1. 某地區(qū)組織了一次高三全體學(xué)生的模擬考試，經(jīng)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)成績近似服從正態(tài)分布，已知數(shù)學(xué)成績高于115分的人數(shù)與低于75分的人數(shù)相同，那么估計本次考試的數(shù)學(xué)平均分為（ ）
A. 85B. 90C. 95D. 100
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)正態(tài)密度曲線的對稱性求解即可.
【詳解】由正態(tài)密度曲線的對稱性，數(shù)學(xué)成績高于115分的人數(shù)與低于75分的人數(shù)相同，
所以，
故選：C
2. 在的展開式中，的系數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】寫出二項展開式，令，解出然后回代入二項展開式系數(shù)即可得解.
【詳解】的二項展開式為，
令，解得，
故所求即為.
故選：A.
3. 某學(xué)校文藝匯演準(zhǔn)備從甲、乙、丙、丁、戊5人中選4人參加演出．要求甲和乙必須同時參加，且他們的演出順序必須滿足甲在前、乙在后，那么不同的演出順序種數(shù)有（ ）
A. 18種B. 24種C. 36種D. 72種
【答案】C
【解析】
【分析】除了甲乙外，再選2人，從而利用倍縮法進行求解.
【詳解】先從丙、丁、戊3人中選2人，有種，再把4人排列滿足甲在前、乙在后，有，∴總共有種．
故選：C
4. 已知，，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
分析】先根據(jù)求出，再根據(jù)條件概率公式即可得解.
【詳解】因為，，，
所以，
則，所以.
故選：A.
5. 甲、乙兩人進行比賽，假設(shè)每局甲勝概率為0.6，乙勝的概率為0.4，且各局比賽互不影響．若采取“5局3勝制”，則概率最大的比賽結(jié)果是（ ）
A. 乙贏得比賽B. 甲贏得比賽
C. 甲贏得比賽D. 甲贏得比賽
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)二項分布的概率公式一一計算比較大小即可.
【詳解】若乙贏得比賽，即乙前四場贏兩場，第五場贏，
故其概率為：；
同理若甲贏得比賽，其概率為：；
若甲贏得比賽，即甲前三場都贏，其概率為：；
若甲贏得比賽，即甲前三場贏兩場，第四場贏，其概率為：，
綜上甲贏得比賽，其概率最大.
故選：C
6. 從正整數(shù)中取出100個不同的數(shù)組成遞增的等差數(shù)列，這樣的數(shù)列共有（ ）
A. 4555個B. 4654個C. 5445個D. 5500個
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)題意有首項和公差要滿足，且，，于每一個公差，首項范圍為，共有種情況，最后求和計算即可.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列首項為，公差為，則從正整數(shù)中取出100個不同的數(shù)組成遞增的等差數(shù)列，
要滿足，且，，
對于每一個公差，首項的范圍為，共有種情況，
所以滿足條件的遞增等差數(shù)列個數(shù)為：，
故選：A.
7. 現(xiàn)將《西游記》、《紅樓夢》、《水滸傳》、《三國演義》、《史記》、《資治通鑒》6本不同的書籍分發(fā)給甲乙丙3人，每人至少分得1本，已知《西游記》分發(fā)給了甲，則不同的分發(fā)方式種數(shù)是（ ）
A. 180B. 150C. 120D. 210
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)題意，分2步進行分析：①將6本不同的書籍分為3組，每組至少1本，②將《西游記》所在的組分發(fā)給了甲，剩下2組任意分配，由分步計數(shù)原理計算可得答案．
【詳解】根據(jù)題意，分2步進行分析：
①將6本不同的書籍分為3組，每組至少1本，
若分為4、1、1的三組，有種分組方法，
若分為3，2，1的三組，有種分組方法，
若分為2，2，2的三組，有種分組方法，
共有種分組方法，
②將《西游記》所在的組分發(fā)給了甲，剩下2組任意分配，有2種情況，
則有種分發(fā)方式．
故選：A．
8. 飛行棋是一種家喻戶曉的競技游戲，玩家根據(jù)骰子（骰子為均勻的正六面體）正面朝上的點數(shù)確定飛機往前走的步數(shù)，剛好走到終點處算“到達”，如果玩家投擲的骰子點數(shù)超出到達終點所需的步數(shù)，則飛機須往回走超出點數(shù)對應(yīng)的步數(shù).在一次游戲中，飛機距終點只剩3步（如圖所示），設(shè)該玩家到達終點時投擲骰子的次數(shù)為，則（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】先確定的分布列，再結(jié)合錯位相減法及無窮數(shù)列的和求期望.
