合圖形可得.
【詳解】將圓C化為標準方程得，所以圓心為，
直線的方程為，所以直線過定點，
過點C作，垂足為Q，當CP不垂直l時，顯然，當時，，
所以圓心C到直線l的最大距離為.
故選：D

8. 已知分別是雙曲線的左、右焦點，為上一點，，且的面積等于4，則（ ）
A. B. 2C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】先由的面積得，再由勾股定理結(jié)合雙曲線的定義以及即可求解.
【詳解】由題得，所以，
因為，所以，
則，所以即，
又，所以即.
故選：B.
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 已知曲線，下列結(jié)論正確的有（ ）
A. 若，則是橢圓B. 若，則是焦點在軸上的橢圓
C. 若，則是雙曲線D. 若，則是兩條平行于軸直線
【答案】BCD
【解析】
【分析】對于A，舉例判斷，對于B，將代入結(jié)合橢圓的標準方程判斷，對于C，由雙曲線的標準方程分析判斷，對于D，將代入化簡變形判斷.
【詳解】對于A，若，則曲線表示圓，故A錯誤；
對于B，若，則可化為，此時曲線表示焦點在軸上橢圓，故B正確；
對于C，若，則曲線表示雙曲線，故C正確；
對于D，若，則可化為，此時曲線表示兩條平行于軸的直線，故D正確．
故選：BCD
10. 已知直線過拋物線的焦點，且與拋物線交于兩點，過兩點分別作拋物線準線的垂線，垂足分別為，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 拋物線的方程為B. 線段的長度為
C. D. 線段的中點到軸的距離為
【答案】AC
【解析】
【分析】求出拋物線的焦點坐標得，即可判斷A；聯(lián)立方程求出坐標得，判斷B；確定坐標計算，判斷C；求出線段的中點坐標，即可判斷D.
【詳解】由題意，不妨設點A在B點上方，直線與x軸交點，
又經(jīng)過的焦點，可得，即拋物線方程為，A正確．
由，可得，解得或，
可得交點分別為，所以或4，B錯誤．
由上，若，可知，
可得，則，即，C正確．
由上，線段的中點為，則線段的中點到軸的距離為，D錯誤.
故選：AC
11. 已知點在圓上，點，則下列說法正確的是（ ）
A. 圓與圓的公共弦方程為
B. 滿足的點有2個
C. 若圓與圓、直線AB均相切，則圓的半徑的最小值為
D. 的最小值是
【答案】ABD
【解析】
【分析】對于A，兩圓的方程作差可得公共弦方程；對于B，可判斷點的軌跡是圓，進而判斷兩圓的位置關(guān)系即可；對于C，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可知，圓的直徑的最小值為圓心到直線AB的距離與圓的半徑的差；對于D，設存在定點，使得，解得點的坐標，將轉(zhuǎn)化為，進而可求最小值.
【詳解】對于A，和兩式作差，
可得，故A正確.
對于B，由，可得點的軌跡是以AB為直徑，3為半徑的圓，
圓心的坐標為，兩圓的圓心距為，
半徑和與半徑差分別為，
由3，得兩圓相交，則滿足條件的點有2個，故B正確.
對于C，直線AB方程為，即，
圓心到直線AB的距離為，
所以圓的半徑的最小值為，故C錯誤.
對于D，設存在定點，使得點在圓上任意移動時均有．
設，則有，
化簡得．因為，所以，
解得，則，所以，故D正確．
故選：ABD
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 若點和點關(guān)于直線對稱，則______．
【答案】
【解析】
【分析】由已知可得是線段的垂直平分線，據(jù)此計算可求.
【詳解】因為點和點關(guān)于直線對稱，
所以是線段的垂直平分線，由，可得，解得.
又AB的中點坐標為，，所以，解得，
.故.
故答案為：.
13. 已知圓上恰有三個點到直線的距離等于，則實數(shù)的一個取值為________.
【答案】或其中一個
【解析】
【分析】根據(jù)圓的幾何性質(zhì)以及點到直線的距離公式求得正確答案.
【詳解】圓圓心為，半徑，
由于圓上恰有三個點到直線的距離等于，
所以到直線的距離等于，
即，解得或.
故答案為：或其中一個
14. 已知雙曲線的左焦點為，過的直線交圓于，兩點，交的右支于點，若，則的離心率為__________.
【答案】
【解析】
【分析】作出輔助線，結(jié)合題目條件得到方程組，求出，結(jié)合雙曲線定義得到方程，求出離心率.
【詳解】設的半焦距為，如圖，設為坐標原點，的中點為的右焦點為，連接，.

