1. 設(shè)全集，則圖中陰影部分表示的集合是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先判斷表示的集合怎么表示，再利用交集和并集的定義求解即可.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>因?yàn)?，所以，?br>而陰影部分表示的集合是，
則圖中陰影部分表示的集合是，故B正確.
故選：B
2. 復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的概念可得結(jié)果.
【詳解】由題意得，，
∴.
故選：B.
3. 已知向量，，，若，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接根據(jù)平面向量的坐標(biāo)化運(yùn)算和垂直的坐標(biāo)表示即可得到方程，解出即可.
【詳解】∵向量，，，∴，
∵，∴，即得，解得，
故選：C．
4. 已知函數(shù)為奇函數(shù)且，則（ ）
A. 0B. 1C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求出，再求出函數(shù)值.
【詳解】函數(shù)為奇函數(shù)且，則，解得，
于是，所以.
故選：A
5. 已知拋物線的弦的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為5，則的最大值為（ ）
A. 12B. 11C. 10D. 9
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)拋物線定義，可得，數(shù)形結(jié)合可得，得解.
【詳解】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，，的橫坐標(biāo)分別為，，則，
拋物線的準(zhǔn)線為，則，，
，
（當(dāng)且僅當(dāng)，，共線時(shí)取等號）如圖所示，
即的最大值為12.
故選：A.

6. 某廠生產(chǎn)一批圓臺(tái)形臺(tái)燈燈罩，燈罩的上下底面都是空的，圓臺(tái)兩個(gè)底面半徑之比為，高為16cm，母線長為20cm，如果要對100個(gè)這樣的臺(tái)燈燈罩外表面涂一層防潮涂料，每平方米需要100克涂料，則共需涂料（ ）
A. 克B. 克C. 克D. 克
【答案】C
【解析】
【分析】先求圓臺(tái)的底面半徑，計(jì)算圓臺(tái)的側(cè)面積，即可得到答案.
【詳解】作圓臺(tái)的軸截面如圖：
梯形為等腰梯形，取上、下底面的中心分別為、，再取中點(diǎn)，連接，
則中，因?yàn)?，所以，，所?
所以
所以燈罩的側(cè)面積為：.
所以100個(gè)燈罩的外表面面積為：.
又每平方米需要100克涂料，所以共需涂料克.
故選：C
7. 若數(shù)列滿足，則一定等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】證明，求出數(shù)列的周期即可求解.
【詳解】由得，
所以，于是數(shù)列的周期為4，
所以
故選：D.
8. 若函數(shù)，滿足．若函數(shù)存在零點(diǎn)，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的零點(diǎn)判斷定理判斷選項(xiàng)的正誤即可．
【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>因?yàn)楹瘮?shù)在上都是增函數(shù)，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
因?yàn)?，所以?br>又因?yàn)?，則或，
若，由零點(diǎn)存在性定理；
若，而，則，由零點(diǎn)存在性定理，
綜上所述，則C一定正確.
故選：C
二、多選題
9. 下圖為2024年中國大學(xué)生使用APP偏好及目的統(tǒng)計(jì)圖，根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖，下列關(guān)于2024年中國大學(xué)生使用APP的結(jié)論正確的是（ ）
A. 超過的大學(xué)生更愛使用購物類APP
B. 超過半數(shù)的大學(xué)生使用APP是為了學(xué)習(xí)與生活需要
C. 使用APP偏好情況中7個(gè)占比數(shù)字的極差是
D. APP使用目的中6個(gè)占比數(shù)字的分位數(shù)是
【答案】AC
【解析】
【分析】選項(xiàng)A和B，根據(jù)圖表中數(shù)據(jù)，即可判斷出正誤；選項(xiàng)C，根據(jù)圖表中數(shù)據(jù)，利用極差的定義，即可求解；選項(xiàng)D，將占比數(shù)字從小到大排列，再利用百分位數(shù)的求法，即可求解.
【詳解】對于選項(xiàng)A，根據(jù)圖表知，大學(xué)生使用購物類APP占比為，所以選項(xiàng)A正確，
對于選項(xiàng)B，根據(jù)圖表知，大學(xué)生使用APP是為了學(xué)習(xí)與生活需要的占比為，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤，
對于選項(xiàng)C，根據(jù)圖表知，使用APP偏好情況中7個(gè)占比數(shù)字的極差是，所以選項(xiàng)C正確，
對于選項(xiàng)D，根據(jù)圖表知，APP使用目的中6個(gè)占比數(shù)字從小排到大分別為，
又，所以分位數(shù)是，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.