【詳解】玩家投擲1次即可到達終點的方法是擲出3點，故.
玩家投擲2次即可到達終點的方法是擲出，，，，，故.
玩家投擲3次即可到達終點的方法是擲出，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，故.
設(shè)玩家投擲次即可到達終點，那么第次擲得的點數(shù)可以為，分別記作，，，，，則玩家投擲次的基本事件是投擲次的倍，能到達終點的擲法：之前的對應(yīng)，，，，；對應(yīng)，，，，；對應(yīng)，，，，；對應(yīng)，，，，；對應(yīng)，，，，.是投擲次即可到達終點的倍.
所以是以為首項，以為公比的等比數(shù)列.所以.
所以
即
兩邊同乘以得：
兩式相減得：.
故選：D
【點睛】結(jié)論點睛：若數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，當(dāng)且時，數(shù)列的所有項的和為：.
二?多選題
9. 若，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】AC
【解析】
【分析】利用賦值法即可逐一求解.
【詳解】令，則，故A正確，
令可得，故，故B錯誤，
令可得，故，故C正確，
令可得，，故D錯誤，
故選：AC
10. 下列選項中正確的是（ ）
A. 已知隨機變量服從二項分布，則
B. 口袋中有大小相同的7個紅球、2個藍球和1個黑球．從中任取兩個球，記其中紅球的個數(shù)為隨機變量，則的數(shù)學(xué)期望
C. 對標(biāo)有不同編號的6件正品和4件次品的產(chǎn)品進行檢測，從中任取2件，已知其中一件為正品，則另一件也為正品的概率是
D. 某射擊運動員每次射擊擊中目標(biāo)的概率為0.8，則在9次射擊中，最有可能擊中的次數(shù)是7次
【答案】BC
【解析】
【分析】由二項分布的方差公式、超幾何分布的均值公式分別判斷AB，由條件概率與對立事件關(guān)系判斷C，由二項分布的性質(zhì)判斷D．
【詳解】A選項，，，，A錯誤；
B選項，X服從超幾何分布，，，B正確；
C選項，根據(jù)題意，設(shè)“第一次摸出正品”為事件A，“第二次摸出正品”為事件B，則
,，，故C正確；
D選項，設(shè)9次射擊擊中k次概率最大，
則，解得，所以同時最大，故或，D錯誤．
故選：BC．
11. 已知表示中最小的數(shù)，表示中最大的數(shù).若為的任意排列，設(shè)，，則（ ）
A. 排列總數(shù)為720個B. 滿足的排列有80個
C. 的概率為D. 的概率為
【答案】ACD
【解析】
【分析】在深刻理解題意的基礎(chǔ)上對每個選項逐一判斷.其中選項A是全排列問題，選項B需要先選后排，選項C，D可以列一列再研究.
【詳解】A，1，2，3，4，5，6的任意排列方法總數(shù)為個，所以A正確；
B，若，則先從1，2，3，4，5，6中隨機選出3個數(shù)，共有種不同的方法，
再將剩下3個數(shù)任意排列，共有種不同的方法，
則滿足的排列有個，所以B錯誤；
CD，因為，，，，
，，，，
，，，，
，，，，
，，，，
，，，，
，，，，
，，，，
，，，，
，，，，
共有10種不同的情況，則的概率為，所以C正確；
的概率為，所以D正確.
故選：ACD.
三?填空題
12. 的展開式中的系數(shù)為______（用數(shù)字作答）
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合二項式的展開式的性質(zhì)，準(zhǔn)確計算，即可求解.
