山西大學(xué)附屬中學(xué)校2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期3月月考（總第二次） 數(shù)學(xué)試題

這是一份山西大學(xué)附屬中學(xué)校2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期3月月考（總第二次） 數(shù)學(xué)試題，共12頁。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
數(shù) 學(xué) 試 題
考試時(shí)間：120分鐘 滿分：150分
一、單選題（本小題8小題，每小題5分，共40分. 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）
1．已知等差數(shù)列中，，，則公差（ ）
A．B．1C．D．
2．據(jù)報(bào)道，從2024年7月16日起，“高原版”復(fù)興號(hào)動(dòng)車組將上線新成昆鐵路和達(dá)成鐵路，假設(shè)“高原版”復(fù)興號(hào)動(dòng)車開出站一段時(shí)間內(nèi)，速度與行駛時(shí)間的關(guān)系為，則當(dāng)時(shí)，“高原版”復(fù)興號(hào)動(dòng)車的加速度為（ ）
A．B．C．D．
3．等比數(shù)列中，若，則的公比為（ ）
A．B．C．2D．4
4．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象可能是（ ）
A．B． C． D．
5．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
6．在上的導(dǎo)函數(shù)為，則下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
7．設(shè)數(shù)列 滿足，，，令，則數(shù)列的前100項(xiàng)和為（ ）
A．B．C．D．
8． 若直線與函數(shù)和的圖象分別相切于點(diǎn)，則（ ）
A．2B．C．D．
二、多選題（本小題3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求的，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）
9．下列函數(shù)的求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為．則下列說法正確的是（ ）
A．這個(gè)數(shù)列的第10項(xiàng)為B．是該數(shù)列中的項(xiàng)
C．?dāng)?shù)列中的各項(xiàng)都在區(qū)間內(nèi)D．?dāng)?shù)列是遞減數(shù)列
11．意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子的繁殖問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣的一列數(shù)：1，1，2，3，5，8，13，21，….該數(shù)列的特點(diǎn)如下：前兩個(gè)數(shù)均為1，從第三個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都等于它前面兩個(gè)數(shù)的和.人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱為斐波那契數(shù)列，現(xiàn)將中的各項(xiàng)除以2所得的余數(shù)按原來的順序排列，構(gòu)成的數(shù)列記為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，下列說法正確的是（ ）
A．B．若，則
C．D．
三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）
12．在等比數(shù)列中，若、是方程的兩根，則的值是 .
13．若是函數(shù)的一個(gè)極大值點(diǎn)，則 ．
14．已知實(shí)數(shù)a、b、c、d滿足，則的最小值為 ．
四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）
15．已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及極值；
(2)求函數(shù)在上的最小值.
16．已知等差數(shù)列中的前n項(xiàng)和為，且成等比數(shù)列，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列為遞增數(shù)列，記，求數(shù)列的前40項(xiàng)的和.
17．已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程；
(2)若函數(shù)的最小值是1，求的值.
18．已知函數(shù)，，
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若函數(shù)在上單調(diào)遞減，求a的取值范圍．
19．人教A版選擇性必修二第8頁中提到：歐拉函數(shù)的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)且與互素的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，例如．
(1)求的值；
(2)已知數(shù)列滿足，求的前項(xiàng)和；
(3)若數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)任意，均有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
山西大學(xué)附中
2024～2025學(xué)年高二年級(jí)第二學(xué)期3月月考（總第二次）
數(shù) 學(xué) 試 題
一、單選題
二、多選題
9．BC 10. BC 11. ACD
三、填空題
12． 13． 14．/4.5
四、解答題
15．已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及極值；
(2)求函數(shù)在上的最小值.
【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；極大值為，無極小值
(2)1
【難度】0.94
【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不含參）、求已知函數(shù)的極值、由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（不含參）
【分析】(1)先求函數(shù)的定義域，然后對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可求得函數(shù)的極值;
(2)根據(jù)第(1)小問的單調(diào)性，確定函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，從而函數(shù)的最小值是，比較和的大小，求得函數(shù)的最小值.
【詳解】（1）函數(shù)的定義域是.
