考生注意：
1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.
2.答題前，考生務必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚.
3.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷?草稿紙上作答無效.
4.本卷命題范圍：高考范圍.
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.已知集合，則（ ）
A. B. C. D.
2.已知復數(shù)滿足，則在復平面內(nèi)對應的點位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.小胡同學測得連續(xù)10天的最低氣溫分別為（單位：），則這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為（ ）
A.8 B.8.5 C.12 D.13
4.已知公差不為0的等差數(shù)列的前項和為，若，則正整數(shù)的值為（ ）
A.11 B.12 C.13 D.14
5.“”是“函數(shù)為奇函數(shù)”的（ ）
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分又不必要條件
6.已知函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，直線和為函數(shù)的圖象的兩條對稱軸，則（ ）
A.1 B. C. D.
7.已知雙曲線的左、右焦點分別為，過點且斜率為的直線與的右支交于兩點，且，則的值為（ ）
A. B. C. D.
8.函數(shù)的定義域為，且對任意的實數(shù)，都有，且，則（ ）
A. B. C. D.
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9.已知隨機變量，若，則下列說法正確的是（ ）
A. B.
C. D.
10.在棱長為2的正方體中，點分別為棱的中點，則下列說法正確的是（ ）
A.平面
B.直線與所成角的余弦值為
C.點到平面的距離為
D.三棱錐的外接球的表面積為
11.在平面直角坐標系中，拋物線的焦點為為上的任意三點（異于點），且，則下列說法正確的是（ ）
A.
.存在點，使得
C.若直線的斜率分別為，則
D.
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.在的展開式中，常數(shù)項為__________.
13.鍵線式可以簡潔直觀地描述有機物的結構，在有機化學中極其重要.有機物萘可以用如圖所示的鍵線式表示，其結構簡式可以抽象為如圖所示的圖形.已知六邊形與六邊形為全等的正六邊形，且，點為正六邊形內(nèi)的一點（包含邊界），則的取值范圍是__________.
14.柯西不等式（Cauchy-SchwarzLnequality）是法國數(shù)學家柯西與德國數(shù)學家施瓦茨分別獨立發(fā)現(xiàn)的，它在數(shù)學分析中有廣泛的應用.現(xiàn)給出一個二維柯西不等式：，當且僅當時等號成立.已知，直線與曲線相切，則的最小值為__________.
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
15.（本小題滿分13分）
記的內(nèi)角的對邊分別為，且.
（1）求角的大??；
（2）若邊上的高為，求的周長.
16.（本小題滿分15分）
如圖，在四棱錐中，是邊長為2的等邊三角形，，點是棱上的一點，且滿足.
（1）求證：平面平面；
（2）求平面與平面的夾角的余弦值.
17.（本小題滿分15分）
已知函數(shù).
（1）若，求的極值；
（2）若對任意的恒成立，求的取值范圍.
18.（本小題滿分17分）
某大學排球社團為了解性別因素是否對學生喜歡排球有影響，隨機調查了男、女生各200名，得到如下數(shù)據(jù)：
（1）依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為是否喜歡排球與性別有關聯(lián)？
（2）在某次社團活動中，甲、乙、丙這三人相互做傳球訓練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個人中的任何一人.記次傳球后球在乙手中的概率為.
（i）求；
（ii）若隨機變量服從兩點分布，且，則.記前次（即從第1次到第次傳球）中球在乙手中的次數(shù)為隨機變量，求的數(shù)學期望.
附：，其中.
19.（本小題滿分17分）
橢圓的兩個焦點和短軸的一個頂點組成的三角形稱為該橢圓的“特征三角形”.記橢圓的“特征三角形”為，橢圓的“特征三角形”為，若，則稱橢圓與相似，并將與的相似比稱為橢圓與的相似比.已知橢圓與橢圓相似，且與的相似比為2.
（1）求的方程；
（2）已知點是的右焦點，過點的直線與交于兩點，直線與交于兩點，其中點在軸上方.
（i）求證：；
（ii）若過點與直線垂直的直線交于兩點，其中點在軸上方，分別為，的中點，設為直線與直線的交點，求面積的最小值.
蚌埠市2025屆高三年級第二次教學質量檢查考試·高三數(shù)學
參考答案?提示及評分細則
1.D 因為，所以.故選D.
2.A 因為復數(shù)滿足，所以，所以在復平面內(nèi)對應的點為，位于第一象限.故選A.
3.D 將這組數(shù)據(jù)從小到大排列為：，又，所以這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為13.故選D.
4.B 設等差數(shù)列的公差為，由，得，所以，又，所以.故選B.
5.A 若函數(shù)為奇函數(shù)，則，即，解得或.當時，，由，解得，此時函數(shù)的定義域為關于原點對稱，且，故函數(shù)為奇函數(shù)，符合題意；當時，，此時函數(shù)的定義域為關于原點對稱，且，故函數(shù)為奇函數(shù)，符合題意.所以“”是“函數(shù)為奇函數(shù)”的充分不必要條件.故選A.