故選：AC.
10. 在正方體中，點(diǎn)為棱中點(diǎn)，則（ ）
A. 過有且只有一條直線與直線和都相交
B. 過有且只有一條直線與直線和都垂直
C. 過有且只有一個(gè)平面與直線和都平行
D. 過有且只有一個(gè)平面與直線和所成角相等
【答案】ABC
【解析】
【分析】選項(xiàng)A，由題意滿足條件的直線是平面與平面的交線，選項(xiàng)B，由線線平行的性質(zhì)結(jié)合異面直線成角的概念可判斷；從而可判斷；選項(xiàng)C，由線面平行的判定定理可判斷；選項(xiàng)D，利用空間向量法可判斷.
【詳解】如下圖所示：
對于A選項(xiàng)，過點(diǎn)與直線相交的直線必在平面內(nèi)，
過點(diǎn)與直線相交的直線必在平面內(nèi)，故滿足條件的直線必為兩平面的交線，顯然兩平面有唯一交線，A正確；
對于B選項(xiàng)，因?yàn)?，若，則，若，則平面，
顯然滿足條件的直線唯一，即，B正確；
對于C選項(xiàng)，分別取、的中點(diǎn)、，連接、，
因?yàn)?，，、分別為、的中點(diǎn)，
所以，，則四邊形為平行四邊形，
所以，又因?yàn)?，則，
因?yàn)槠矫?，平面，所以平面?br>同理可證平面，
所以過有且只有一個(gè)平面與直線和都平行，C正確；
對于D選項(xiàng)，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
不妨設(shè)正方體的棱長為，則、、、，
，，
設(shè)滿足題設(shè)條件的平面的法向量為，其中，
由題意可得，可得，即，
所以，以或?yàn)榉ㄏ蛄壳疫^點(diǎn)的平面均滿足題意，
故過有無數(shù)個(gè)平面與直線和所成角相等，D錯(cuò).
故選：ABC
11. 已知，記為集合中元素的個(gè)數(shù)，為集合中的最小元素．若非空數(shù)集，且滿足，則稱集合為“階完美集”．記為全部階完美集的個(gè)數(shù)，下列說法中正確的是（ ）
A.
B. 將階完美集的元素全部加1，得到的新集合，是階完美集
C. 若為階完美集，且，滿足條件的集合的個(gè)數(shù)為
D. 若為階完美集，且，滿足條件的集合的個(gè)數(shù)為
【答案】ABD
【解析】
【分析】通過對不同階數(shù)完美集的子集情況進(jìn)行分析來確定集合個(gè)數(shù)，同時(shí)依據(jù)完美集的性質(zhì)判斷相關(guān)結(jié)論的正確性.
【詳解】當(dāng)非空數(shù)集是子集中含個(gè)元素子集時(shí)，.根據(jù)“n階完美集”的定義，中大于等于的數(shù)有、、、共個(gè)，所以此時(shí)可以是、、、.
當(dāng)非空數(shù)集是子集中含個(gè)元素的子集時(shí)，.中大于等于的數(shù)有、、共個(gè)，所以此時(shí)可以是、、.
當(dāng)非空數(shù)集是子集中含個(gè)元素的子集時(shí)，.中大于等于的數(shù)有、共個(gè)，不滿足“n階完美集”的定義，所以中個(gè)元素的子集不滿足.
同理，中含個(gè)元素的子集也不滿足.
綜上，4階完美集有、、、、、、，所以，故A正確.
若將“n階完美集”中元素全部加，中元素個(gè)數(shù)不變，但加變大，均不違背“階完美集”的定義，所以得到的新集合是一個(gè)“階完美集”，故B正確.
若，滿足條件的集合的個(gè)數(shù)為7，而,C錯(cuò)誤；
對于滿足“階完美集”的所有，不屬于所有，可視為退化為“階完美集”的情況，總個(gè)數(shù)為.
