一、單選題（本大題共8小題）
1．已知數(shù)列，則是它的（ ）
A．第9項B．第10項C．第13項D．第12項
2．已知數(shù)列，則“，，”是“數(shù)列為等差數(shù)列”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
3．已知在等差數(shù)列中，，則（ ）
A．18B．16C．20D．17
4．利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的過程中，由到時，左邊增加了（ ）
A．項B．項C．k項D．1項
5．?dāng)?shù)列中，，，則的值為（ ）
A．B．C．5D．
6．某電動汽車剛上市，就引起了小胡的關(guān)注，小胡2024年5月1日向銀行貸款元用來購買該電動汽車，銀行貸款的月利率是，并按復(fù)利計息.若每月月底還銀行相同金額的貸款，到2025年4月底全部還清（即用12個月等額還款），則小胡每個月月底需要還款（ ）
A．元B．元C．元D．元
7．已知數(shù)列的通項公式為，前項的和為，則取到最小值時的值是（ ）
A．B．C．D．
8．設(shè)數(shù)列滿足，，，若表示大于的最小整數(shù)，如，，記，則數(shù)列的前2025項之和為（ ）
A．4052B．4051C．4050D．4049
二、多選題（本大題共3小題）
9．下列說法正確的是（ ）
A．-30是等差數(shù)列-1，-5，-9，…的第8項
B．在等差數(shù)列中，公差，則數(shù)列單調(diào)遞增
C．存在實數(shù)，，使1，，2，，4成等比數(shù)列
D．若等比數(shù)列的前n項和為，則，，成等比數(shù)列
10．已知數(shù)列是等差數(shù)列，為數(shù)列的前項和，則下列說法中正確的是（ ）
A．若，數(shù)列的前10項和或前11項和最大，則等差數(shù)列的公差
B．若，，則使成立的最大的為4039
C．若，，則
D．若，，則
11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點均在x軸正半軸上，點均在y軸正半軸上.已知，，四邊形均為長方形.當(dāng)時，記為第個倒“L”形，則（ ）
A．第10個倒"L"形的面積為121
B．長方形的面積為
C．點均在曲線
D．不能被110整除
三、填空題（本大題共3小題）
12．已知各項為正數(shù)的數(shù)列是等比數(shù)列，且其前n項和為.若，，則公比 .
13．已知數(shù)列滿足，若對于任意都有，則實數(shù)a的取值范圍是 .
14．已知數(shù)列滿足.且，若，則 .
四、解答題（本大題共5小題）
15．已知等差數(shù)列的公差為，是等比數(shù)列，．
(1)求和的通項公式；
(2)求數(shù)列的前項和．
16．已知，數(shù)列的前項和為，點均在函數(shù)的圖象上.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若，令，求數(shù)列的前2024項和.
17．設(shè)是各項都為正數(shù)的遞增數(shù)列，已知，且滿足關(guān)系式，.
(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)令，求數(shù)列的前項的和.
18．已知數(shù)列的前項和為，，.
(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)若，求數(shù)列的前項和；
(3)若，求使取得最大值時的的值.
19．已知數(shù)列滿足．
(1)求的通項公式；
(2)在和之間插入個數(shù)，使這個數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，記這個等差數(shù)列的公差為，求數(shù)列的前項和．
(3)若不等式對任意的恒成立，求的取值范圍．
參考答案
1．【答案】C
【詳解】數(shù)列，即數(shù)列的通項公式是，
令，所以是它的第13項.
故選C.
2．【答案】A
【詳解】充分性：若對，，都有，
則令,得,即，因為為常數(shù),所以數(shù)列為等差數(shù)列;
必要性:等差數(shù)列不一定滿足,,,
例如:當(dāng)?shù)炔顢?shù)列通項公式為時,,,
此時,所以,,”是“數(shù)列為等差數(shù)列的充分不必要條件.
故選A
3．【答案】A
【詳解】因為，所以，又，所以，所以．
故選A．
4．【答案】B
【詳解】當(dāng)時，不等式左邊為，
當(dāng)時，不等式左邊為，
故增加的項數(shù)為：.
故選B.