又，令，得，令，得，
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，
所以函數(shù)的極大值為，無極小值.
（2）由（1）可知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以在上的最小值為.
因?yàn)椋裕?br>所以函數(shù)在上的最小值為1.
16．已知等差數(shù)列中的前n項(xiàng)和為，且成等比數(shù)列，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列為遞增數(shù)列，記，求數(shù)列的前40項(xiàng)的和.
【答案】(1)或
(2)
【難度】0.94
【知識(shí)點(diǎn)】分組（并項(xiàng)）法求和、利用定義求等差數(shù)列通項(xiàng)公式
【分析】根據(jù)條件先求出的通項(xiàng)公式，再求出的通項(xiàng)公式即可.
【詳解】（1）設(shè)公差為，則，即
解得或 ，所以或；
（2）因?yàn)閿?shù)列為遞增數(shù)列，，，，
所以
；
所以.
17．已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程；
(2)若函數(shù)的最小值是1，求的值.
【答案】(1)
(2).
【難度】0.85
【知識(shí)點(diǎn)】由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（不含參）、已知函數(shù)最值求參數(shù)、求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程（斜率）
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求出切線斜率，再求切點(diǎn)坐標(biāo)，利用直線點(diǎn)斜式方程即可求解；
（2）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值，根據(jù)題意，極小值即為最小值，建立方程得解.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，.
，
，即切線斜率.
所以切線方程為，即
（2）函數(shù)的定義域?yàn)?
當(dāng)時(shí)，.所以在上單調(diào)遞減，無最小值.
當(dāng)時(shí)，令，得；令，得.
所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
所以最小值為.
所以，即.
綜上所述.
18．已知函數(shù)，，
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若函數(shù)在上單調(diào)遞減，求a的取值范圍．
【答案】
(1)答案見解析
(2)
【難度】0.65
【來源】江蘇省句容市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題
【知識(shí)點(diǎn)】、由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)、含參分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
【分析】
（1）求導(dǎo)分與的大小關(guān)系討論即可；
（2）由題意在上恒成立，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求解即可.
【詳解】
（1），
則，
當(dāng)時(shí)，，
故在上，，單調(diào)遞增；
在上，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，令有，，且，
故在上，，單調(diào)遞減；
在上，，單調(diào)遞增；
在上，，單調(diào)遞減.
當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，在上，，單調(diào)遞減；
在上，，單調(diào)遞增；
在上，，單調(diào)遞減.
（2），
由題意在上恒成立，
即在上恒成立，
因?yàn)?，故，?
所以a的取值范圍為.
19．人教A版選擇性必修二第8頁中提到：歐拉函數(shù)的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)且與互素的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，例如．
(1)求的值；
(2)已知數(shù)列滿足，求的前項(xiàng)和；
(3)若數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)任意，均有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
(3)
【難度】0.65
【知識(shí)點(diǎn)】錯(cuò)位相減法求和、數(shù)列不等式恒成立問題、數(shù)列新定義
【分析】（1）根據(jù)歐拉函數(shù)的定義直接計(jì)算即可；
（2）利用錯(cuò)位相減法求和，即可得出結(jié)果；
（3）由（2）可知，求出 ，將不等式 化簡，分離參數(shù)，研究數(shù)列的單調(diào)性，求出其最大項(xiàng)的值，即可得出結(jié)果.
【詳解】（1）因?yàn)椴怀^正整數(shù)且與互素的正整數(shù)只有，所以
因?yàn)椴怀^正整數(shù)且與互素的正整數(shù)只有，所以
正偶數(shù)與不互素，所有正奇數(shù)與互素，比小的正奇數(shù)有個(gè)，所以；
（2）所有不超過正整數(shù)的正整數(shù)有個(gè)，其中與不互素的正整數(shù)有，，，，，共個(gè)，
所以所有不超過正整數(shù)，且與互素的正整數(shù)的個(gè)數(shù)為個(gè)，
即，
兩式相減得
（3）由（2）可知
，
得 恒成立，
令 ，
則 ，
可得 ； 當(dāng) 時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以的最大值為，
故
1
2
3
4
5
6
7
8
C
B
D
D
B
A
B
C