又因?yàn)椋詽M足條件的集合要排除掉“階完美集”中只含有個(gè)元素的情形（排除個(gè)單元素集合），因此滿足條件的集合的個(gè)數(shù)均為，D正確.
故選：ABD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：新定義題型，關(guān)鍵就是讀懂題意，將陌生的概念轉(zhuǎn)化為熟悉的知識，再借助舊知解題即可.
三、填空題
12. 在多項(xiàng)式的展開式中，的系數(shù)為32，則______.
【答案】
【解析】
【分析】首先展開得，再分別計(jì)算兩部分含的系數(shù)，即可求解.
【詳解】，
中含的系數(shù)為，中含的系數(shù)為，所以中的系數(shù)為，
所以，得
故答案為：
13. 落霞與孤鶩齊飛，秋水共長天一色，滕王閣，江南三大名樓之一，因初唐詩人王勃所作《滕王閣序》而名傳千古，如圖所示，在滕王閣旁的水平地面上共線的三點(diǎn)A，B，C處測得其頂點(diǎn)P的仰角分別為30°，60°，45°，且AB＝BC＝75米，則滕王閣的高度OP＝________米．
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)，表示出，利用結(jié)合余弦定理列方程求解.
【詳解】設(shè)，
則.
由得，
由余弦定理得，
解得，即OP為米．
故答案為：.
14. 如圖，將平面直角坐標(biāo)系中的縱軸繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，構(gòu)成一個(gè)斜坐標(biāo)平面.在此斜坐標(biāo)平面中，點(diǎn)的坐標(biāo)定義如下：過點(diǎn)作兩坐標(biāo)軸的平分線，分別交兩軸于兩點(diǎn)，則在軸上表示的數(shù)為，在軸上表示的數(shù)為.那么以原點(diǎn)為圓心的單位圓在此斜坐標(biāo)系下的方程為___________.
【答案】
【解析】
【詳解】
【分析】過點(diǎn)作 ，
設(shè)在直角坐標(biāo)下的坐標(biāo)為 ，
因?yàn)椋?br>所以 ，
即，
因?yàn)樵趩挝粓A上，
所以，即，
整理得.
考點(diǎn)：圓的一般方程.
【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了與直角坐標(biāo)有關(guān)的新定義的運(yùn)算問題，對于新定義試題，要緊緊圍繞新定義，根據(jù)新定義作出合理的運(yùn)算與變換，同時(shí)著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法的應(yīng)用，屬于中檔試題，本題的解答中，設(shè)出在直角坐標(biāo)下的坐標(biāo)為，建立兩個(gè)點(diǎn)之間的變換關(guān)系，代入單位圓的方程，即可曲解軌跡方程，其中正確得到兩點(diǎn)之間的變換關(guān)系是解答的關(guān)鍵.
15. 若一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差值組成的新數(shù)列是一個(gè)等差數(shù)列，則稱這個(gè)數(shù)列是一個(gè)“二階等差數(shù)列”，已知數(shù)列是一個(gè)二階等差數(shù)列，其中．
（1）求及的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出遞推公式，求出，再利用累加法求出通項(xiàng)公式.
（2）由（1）的結(jié)論求出，利用分組求和及裂項(xiàng)相消法求和即得.
【小問1詳解】
由，得，，
由數(shù)列是一個(gè)二階等差數(shù)列，得是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，
因此，，
當(dāng)時(shí)，，
滿足上式，則，
所以的通項(xiàng)公式是.
【小問2詳解】
由（1）知，，
所以
．
16. 某中學(xué)為提升學(xué)生們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，舉辦了一場“數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)知識大賽”，分為初賽和復(fù)賽兩個(gè)環(huán)節(jié)，初賽成績排名前兩百名的學(xué)生參加復(fù)賽．已知共有8000名學(xué)生參加了初賽，現(xiàn)從參加初賽的全體學(xué)生中隨機(jī)地抽取100人的初賽成績作為樣本，得到如下頻率分布直方圖：

（1）規(guī)定初賽成績中不低于90分為優(yōu)秀，8090分為良好，7080分為一般，6070分為合格，60分以下為不合格，若從上述樣本中初賽成績不低于80分的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，求至少有1人初賽成績優(yōu)秀的概率，并求初賽成績優(yōu)秀的人數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望；
（2）由頻率分布直方圖可認(rèn)為該校全體參加初賽學(xué)生的初賽成績服從正態(tài)分布，其中可近似為樣本中的100名學(xué)生初賽成績的平均值（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替），且．已知小華的初賽成績?yōu)?5分，利用該正態(tài)分布，估計(jì)小華是否有資格參加復(fù)賽？
（參考數(shù)據(jù)：；若，則，，．
【答案】（1）至少有1人初賽成績優(yōu)秀的概率為，分布列見詳解，.
