湖北省襄陽(yáng)市鄂北六校2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期4月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（Word版附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

試卷滿分：150分考試用時(shí)：120分鐘
注意事項(xiàng)：
1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)﹑座位號(hào)填寫(xiě)在試卷和答題卡上，并認(rèn)真核準(zhǔn)準(zhǔn)考證號(hào)條形碼上的信息，將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。
2．請(qǐng)按題號(hào)順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫(xiě)在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。
3．選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚。
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 已知向量，，若，則（）
A. 5B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】利用向量坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合相等向量求解即得.
【詳解】向量，，由，得，
所以.
故選：B
2. 已知點(diǎn)落在角的終邊上，則（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義求解余弦值，再利用二倍角的余弦公式求解即可.
【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)落在角的終邊上，
所以，
所以
故選：C
3. 函數(shù)（，，）的部分圖象如圖示，則圖象解析式為（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.
【詳解】由函數(shù)的圖象，可得且，所以，則，
又由，即，可得，
所以，又因?yàn)?，所以，?
故選：D.
4. 若兩個(gè)單位向量，的夾角為，則（）
A. 2B. C. 1D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用數(shù)量積的定義及運(yùn)算律求解即得.
【詳解】由兩個(gè)單位向量，的夾角為，得，
所以.
故選：B
5. 化簡(jiǎn)得（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】依題意可得，利用兩角差的正弦公式、二倍角公式及誘導(dǎo)公式計(jì)算可得.
【詳解】
.
故選：C
6. 我國(guó)古代的數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的一個(gè)問(wèn)題，現(xiàn)有一個(gè)“圓材埋壁”模型，其截面如圖所示．若圓柱材料的截面圓的半徑長(zhǎng)為3，圓心為O，墻壁截面ABCD為矩形，且劣弧的長(zhǎng)等于半徑OA長(zhǎng)的2倍，則圓材埋在墻壁內(nèi)部的陰影部分截面面積是（）
A. B. C. D. 9
【答案】A
【解析】
【分析】先計(jì)算出扇形的面積，再求出，相減得到答案.
【詳解】由題意得，劣弧，
故扇形的面積為，
設(shè)圓心角為，則，
故，
故圓材埋在墻壁內(nèi)部陰影部分截面面積為.
故選：A
7. 已知是平面上一定點(diǎn)，是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，且，當(dāng)時(shí)，則（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】如圖，根據(jù)條件得到，利用數(shù)量積的幾何意義，即可求出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋?br>如圖，取中點(diǎn)，又，所以，即，
結(jié)合平面向量數(shù)量積的幾何意義，又，得到，
故選：B.
8. 如圖，在鈍角△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，，過(guò)點(diǎn)A作與垂直的單位向量，將與向量表達(dá)式兩邊進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算，即，化簡(jiǎn)后得到的結(jié)論是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由向量數(shù)量積的運(yùn)算律和定義可化簡(jiǎn)等式得到，由此可得結(jié)論.
【詳解】因?yàn)橄蛄渴菃挝幌蛄浚?，所以?，
所以
，
，
所以，即.
故選：A.
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分．部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 下列說(shuō)法正確的是（）
A. 已知，為平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，則可作為平面的一組基底
B. 已知兩個(gè)非零向量，，若，則與同向
C. 在中，若，，則為等邊三角形
D. 若向量，滿足，則存在唯一實(shí)數(shù)，使得
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用向量共線知識(shí)可以判斷ABD，利用向量數(shù)量積運(yùn)算可以判斷C.
【詳解】對(duì)A，因?yàn)椋瑸槠矫鎯?nèi)兩個(gè)不共線的向量，設(shè)時(shí)，，
此時(shí)無(wú)解，所以與不共線，即可作為基底，故A正確；
對(duì)B，因?yàn)閮蓚€(gè)非零向量，，，所以與同向，故B正確；
對(duì)C，由，可得，
再由，可得，
綜上為等邊三角形，故C正確；
對(duì)D，向量，滿足，當(dāng)不等于零向量時(shí)，不存在實(shí)數(shù)，使得，故D錯(cuò)誤；
故選：ABC．
10. 把函數(shù)（）的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的函數(shù)圖象恰好關(guān)于軸對(duì)稱，則下列說(shuō)法正確的是（）
A. 的最小正周期為
B. 在區(qū)間上單調(diào)遞增
C. 當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?br>D. 若在區(qū)間上至少存在六個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)題意化簡(jiǎn)得，根據(jù)最小正周期計(jì)算公式可判斷A；根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)計(jì)算可判斷B；由，得，根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)計(jì)算即可判斷C；由得或，所以在區(qū)間上的解從小到大依次為：，根據(jù)題意建立不等式計(jì)算即可判斷D.
【詳解】
，
因?yàn)閳D象關(guān)于軸對(duì)稱，所以，解得，
因?yàn)椋獾?，即?br>對(duì)A，最小正周期，故A錯(cuò)誤；
對(duì)B，令，解得，
所以函數(shù)得單調(diào)遞增區(qū)間為
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為，
所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故B正確；
對(duì)C，因?yàn)?，所以?br>當(dāng)或，即或時(shí)，函數(shù)有最小值為，
當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)有最大值為，
所以的值域?yàn)?，故C正確；
對(duì)D，因?yàn)椋?，即，解得或?br>故在區(qū)間上的解從小到大依次為：，
要使在區(qū)間上至少存在六個(gè)零點(diǎn)，則，故D正確.