5．【答案】D
【詳解】在數(shù)列中，，
則，
因此數(shù)列是周期數(shù)列且周期為3，由，得，
所以.
故選D.
6．【答案】C
【詳解】設(shè)小胡每月月底還款錢數(shù)為元，根據(jù)等額本息還款法可得：
第1次還款后欠銀行貸款為，
第2次還款后欠銀行貸款為，
…，
第12次還款后欠銀行貸款為
，
因為貸款12個月還清，所以，即，
所以.
故選C.
7．【答案】B
【詳解】，
由，得，解得或，
因為，所以當(dāng)或時，，當(dāng)時，，
所以當(dāng)時，取得最小值.
故選B.
8．【答案】B
【詳解】由，得，
所以數(shù)列為公差為2的等差數(shù)列，首項為，
，
則
，
，
又，當(dāng)時，，故，
所以數(shù)列的前2025項之和為.
故選B.
9．【答案】BC
【詳解】對于A項，易知等差數(shù)列的通項為，則，故A項錯誤；
對于B項，等差數(shù)列的公差，則數(shù)列是遞增數(shù)列，故B項正確；
對于C項，若存在實數(shù)a，b，使得成等比數(shù)列，則，，解得，當(dāng)同號時成等比數(shù)列，故C項正確；
對于D項，設(shè)的公比為.
當(dāng)時，有，不滿足等比數(shù)列，故D項錯誤.
故選BC.
10．【答案】BCD
【詳解】對于A，由，前10項和或前11項和最大，則，所以，，故A錯誤；
對于B，由，，則數(shù)列單調(diào)遞減，且，
，所以，
，，則使得成立的最大的為4039，故B正確；
對于C，由，解得，，
，故C正確；
對于D，因為成等差數(shù)列，即成等差數(shù)列，
所以，解得，故D正確.
故選BCD.
11．【答案】ABC
【詳解】設(shè)長方形的面積為，，
因，，
則，故B正確；
則第個倒“L”形的面積為，故A正確；
由，得，則C正確；
，而，則D錯誤；
故選ABC.
12．【答案】2
【詳解】若，，則，
，
所以，由，解得.
13．【答案】
【詳解】對任意的，都有，
數(shù)列單調(diào)遞減，可知.
當(dāng)時，若，單調(diào)遞減，
而時，單調(diào)遞減，
只需，解得，；
當(dāng)時，若，單調(diào)遞增，應(yīng)舍去.
綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是.
14．【答案】
【詳解】因為，所以，
又，則，
所以
，
故，則，
所以，
則的各項分別為，
所以
.
15．【答案】(1)，
(2)
【詳解】（1）設(shè)的公比為．
因為，所以，故．
又，所以．
（2）記和的前項和分別為，，則．
又，
，
所以．
16．【答案】(1)；
(2)1012.
【詳解】（1）因為點均在函數(shù)的圖象上，
所以，當(dāng)時，，即，
當(dāng)時，
，
因為滿足上式，
所以；
（2）因為，
所以，
因為，所以，
所以
①，
又
②，
①+②可得，
所以.
17．【答案】(1)證明見解析；
(2).
【詳解】（1）由是各項都為正數(shù)的遞增數(shù)列，得，
而，則，整理得，
因此，所以數(shù)列是等差數(shù)列.
（2）由（1）知，，
則，
，
所以
.
18．【答案】(1)證明見解析
(2)
(3)或
【詳解】（1）由得，則，
整理得，
當(dāng)時，，的，
所以數(shù)列是等比數(shù)列，公比為.
（2）由（1）得，則，
.
（3），
當(dāng)時，令，解得，
所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以，即，
綜上可得，當(dāng)或時，取得最大值.
19．【答案】(1)；
(2)；
(3).
【詳解】（1）∵①，
當(dāng)時，②，
①②，得．
所以，
當(dāng)時，，滿足上式，
所以的通項公式為．
（2）由（1）知，得，
則③，
④，
③④得，
所以．
（3）得，
又因為
當(dāng)為奇數(shù)時，由對任意的恒成立，得
，即
當(dāng)為偶數(shù)時，由對任意的恒成立，得
，即，
所以.

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