（2）估計(jì)小華有資格參加復(fù)賽.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖求得初賽成績不低于80分的學(xué)生人數(shù)，再根據(jù)超幾何分布寫出隨機(jī)變量的分布列，進(jìn)而求得概率和數(shù)學(xué)期望；
（2）根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)正態(tài)分布的均值，進(jìn)而利用原則估計(jì)全校參加初賽的學(xué)生中成績不低于85分的人數(shù)，即可估計(jì)小華是否有資格參加復(fù)賽.
【小問1詳解】
由頻率分布直方圖可知，
樣本中位于區(qū)間內(nèi)的人數(shù)：，
樣本中位于區(qū)間內(nèi)的人數(shù)：，
抽取的2人中成績優(yōu)秀的人數(shù)可能的取值有0，1，2
， ，
所以的分布列為
因此，至少有1人初賽成績優(yōu)秀的概率，
數(shù)學(xué)期望.
【小問2詳解】
由頻率分布直方圖可知：
，
由，得，又，
所以，
所以全校參加初賽學(xué)生中，不低于85分的約有人，
因?yàn)?，所以估?jì)小華有資格參加復(fù)賽.
17. 如圖，側(cè)面水平放置的正三棱臺(tái)，側(cè)棱長為為棱上的動(dòng)點(diǎn).
（1）求證：平面；
（2）是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求出點(diǎn)；若不存在，請說明理由.
【答案】（1）證明見解析
（2）存在，點(diǎn)為靠近的三等分點(diǎn)
【解析】
【分析】（1）根據(jù)棱臺(tái)的幾何性質(zhì)，結(jié)合勾股定理的逆定理、線面垂直的判定定理進(jìn)行證明即可；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.
【小問1詳解】
延長三條側(cè)棱交于一點(diǎn)，如圖所示，
因?yàn)檎馀_(tái)的側(cè)棱長為，且
所以，而，所以，
，即，同理，
，又平面，
所以平面，即平面.
【小問2詳解】
由（1）知，以為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，
所以，
，
設(shè)，
則，則.
設(shè)平面的法向量為，則，
取，則，所以，
因?yàn)橹本€與平面所成角的正弦值為，
所以，
整理得，即，解得或（舍），
故當(dāng)點(diǎn)為靠近的三等分點(diǎn)時(shí)，使得直線與平面所成角的正弦值為.
18. 已知?jiǎng)訄A與圓：和圓：都內(nèi)切，記動(dòng)圓圓心的軌跡為.
（1）求的方程；
（2）已知圓錐曲線具有如下性質(zhì)：若圓錐曲線的方程為，則曲線上一點(diǎn)處的切線方程為：.試運(yùn)用該性質(zhì)解決以下問題：點(diǎn)為直線上一點(diǎn)（不在軸上），過點(diǎn)作的兩條切線，，切點(diǎn)分別為，.
（ⅰ）證明：；
（ⅱ）點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，直線交軸于點(diǎn)，直線交曲線于，兩點(diǎn).記，的面積分別為，，求的取值范圍.
【答案】（1）；
（2）（i）證明見解析；（ii）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)橢圓的幾何定義求解動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；
（2）（i）根據(jù)題意中的性質(zhì)求解出兩條切線方程，代入點(diǎn)坐標(biāo)后，得出直線的方程，從而算出斜率，再去判斷與另一直線是否垂直；
（ii）聯(lián)立直線的方程與橢圓的方程，由韋達(dá)定理得出，進(jìn)而求解出直線與軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)，再用垂直關(guān)系又去設(shè)出直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，再用坐標(biāo)去表示出，最后可由基本不等式得出結(jié)果.
