湖北省部分普通高中聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期4月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（Word版附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

注意事項(xiàng)：
1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡規(guī)定的位置上.
2．答選擇題時(shí)必須使用2B鉛筆，將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).
3．答非選擇題時(shí)，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上.
4．所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效.
5．考試結(jié)束后、將試題卷和答題卡一并交回.
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 的值為（）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】利用兩角差的正弦公式可求值．
【詳解】．
故選：A．
2. 已知，則（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)三角恒等變換公式求解.
【詳解】
所以，
所以
故選:B.
3. 若，則
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【詳解】由有，所以，選D.
點(diǎn)睛：本題主要考查兩角和的正切公式以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，屬于中檔題．
4. “”是“”的（）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】由求得，從而判斷出充分、必要條件.
【詳解】，
所以“”是“”的必要不充分條件.
故選：B
5. 已知，則（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】將所給的三角函數(shù)式展開變形，然后再逆用兩角和的正弦公式即可求得三角函數(shù)式的值.
【詳解】由題意可得：，
則：，，
從而有：，
即.
故選：B.
【點(diǎn)睛】本題主要考查兩角和與差的正余弦公式及其應(yīng)用，屬于中等題.
6. 要得到函數(shù)的圖象，只需要將函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)（）．
A. 縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（橫坐標(biāo)不變），再向右平移個(gè)單位，然后橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標(biāo)不變）；
B. 縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮M坐標(biāo)不變），再向左平移個(gè)單位，然后橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標(biāo)不變）；
C. 縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮M坐標(biāo)不變），再向右平移個(gè)單位，然后橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標(biāo)不變）；
D. 縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?倍（橫坐標(biāo)不變），再向左平移個(gè)單位，然后橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標(biāo)不變）．
【答案】D
【解析】
【分析】
直接利用三角函數(shù)的圖象變換知識(shí)求解.
【詳解】將函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮M坐標(biāo)不變），得到，再把函數(shù)的圖象上向左平移個(gè)單位，得到，再將橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標(biāo)不變）得到.
故選：D
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：三角函數(shù)圖像的平移變換和上下變換：
平移變換：左加右減，上加下減
把函數(shù)向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖像
把函數(shù)向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖像
把函數(shù)向上平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖像
把函數(shù)向下平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖像
伸縮變換：
①把函數(shù)圖象的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長到原來的倍得
②把函數(shù)圖象的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短到原來的倍得
③把函數(shù)圖象的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)伸長到原來的倍得
④把函數(shù)圖象的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)縮短到原來的倍得
7. 在中，為邊上的中線，為邊的中點(diǎn)，若，則可用表示為
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用向量加法和減法的運(yùn)算，求得的表達(dá)式.
【詳解】依題意，
.
故選：B
【點(diǎn)睛】本小題主要考查向量加法和減法的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.
8. 已知向量，，則向量在向量方向上的投影向量為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)投影向量的計(jì)算公式，計(jì)算出投影向量.
【詳解】依題意向量在向量方向上的投影向量為.
故選：C
二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.
9. 已知函數(shù)的最小正周期為，則下列說法正確的有（）
A.
B. 函數(shù)在上為增函數(shù)
C. 直線是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸
D. 點(diǎn)是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心
【答案】ABD
【解析】
【分析】先根據(jù)降冪公式和輔助角公式化一，再根據(jù)正弦函數(shù)的周期性求出，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性和對(duì)稱性逐一判斷即可.
【詳解】，
則，所以，故A正確；
所以，
因?yàn)?，所以?br>所以函數(shù)在上為增函數(shù)，故B正確；
因?yàn)椋?br>所以直線不是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸，故C錯(cuò)誤；
因?yàn)椋?br>所以點(diǎn)是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，故D正確.
故選：ABD.
10. 下列敘述中錯(cuò)誤的是（）
A. 已知非零向量與且，則與的方向相同或相反
B. 若，則
C. 若，，則
D. 對(duì)任一非零向量，是一個(gè)單位向量
【答案】BC
【解析】
【分析】根據(jù)共線向量的定義即可判斷A；根據(jù)向量的定義即可判斷B；根據(jù)零向量與任意向量共線即可判斷C；根據(jù)單位向量的定義即可判斷D.
【詳解】對(duì)于A，兩個(gè)非零向量共線，則它們的方向相同或相反，故A正確；
對(duì)于B，向量無法比較大小，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，若是零向量，則不成立，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，對(duì)任一非零向量，是一個(gè)與方向相同且模長為1的單位向量，故D正確．
故選：BC．
11. 在三角形ABC中，下列命題正確的有（）
A. 若，，，則三角形ABC有兩解
B. 若，則一定是鈍角三角形
C. 若，則一定是等邊三角形
D. 若，則的形狀是等腰或直角三角形
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用正弦定理，對(duì)A進(jìn)行判斷，得到A，B都是銳角，再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，及兩角和與差的三角函數(shù)公式得，對(duì)B進(jìn)行判斷，利用余弦函數(shù)的性質(zhì)對(duì)C進(jìn)行判斷，利用正弦定理及兩角和與差的三角函數(shù)公式，對(duì)D進(jìn)行判斷，從而得出結(jié)論.
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋?，，所以由正弦定理?
所以角只有一個(gè)解，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于B，由，即，
所以，即，
所以，所以，
故一定是鈍角三角形，B選項(xiàng)正確；
對(duì)于C，因?yàn)?br>所以
所以，C選項(xiàng)正確；
對(duì)于D，因?yàn)椋?br>由正弦定理可得，
所以
因?yàn)?，?br>所以，解得或，即或，
所以的形狀是等腰或直角三角形，D選項(xiàng)正確.