【詳解】由題意，多項式的展開式中含有的項為：
，
所以的系數(shù)為．
故答案為：.
13. 如圖，一個質(zhì)點在隨機外力的作用下，從0出發(fā)，每次等可能地向左或向右移動一個單位，共移動3次，設(shè)質(zhì)點最終所在位置的坐標(biāo)為，則______．
【答案】3
【解析】
【分析】利用概率乘法公式求解概率，即可根據(jù)方差的計算公式求解.
【詳解】的可能取值為，
所以，
，
，
，
則，
所以．
故答案為：3
14. 現(xiàn)有質(zhì)量分別為千克的六件貨物，將它們隨機打包裝入三個不同的箱子，每個箱子裝入兩件貨物，每件貨物只能裝入一個箱子.則第一?二個箱子的總質(zhì)量均不小于第三個箱子的總質(zhì)量的概率是__________.
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)條件概率和全概率公式的概率公式求解.
【詳解】由于六件貨物的質(zhì)量之和不是3的倍數(shù)，因而不可能出現(xiàn)三個箱子的總重量都相同的情況.
設(shè)事件表示存在兩個箱子，它們的總質(zhì)量相同且同時最小，事件表示第一?二個箱子的總質(zhì)量均不小于第三個箱子的總質(zhì)量.
考慮三個箱子的擺放順序，可得.
當(dāng)發(fā)生時，這兩個箱子的貨物組合只能是和和和三種可能，故.
當(dāng)不發(fā)生時，表示僅有一個箱子的總質(zhì)量最小，于是由對稱性，得.
故
故答案為：.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解題的關(guān)鍵是 求出，以及，利用全概率公式求解.
四?解答題
15. 已知的展開式中，第4項的系數(shù)與倒數(shù)第4項的系數(shù)之比為.
（1）求m的值；
（2）求展開式中所有項的系數(shù)和與二項式系數(shù)和；
（3）將展開式中所有項重新排列，求有理項不相鄰的概率.
【答案】（1）7；（2）128；（3）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)二項展開式的通項公式即可獲解；
（2）令即可獲解；
（3）求出有理項的個數(shù)，再用插空法即可.
【詳解】（1）展開式的通項為，
∴展開式中第4項的系數(shù)為，倒數(shù)第4項的系數(shù)為，
，即.
（2）令可得展開式中所有項的系數(shù)和為，展開式中所有項的二項式系數(shù)和為.
（3）展開式共有8項，由（1）可得當(dāng)為整數(shù)，即時為有理項，共4項，
∴由插空法可得有理項不相鄰的概率為.
16. 為慶祝黨的二十大勝利閉幕，某校高二級部組織全體同學(xué)進行了主題為“二十大精神進校園，培根鑄魂育新人”的二十大知識競賽，并選出了4名女生和3名男生共7名優(yōu)勝者．賽后，7名同學(xué)站成一排，照相留念．
（1）女生必須站在一起的站隊方式有多少種？
（2）男生甲不與其他男生相鄰的站隊方式有多少種？
（3）現(xiàn)在要求這7名同學(xué)分成三個宣講小組分別去給高一、高二、高三三個年級的同學(xué)做二十大學(xué)習(xí)成果匯報，要求每個小組必須既有男生又有女生，問有多少種安排方案？
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用捆綁法，女生看成整體與男生排列，再考慮女生內(nèi)部排列；
（2）男生甲不與其他男生相鄰，則相鄰的只能是女生，分甲站在兩端和甲不站兩端兩種情況討論，選出女生與甲看作整體，與剩下的人排列即可；
（3）分別將男生女生分分給三個年級，由此求解即可.