【小問1詳解】
設(shè)動(dòng)圓的半徑為，由題意得圓和圓的半徑分別為7，1，
因?yàn)榕c，都內(nèi)切，
所以，，
所以，
又，，故，
所以點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓，
設(shè)的方程為：，
則，，所以，
故的方程為：
【小問2詳解】
（i）證明：設(shè)，，，
由題意中的性質(zhì)可得，切線方程為，
切線方程為，
因?yàn)閮蓷l切線都經(jīng)過點(diǎn)，所以，，
故直線的方程為：，可得直線的斜率為：
而直線的斜率為：，
因?yàn)椋?

（ii）由直線的方程為：，可改設(shè)直線的方程為：，
聯(lián)立，整理得，
由韋達(dá)定理得，
又，所以直線的方程為，
令得，
，
所以直線經(jīng)過定點(diǎn)，又，
再由，可設(shè)直線的方程為：，
再聯(lián)立，整理得，
設(shè)，，則由韋達(dá)定理得，
因?yàn)?，所?br>，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取等號.
又因?yàn)椋?br>【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：
（1）利用兩圓相內(nèi)切的幾何關(guān)系來推導(dǎo)出橢圓的幾何定義，從而求出軌跡方程；
（2）利用曲線上某點(diǎn)的切線方程去推導(dǎo)出切點(diǎn)弦方程.
19. 定義可導(dǎo)函數(shù)p（x）在x處的函數(shù)為p（x）的“優(yōu)秀函數(shù)”，其中為p（x）的導(dǎo)函數(shù)．若，都有成立，則稱p（x）在區(qū)間D上具有“優(yōu)秀性質(zhì)”且D為（x）的“優(yōu)秀區(qū)間”．已知．
（1）求出f（x）的“優(yōu)秀區(qū)間”；
（2）設(shè)f（x）的“優(yōu)秀函數(shù)”為g（x），若方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解、．
（?。┣髆的取值范圍；
（ⅱ）證明：（參考數(shù)據(jù)：）．
【答案】（1）
（2）（ⅰ）；（ⅱ）證明見解析
【解析】
【分析】（1）先根據(jù)“優(yōu)秀函數(shù)”的定義，求出的“優(yōu)秀函數(shù)”，再利用作差法比較和的大小關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)，對的分子分母分別判斷正負(fù)，進(jìn)而求得f（x）的“優(yōu)秀區(qū)間”；
（2）（?。Ψ蛛x常數(shù)，求出，構(gòu)造函數(shù)，由的單調(diào)性求得的最值，進(jìn)而得到m的取值范圍；
（ⅱ）先分析出要證，即證，再構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)的單調(diào)性，求得，再構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)的單調(diào)性，求得，可推得，又由的單調(diào)性，求得，從而得到，進(jìn)而得證.
【小問1詳解】
當(dāng)時(shí)，
的“優(yōu)秀函數(shù)”為，
，
令，則，
令，解得；令，解得，
所以當(dāng)時(shí)，h（x）單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，h（x）單調(diào)遞增，
故．
當(dāng)時(shí)，，則，，f（x）不具有“優(yōu)秀性質(zhì)”；
當(dāng)時(shí)，，則，，f（x）具有“優(yōu)秀性質(zhì)”．
故f（x）的“優(yōu)秀區(qū)間”為．
【小問2詳解】
（?。┘?，所以，
所以，故，
令，則，
令，解得；令，解得，
故當(dāng)時(shí)，k（x）單調(diào)遞減；時(shí)，k（x）單調(diào)遞增．
，
當(dāng)時(shí)，；時(shí)，，
，故．
即m的取值范圍為．
（ⅱ）由、為方程的兩個(gè)解可知：，
要證，即證，
令，，
令，，
則N（x）單調(diào)遞增，故，
所以時(shí)，，故M（x）在上單調(diào)遞增，
則．
令，
，
令，則，
故G（x）在上單調(diào)遞增，．即，
故Q（x）在上單調(diào)遞增．故，
即，成立，
因?yàn)?，則，
又，，k（x）在（0，1）單調(diào)遞減，則，即，
故,所以，
所以.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題主要考查了函數(shù)新定義問題以及利用導(dǎo)數(shù)研究不等式問題，通常首先要構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進(jìn)而得出相應(yīng)的不等式；對含有參數(shù)的函數(shù)，也可先分離變量，再構(gòu)造函數(shù)，直接把不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.X
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