故選：BCD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分，其中第14題第一空2分，第二空3分.
12. 把函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，設(shè)所得圖象的解析式為，若是奇函數(shù)，則最小的正數(shù)是________．
【答案】
【解析】
【分析】利用圖象的平移法則可得函數(shù)，由為奇函數(shù)，可得，可求最小正數(shù)的值．
【詳解】將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，
得到函數(shù)圖象．
若為奇函數(shù)，則，，所以，，
則的最小值為，
故答案為：．
13. 已知向量，，，_______．
【答案】
【解析】
【分析】由已知可得，展開化簡后可得結(jié)果.
【詳解】由已知可得，
因此，.
故答案為：.
14. 在中，角所對(duì)的邊分別為,已知，且的周長為，的面積為,則____，_______.
【答案】 ①. 4 ②.
【解析】
【分析】直接利用正弦定理和余弦定理及三角形的面積公式求出結(jié)果．
【詳解】中，角C所對(duì)邊分別是，
已知，則：
且的周長為9，則：
解得：．
若的面積等于，
則：12absinC＝3sinC，
整理得：．
由于：
故：a+b＝5ab＝6，解得：a＝2b＝3或a＝3b＝2，
所以：．
故答案為4 ；．
【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，三角形面積公式的應(yīng)用．
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
15. 已知，.
（1）求的值；
（2）若，且，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用兩角差正切公式求得，然后化弦為切及二倍角公式，結(jié)合“1”的代換化弦為切求解即可；
（2）先利用同角三角函數(shù)關(guān)系求得，然后利用兩角和正切公式求值，最后根據(jù)角的范圍確定角的大小.
【小問1詳解】
因?yàn)?，?br>所以，解得，
所以；
【小問2詳解】
因?yàn)?，且，所以，所?
所以，
又因?yàn)?，，所以，所?
16. 如圖，在扇形OAB中，，半徑.在上取一點(diǎn)M，連接，過M點(diǎn)分別向半徑OA，OB作垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，得到一個(gè)四邊形MEOF.
（1）設(shè)，將四邊形MEOF的面積S表示成的函數(shù)，并寫出的取值范圍；
（2）求四邊形MEOF的面積S的最大值.
【答案】（1），；（2）.
【解析】
【分析】（1）由，利用直角邊表示面積即可；
（2）根據(jù)第一問，利用三角函數(shù)知識(shí)求最值即可.
【詳解】（1），
，
由題意要得到四邊形MEOF，則.
（2）由（1）知：，因?yàn)椋裕?br>所以當(dāng)，即時(shí)，四邊形MEOF的面積S的最大值為.
17. 已知向量，.
（1）若，求的值；
（2）若，求實(shí)數(shù)的值；
（3）若與的夾角是鈍角，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
（3）且
【解析】
【分析】（1）根據(jù)向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算可求得，進(jìn)而求出結(jié)果.
（2）根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算即可得出答案.
（3）由題意分析得到且與不共線，結(jié)合（1）利用相關(guān)坐標(biāo)即可求得結(jié)果.
【小問1詳解】
因?yàn)橄蛄?，且?br>所以，解得，
所以
【小問2詳解】
因?yàn)椋遥?br>所以，解得.
【小問3詳解】
因?yàn)榕c的夾角是鈍角，
則且與不共線，
即且，
所以且.
18. 在中，角的對(duì)邊分別為，且.
（1）求A的值；
（2）若，，當(dāng)?shù)闹荛L最小時(shí)，求的值；
（3）若，，且的面積為，求的長度.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理化簡得到，利用輔助角公式得到，結(jié)合角A的范圍，求出A；（2）利用余弦定理，基本不等式求出周長最小值及此時(shí)的值；（3）由面積公式得到，結(jié)合正弦定理得到，求出，由余弦定理求出答案.
【小問1詳解】
由及正弦定理，
得，
因?yàn)?，且?br>所以，即，
因?yàn)椋裕?br>【小問2詳解】
由余弦定理，得，
將代入，整理，得，
因?yàn)?，所以的周長為，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
所以當(dāng)?shù)闹荛L最小時(shí)，；
【小問3詳解】
由的面積為，得，
所以①，
又，所以，，
由正弦定理，得，②
由①②可得，
因?yàn)椋裕?br>在中，由余弦定理，得，
所以.
19. 老王擬將自家一塊直角三角形地按如圖規(guī)劃成3個(gè)功能區(qū)：區(qū)域規(guī)劃為枇杷林和放養(yǎng)走地雞，區(qū)域規(guī)劃為民宿供游客住宿及餐飲，區(qū)域規(guī)劃為魚塘養(yǎng)魚供垂釣．為安全起見，在魚塘周圍筑起護(hù)欄，已知．
（1）若，求護(hù)欄的長度即的周長；
（2）若魚塘的面積是民宿面積的倍，求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合余弦定理可得，進(jìn)而可得，即可得結(jié)果；
（2）由題意可得，在、中結(jié)合正弦定理運(yùn)算求解.
小問1詳解】
在Rt中，因?yàn)椋傻茫?br>在中，由余弦定理，
所以，
可得，則，
可得，
所以護(hù)欄的長度即的周長.
小問2詳解】
由題意可得：，設(shè)，則，
在，由正弦定理，整理得，
在，由正弦定理，整理得，
則，整理得，
而，故，即.

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