【小問1詳解】
女生必須站在一起，利用捆綁法，
先將四個女生看成一個整體，再與其他三個男生排列，
則有種站隊方式；
【小問2詳解】
若甲站在兩端，則甲有種站法，
再選一名女生與甲相鄰，有種選法，
再將把其他人排列，有排法，
則甲站在兩端有種，
若甲不站兩端，則可先在甲兩邊分別安排一名女生，有種選法，
再將這三個人看成一個整體與其他人排列，有種排法，
則甲不站兩端有種，
所以男生甲不與其他男生相鄰的站隊方式有種；
【小問3詳解】
先選名女生分到三個年級，有種，
再將個男生分到三個年級，有種，
所以共有種.
17. 機器人甲、乙分別在兩個不透明的箱子中取球，甲先箱子中取2個或3個小球放入箱子，然后乙再從箱子中取2個或3個小球放回箱子，這樣稱為一個回合．已知甲從箱子中取2個小球的概率為，取3個小球的概率為；乙從箱子中取2個小球的概率為，取3個小球的概率為．現(xiàn)兩個箱子各有除顏色外其它都相同的6個小球，其中箱子中有3個紅球，3個白球；箱子中有2個紅球，4個白球．
（1）求第一個回合甲從箱子取出的球中有2個紅球的概率；
（2）求第一個回合后箱子和箱子中小球個數(shù)相同的概率；
（3）兩個回合后，用表示箱子中小球個數(shù)，用表示箱子中小球個數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．
【答案】（1）
（2）
（3）分布列見解析，
【解析】
【分析】（1）根據(jù)離散型隨機變量的性質(zhì)結(jié)合條件概率求解即可.
（2）根據(jù)概率公式進行求解即可.
（3）先求出隨機變量的值，再分別求出各自的概率，列出分布列，求出數(shù)學(xué)期望.
【小問1詳解】
在第一個回合中，記事件表示“甲從箱子中取出2個球”，
事件表示“甲從箱子中取出3個球”，
事件表示“甲從箱子取出的球中有2個紅球”，
則
【小問2詳解】
第一個回合后，箱子和箱子中小球個數(shù)相同，即甲從箱子中取出小球的個數(shù)與乙從箱子中取出小球的個數(shù)一樣，所以，．
【小問3詳解】
每一個回合后，兩個箱子小球數(shù)都保持不變的概率，
箱子小球數(shù)減少1個，箱子小球數(shù)增加1個的概率，
箱子小球數(shù)增加1個，箱子小球數(shù)減少1個的概率
兩個回合后，所有可能值為
所以隨機變量的分布列為
所以．
18. 有，，，，，，，八名運動員參加乒乓球賽事，該賽事采用預(yù)賽，半決賽和決賽三輪淘汰制決定最后的冠軍、八名運動員在比賽開始前抽簽隨機決定各自的位置編號，已知這七名運動員互相對決時彼此間的獲勝概率均為，運動員與其它運動員對決時，獲勝的概率為，每場對決沒有平局，且結(jié)果相互獨立．
（1）求這八名運動員各自獲得冠軍的概率；
（2）求與對決過且最后獲得冠軍的概率；
（3）求與對決過且最后獲得冠軍的概率．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用獨立事件的乘法公式即可得到答案；
（2）分別求出與在第1,2,3輪對決且勝利的概率，最后相加即可；
（3）求出沒有與對決過且最后獲得冠軍的概率，再利用條件概率和全概率公式計算即可.
【小問1詳解】
奪冠即為三輪比賽都獲勝，所以奪冠的概率為．
由題意，七名運動員水平相同，且八名運動各自奪冠概率之和為1．
所以七名運動員各自奪冠的概率均為．
【小問2詳解】
記事件＂獲得冠軍＂，事件＂與對決過＂，事件“與在第輪對決”，．
不妨設(shè)在①號位，則在第1,2,3輪能與對決時其位置編號分別為②，③④，⑤⑥⑦⑧．
，
，
，
，
所以.
【小問3詳解】
記事件“與對決過”．
沒有與對決過且最后獲得冠軍的概率．
由題意，六名運動員與對決過的概率相同，奪冠時共與三名運動員對決．
所以．
代入得：．
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第三問的關(guān)鍵是利用全概率公式計算出相關(guān)概率.