因為，所以也是的中點.設，
由雙曲線的定義得，所以，
在中，由，得，所以，
在中，由，得.
故答案為：.
【點睛】方法點睛：求解離心率的常用方法：（1）直接法：直接求出，求解；（2）變用公式，整體求出；（3）利用題目中所給的幾何關(guān)系或者條件得出的關(guān)系；（4）構(gòu)造的齊次式，解出.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知是的三個頂點．
（1）若直線經(jīng)過的中點，且與直線平行，求的一般式方程；
（2）求的面積．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求得直線的斜率與的中點坐標，利用點斜式可求的方程；
（2）求得與直線的方程，利用點到直線的距離公式求得邊上的高，可求的面積.
【小問1詳解】
由題意，，
的中點坐標為，
所以的方程為，即的一般式方程為；
【小問2詳解】
由題意，，
直線AB的方程為，即，
因為點到直線AB的距離為，
所以的面積為.
16. 在四棱柱中，四邊形ABCD為菱形，為AC的中點.
（1）用表示，并求的值；
（2）求的值.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）利用空間向量的基本定理及數(shù)量積與模長關(guān)系計算即可；
（2）利用空間向量數(shù)量積的運算律結(jié)合（1）計算即可.
【小問1詳解】
由題意可知：，
且，
則
；
【小問2詳解】
易知，
所以
.
17. 已知數(shù)列為遞增的等差數(shù)列，為和的等比中項．
（1）求數(shù)列通項公式；
（2）若，求數(shù)列的前項和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）法1：設遞增等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題意，列出方程組，求得的值，即可求得數(shù)列的通項公式；
法2：設遞增等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題意，得到，求得，即可求得數(shù)列的通項公式；
（2）由（1）知，設，結(jié)合錯位相減法求和，即可求解.
【小問1詳解】
法1：設遞增等差數(shù)列的公差為，則，
因為為和的等比中項，可得，
即，可得，解得，
所以數(shù)列的通項公式為．
法2：設遞增等差數(shù)列的公差為，則，
因為為和的等比中項，可得，
即，可得，
所以數(shù)列的通項公式為．
【小問2詳解】
由（1）知，，可得，
設，
可得，
則，
可得，
兩式相減可得，
所以，則．
18. 在四棱錐中，底面為直角梯形，，，側(cè)面底面，，且，分別為，的中點，
（1）證明：平面；
（2）若直線與平面所成的角為，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取中點，連接，，通過證明四邊形為平行四邊形，即可證明結(jié)論；
（2）由直線與平面所成的角為，可得，建立以為原點的空間直角坐標系，利用向量方法可得答案.
【小問1詳解】
取中點，連接，，
為的中點，，，
又，，，，
四邊形平行四邊形，，
平面，平面，
平面；
【小問2詳解】
平面平面，平面平面平面，
平面，
取中點，連接，則平面，
，
，又，
如圖以為坐標原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，
，
，設平面的一個法向量，，
則，取，則，
平面的一個法向量可取，
設平面與平面所成銳二面角為，
，
所以平面與平面所成銳二面角的余弦值.
19. 若將任意平面向量繞起點逆時針方向旋轉(zhuǎn)角，得到向量，則稱點繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到點.在平面直角坐標系中，已知曲線是橢圓繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)所得的斜橢圓.
（1）求橢圓的方程.
（2）已知，是橢圓長軸上的兩個頂點，，為橢圓上異于，的兩點，且關(guān)于軸對稱，若直線與直線交于點，證明：點在某定曲線上，并求出該曲線的方程.
（3）已知，不過點的動直線與橢圓交于，兩點，直線與的斜率之積恒為，證明直線過定點，并求出這個定點的坐標.
【答案】（1）
（2）點在定曲線：，詳見解析
（3）滿足條件的直線，過定點，詳見解析.
【解析】
【分析】（1）本小題可以考慮利用題目已知條件將原橢圓上的點的坐標轉(zhuǎn)換成題目中橢圓，求出原橢圓方程，也可以利用已知條件原橢圓逆時針旋轉(zhuǎn)了，則旋轉(zhuǎn)后橢圓的對稱軸為和，求出橢圓的長軸長和短軸長，并進一步得到橢圓的方程.
（2）可以利用和點的坐標作為參數(shù)寫出直線方程，用參數(shù)表示點的坐標，利用點和點在橢圓上消去參數(shù)；
（3）設出直線的方程，與橢圓聯(lián)立，利用題目給出的關(guān)系求出直線過的定點.
【詳解】（1）解：（方法一）設為橢圓上任意一點，則即斜橢圓上一點，
則，
化簡得，故橢圓的方程為．
（方法二）由得或
由得或
所以橢圓的長軸長為，得，
橢圓的短軸長為，得，
故橢圓的方程為
（2）證明：根據(jù)橢圓的對稱性，不妨令．設，則.
，由P，M，T三點共線，得；
，由Q，N，T三點共線，得
兩式相乘可得
因為，所以，所以，
故點在某定曲線上，該定曲線的方程為
（3）解：當直線的斜率為0時，設直線的方程為，
則，且，即，
所以，不符合題意．
當直線的斜率不為0時，設直線的方程為.
由消去得，
則.
直線HA與HB的斜率分別為，
于是
，
整理得，解得或
當時，直線過點，不符合題意，因此.
綜上，直線過定點．

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