6.C 因為函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，直線和為函數(shù)的圖象的兩條對稱軸，所以，所以，即，所以或.又，所以或，所以或，解得或，所以或，所以或.故選C.
7.B 如圖，因為直線的斜率為，所以，所以，.設，則，又，所以，在中，由余弦定理得，即
，整理得.在中，由余弦定理得，即，整理得，所以，即，所以，所以.故選B.
8.C 因為，所以，令，得；令，得），所以；用替換，可得，所以，所以函數(shù)為偶函數(shù).令，得，所以；用替換，可得，所以，所以，所以，即.所以，故是以6為周期的周期函數(shù)，又，所以
.故選C.
9.ABD 因為隨機變量，所以，故A正確；，故B正確；隨機變量，所以，所以，故C錯誤，D正確.故選ABD.
10.AC 在棱長為2的正方體中，點分別為棱的中點，所以，又平面平面，所以平面，故A正確；連接，易得，所以為直線與所成的角或補角，又易得，由余弦定理得，所以直線與所成角的余弦值為，故B錯誤；在中，，所以，設點到平面的距離為，又，所以，解得，即點到平面的距離為，故C正確；易得，所以為直角三角形，所以在底面的射影為的中點，設為，設外接球半徑為，球心為，由，解得，所以外接球的表面積為，故D錯誤.故選AC.
11.ACD 因為為上的任意三點，且，所以為的重心，，所以，，所以，故A正確；，所以，解得，所以，故B錯誤；因為兩式相減，得，所以，同理可得，所以
，故C正確；不妨設，則，代入0，得，所以，由得，所以，故D正確.故選ACD.
12.672 由題意得，令，解得，故常數(shù)項為.
13. 過點作直線的垂線，垂足為，所以，當點與點重合時，，當點與點重合時，，所以的取值范圍是.
14.10 由，所以，設切點為，則，故，又，所以，所以，所以，當且僅當，即時等號成立，所以的最小值為10.
15.解：（1）因為，所以，
由正弦定理得，
所以，又，所以，又，所以.
（2）因為邊上的高為，
所以的面積，解得，
由余弦定理得，即，解得.
所以的周長.
16.（1）證明：取的中點，連接，如圖所示，
又，所以，
因為是邊長為2的等邊三角形，點是的中點，所以，又平面，所以平面，
又平面，所以，
又平面，所以平面，
又平面，所以平面平面.
（2）解：由（1）知平面，又平面，所以，又，所以.
取的中點，連接，則，由（1）可知，平面平面，
平面平面平面，所以平面.
以為坐標原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，如圖所示，
所以，
設平面的一個法向量為，又
，所以
令，解得，所以平面的法向量為.
設平面的一個法向量為，又，所以
令，解得，所以平面的法向量為，
設平面與平面的夾角為，所以，即平面與平面的夾角的余弦值為.
17.解：（1）若，則，所以，
令，解得，令，解得，令，解得，所以在上單調遞增，在上單調遞減，
所以的極大值為，無極小值.
（2）對任意的恒成立，即對任意的恒成立，令，所以，
令，所以
，當時，，又，所以，
所以在上恒成立，
所以即在區(qū)間上單調遞增，
所以，所以在區(qū)間上單調遞增，
所以，符合題意；
當時，令，解得，
則即在區(qū)間上單調遞減；
所以當時，，所以在區(qū)間上單調遞減，
所以當時，，不符合題意；
當時，又，所以，所以即在區(qū)間上單調遞減，
所以，所以在區(qū)間上單調遞減，所以，不符合題意.
綜上，的取值范圍為.
18.解：（1）零假設為：是否喜歡排球與性別無關聯(lián).
根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到
所以依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，可以認為是否喜歡排球與性別有關聯(lián).
（2）（i）由題意知，
設，所以，所以，解得，
所以，
又，故數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，
所以，即第次傳球后球在乙手中的概率為.
（ii）因為，
所以當時，的數(shù)學期望
，即的數(shù)學期望為.
19.（1）解：由題意知橢圓的長軸長為，短軸長為4，橢圓的長軸長為，短軸長為，又與的相似比為2，所以，解得，
所以的方程為.
（2）（i）證明：由（1）知，顯然直線的斜率不為0，設直線的方程為，
由得，設，所以，故中點的縱坐標為中點的橫坐標為，即中點的坐標為.
由得，設，所以，故中點的縱坐標為中點的橫坐標為，即中點的坐標為.
所以的中點與的中點重合，所以.
（ii）解：如圖，連接，取的中點，連接，又分別為的中點，所以，所以，，所以的面積.
顯然直線的斜率不為0，設直線的方程為，由
得，設，所
以，
所以
同理可得，
所以，
當且僅當，即時等號成立，所以面積的最小值為.性別
排球
喜歡
不喜歡
男生
78
122
女生
112
88
0.010
0.005
0.001
6.635
7.879
10.828

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