19. 如今我們的互聯(lián)網(wǎng)生活日益豐富，除了可以很方便地網(wǎng)購，網(wǎng)絡(luò)外賣也開始成為不少人日常生活中重要的一部分，其中大學(xué)生更是頻頻使用網(wǎng)絡(luò)外賣服務(wù).市教育主管部門為掌握網(wǎng)絡(luò)外賣在該市各大學(xué)的發(fā)展情況，在某月從該市大學(xué)生中隨機調(diào)查了人，并將這人在本月的網(wǎng)絡(luò)外賣的消費金額制成如下頻數(shù)分布表（已知每人每月網(wǎng)絡(luò)外賣消費金額不超過元）：
由頻數(shù)分布表可以認為，該市大學(xué)生網(wǎng)絡(luò)外賣消費金額（單位：元）近似地服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)（每組數(shù)據(jù)取區(qū)間的中點值，）.現(xiàn)從該市任取名大學(xué)生，記其中網(wǎng)絡(luò)外賣消費金額恰在元至元之間的人數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望；
市某大學(xué)后勤部為鼓勵大學(xué)生在食堂消費，特地給參與本次問卷調(diào)查的大學(xué)生每人發(fā)放價值元的飯卡，并推出一檔“勇闖關(guān)，送大獎”的活動.規(guī)則是：在某張方格圖上標(biāo)有第格、第格、第格、…、第格共個方格.棋子開始在第格，然后擲一枚均勻的硬幣（已知硬幣出現(xiàn)正、反面的概率都是，其中），若擲出正面，將棋子向前移動一格（從到），若擲出反面，則將棋子向前移動兩格（從到）.重復(fù)多次，若這枚棋子最終停在第格，則認為“闖關(guān)成功”，并贈送元充值飯卡；若這枚棋子最終停在第格，則認為“闖關(guān)失敗”，不再獲得其他獎勵，活動結(jié)束.
①設(shè)棋子移到第格的概率為，求證：當(dāng)時，是等比數(shù)列；
②若某大學(xué)生參與這檔“闖關(guān)游戲”，試比較該大學(xué)生闖關(guān)成功與闖關(guān)失敗的概率大小，并說明理由.
參考數(shù)據(jù)：若隨機變量服從正態(tài)分布，則，，.
【答案】；①證明見解析；②闖關(guān)成功的概率大于闖關(guān)失敗的概率，理由見解析.
【解析】
【分析】
根據(jù)數(shù)據(jù)算出，由服從正態(tài)分布，算出概率，即，進而算出的數(shù)學(xué)期望；
①棋子開始在第格為必然事件，.第一次擲硬幣出現(xiàn)正面，棋子移到第格，其概率為，即.棋子移到第格的情況是下列兩種，即棋子先到第格，又擲出反面，其概率為；棋子先到第格，又擲出正面，其概率為.所以.即，進而求證當(dāng)時，是等比數(shù)列；②由①知，，，，，得，所以，算出相應(yīng)概率判斷出闖關(guān)成功的概率大于闖關(guān)失敗的概率.
【詳解】解：
，
因為服從正態(tài)分布，所以.
所以，
所以的數(shù)學(xué)期望為.
①棋子開始在第格為必然事件，.
第一次擲硬幣出現(xiàn)正面，棋子移到第格，其概率為，即.
棋子移到第格的情況是下列兩種，而且也只有兩種：
棋子先到第格，又擲出反面，其概率為；
棋子先到第格，又擲出正面，其概率為，
所以，
即，且，
所以當(dāng)時，數(shù)列是首項，公比為的等比數(shù)列.
②由①知，，，，，
以上各式相加，得，
所以.
所以闖關(guān)成功的概率為，
闖關(guān)失敗的概率為.
，
所以該大學(xué)生闖關(guān)成功的概率大于闖關(guān)失敗的概率.
【點睛】本題考查了根據(jù)已知數(shù)據(jù)求平均數(shù)，正態(tài)分布求概率，等比數(shù)列的證明以及數(shù)學(xué)期望的求法，題目較為綜合，屬于難題.0
2
4
消費金額（單位：百元）
頻數(shù)

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