故選：BCD.
11. 中,,點(diǎn)在線段上,下列結(jié)論正確的是（）
A. 若是中線,則B. 若是高,則
C. 若是角平分線,則D. 若,則是線段的三等分點(diǎn)
【答案】AC
【解析】
【分析】分別使用向量解決三角形中線長(zhǎng)問(wèn)題，等面法求解高線、角平分線問(wèn)題，兩次使用余弦定理解決三等分點(diǎn)問(wèn)題.
【詳解】
A選項(xiàng)：由余弦定理知：
因?yàn)槭侵芯€，則
則
則
B選項(xiàng)：
則
則故B錯(cuò)誤.
C選項(xiàng)：
即
則則故C正確.
D選項(xiàng)：在中
在中
即若是線段的三等分點(diǎn)，則
但不是方程的解，則選項(xiàng)D錯(cuò)誤.
故選：AC.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 已知向量，，則向量在向量上的投影向量為_(kāi)___________（用坐標(biāo)表示）．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意，求得，結(jié)合投影向量的計(jì)算公式，即可求解.
【詳解】由向量，，可得，且，則，
所以向量在向量上的投影向量為.
故答案為：.
13. 已知，則____________．
【答案】
【解析】
分析】根據(jù)題意，求得，結(jié)合，即可求解.
【詳解】因?yàn)?，可得，所以?br>則
故答案為：.
14. 定義：．已知a，b，c分別為△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，若，且，則邊c的最小值為_(kāi)___________．
【答案】##
【解析】
【分析】先由新定義將原式化簡(jiǎn)，并求得，再代入余弦定理公式表示c，利用基本不等式求得其最小值.
【詳解】由題可知，
化簡(jiǎn)得，即，
C為三角形內(nèi)角，解得，
由余弦定理得，
所以，時(shí)等號(hào)成立，所以邊c的最小值為.
故答案為：.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
15. 已知，．
（1）求與的夾角的余弦值；
（2）若，求值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合向量的夾角公式計(jì)算即可；
（2）應(yīng)用向量坐標(biāo)垂直公式運(yùn)算可求參數(shù).
【小問(wèn)1詳解】
，
∴，，
【小問(wèn)2詳解】
∴
∴
16. 已知，，且，，，求：
（1）值；
（2）的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）計(jì)算出，利用正弦和角公式求出答案；
（2）利用余弦的兩角差公式可得，結(jié)合得到答案.
【小問(wèn)1詳解】
∵，
∴，
，
∴
；
【小問(wèn)2詳解】
由（1）可得
∴
，
又∵，
∴.
17. 在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．
（1）求角A的大?。?br>（2）若，D是線段AC上的一點(diǎn)，，，求邊c．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理和余弦定理得，得到角A的大小；
（2）設(shè)（），則，根據(jù)二倍角公式和求出的余弦值和正弦值，故，由正弦定理求出答案.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)椋?br>所以由正弦定理可得，
即，
所以，
因?yàn)椋?br>【小問(wèn)2詳解】
設(shè)（），
則，
所以，
解得，故，
所以，
由正弦定理，，即，
所以
18. 在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，BC，AC邊上的兩條中線AM，BN相交于點(diǎn)P.
（1）令，，用，表示；
（2）證明：；
（3）若，，，求∠MPN的余弦值.
【答案】（1）
（2）證明見(jiàn)解析（3）
【解析】
【分析】（1）由條件可得，結(jié)合可解；
（2）在中，由余弦定理，得，在中，由余弦定理，得；
（3）與的夾角相等，根據(jù)向量夾角公式可求其大小.
【小問(wèn)1詳解】
由題可知是的重心，且，
所以.
小問(wèn)2詳解】
在中，由余弦定理，得，
在中，由余弦定理，得
.
【小問(wèn)3詳解】
因?yàn)椋?，?
所以，
所以，即的余弦值為.
19. 已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)于函數(shù)，稱向量為函數(shù)的相伴特征向量，同時(shí)稱函數(shù)為向量的相伴函數(shù)．
（1）記向量的相伴函數(shù)為，若且，求的值；
（2）設(shè)（），試求函數(shù)的相伴特征向量，并求出與方向相反的單位向量﹔
（3）已知，，，為函數(shù)（）的相伴特征向量，，請(qǐng)問(wèn)在的圖象上是否存在一點(diǎn)P，使得？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．
【答案】（1）
（2），
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）先根據(jù)相伴函數(shù)定義再結(jié)合兩角和差公式計(jì)算即可；
（2）結(jié)合相伴函數(shù)定義及反向定義求解；
（3）先設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)，再應(yīng)用函數(shù)求解計(jì)算可解.
【小問(wèn)1詳解】
由題意知，向量的相伴函數(shù)為
由題意，且，，，
故；
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)?br>故函數(shù)的相伴特征向量，
則與反向的單位向量為
【小問(wèn)3詳解】
因?yàn)椋?br>其相伴特征向量，
故，所以，
則，
設(shè)點(diǎn)，
又，，
所以，，
若，則，
即，，
因?yàn)?，?br>故，
又，故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，成立
故在的圖象上存在一點(diǎn)，使得

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