數(shù)學試題
主命題學校：南漳一中
命題老師：鄒國富喻致勛耿純勇郭仕杰
試卷滿分：150分考試用時：120分鐘
注意事項：
1．答題前，先將自己的姓名、準考證號、考場號﹑座位號填寫在試卷和答題卡上，并認真核準準考證號條形碼上的信息，將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。
2．請按題號順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。
3．選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標號涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚。
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．已知向量，，若，則（ ）
A．5B．2C．3D．4
2．已知點落在角的終邊上，則（ ）
A．1B．C．D．
3．函數(shù)（，，）的部分圖象如圖示，則圖象解析式為（ ）
A．B．C．D．
4．若兩個單位向量，的夾角為，則（ ）
A．2B．C．1D．
5．化簡得（ ）
A．B．C．D．
6．我國古代的數(shù)學著作《九章算術》中的一個問題，現(xiàn)有一個“圓材埋壁”模型，其截面如圖所示．若圓柱材料的截面圓的半徑長為3，圓心為O，墻壁截面ABCD為矩形，且劣弧的長等于半徑OA長的2倍，則圓材埋在墻壁內(nèi)部的陰影部分截面面積是（ ）
A．B．C．D．9
7．已知O是平面上一定點，A，B，C是平面上不共線的三個點，且，當時，則（ ）
A．64B．32C．24D．8
8．如圖，在鈍角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，，過點A作與垂直的單位向量j，將j與向量表達式兩邊進行數(shù)量積的運算，即，化簡后得到的結(jié)論是（ ）
A．B．C．D．
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分．部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9．下列說法正確的是（ ）
A．已知，為平面內(nèi)兩個不共線的向量，則可作為平面的一組基底
B．已知兩個非零向量，，若，則與同向
C．在△ABC中，若，，則△ABC為等邊三角形
D．若向量，滿足，則存在唯一實數(shù)，使得
10．把函數(shù)（）的圖象向左平移個單位長度，得到的函數(shù)圖象恰好關于y軸對稱，則下列說法正確的是（ ）
A．的最小正周期為
B．在區(qū)間上單調(diào)遞增
C．當時，的值域為
D．若在區(qū)間上至少存在六個零點，則實數(shù)a的取值范圍為
11．在△ABC中，，，，點D在線段AB上，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若CD是中線，則B．若CD是高，則
C．若CD是角平分線，則D．若，則D是線段AB的三等分點
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．已知向量，，則向量在向量上的投影向量為 （用坐標表示）．
13．已知，則 ．
14．定義：．已知a，b，c分別為△ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊，若，且，則邊c的最小值為 ．
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（本小題滿分13分）
已知，．
（1）求與的夾角的余弦值；
（2）若，求值．
16．（本小題滿分15分）
已知，，且，，，，求：
（1）的值；
（2）的值．
17．（本小題滿分15分）
在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．
（1）求角A的大??；
（2）若，D是線段AC上的一點，，，求邊c．
18．（本小題滿分17分）
在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且BC，AC邊上的兩條中線AM，BN相交于點P．
（1）令，，用，表示；
（2）證明：；
（3）若，，，求MPN的余弦值．
19．（本小題滿分17分）
已知O為坐標原點，對于函數(shù)，稱向量為函數(shù)的相伴特征向量，同時稱函數(shù)為向量的相伴函數(shù)．
（1）記向量的相伴函數(shù)為，若且，求的值；
（2）設（），試求函數(shù)的相伴特征向量，并求出與方向相反的單位向量﹔
（3）已知，，，為函數(shù)（）的相伴特征向量，，請問在的圖象上是否存在一點P，使得？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．
2023—2024學年下學期高一期中考試
數(shù)學試題
參考答案及評分標準
12．
13．
14．
15．解：
（1），
∴，
（2）
∴
∴
16．解：
（1）∵，，
∴
，
∴
（2）由（1）可得
∴
又∵
∴
17．解：
（1）因為，
所以由正弦定理可得，
即，
所以，
因為，所以
（2）設（），
則，
所以，
解得，
所以，
由正弦定理，，
所以
18．解：
（1）連接MN，則MN平行于AB且MN為中位線，
所以
（2）△ABC中，由余弦定理得
△ABM中，由余弦定理得
（3）∵
，
19．解：
（1）由題意知，向量的相伴函數(shù)為
由題意，且，，，
故
（2）因為
故函數(shù)的相伴特征向量，
則與反向的單位向量為
（3）因為，
其相伴特征向量，
故，
所以，
則，
設點，
又，，
所以，，
若，
則，
即，，
因為，，
故，
又，
故當且僅當時，成立
故在的圖象上存在一點，使得
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
B
C
D
B
C
A
B
A
ABC
BCD
AC

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