1. 已知函數(shù)在處可導(dǎo)，且則（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義計(jì)算可得.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在處可導(dǎo)，且，
所以.
故選：A
2. 曲線在點(diǎn)處的切線方程為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到，結(jié)合直線的點(diǎn)斜式方程，即可求解.
【詳解】由題意，函數(shù)，可得，
又由，則，即切線的斜率為，
所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.
故選：A.
3. 曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行，則（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】確定曲線在點(diǎn)處的切線的斜率，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求得答案.
【詳解】因?yàn)榍€在點(diǎn)處的切線與直線平行，
故曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為2，
因?yàn)?，所以?br>所以，
故選：C.
4. 下列導(dǎo)數(shù)運(yùn)算正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接根據(jù)基本初等函數(shù)求導(dǎo)法則以及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則計(jì)算即可.
【詳解】因?yàn)椋?，?
故選：C.
5. 已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是，且，則實(shí)數(shù)a的值為（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】求出，由可得答案．
【詳解】，則，解得．
故選：B.
6. 若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用函數(shù)在區(qū)間上的導(dǎo)函數(shù)為非負(fù)數(shù)，列不等式，解不等式即可求得的取值范圍.
【詳解】由題意得，
在區(qū)間上恒成立，
即在區(qū)間上恒成立，
又函數(shù)在上單調(diào)遞增，得，
所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選：B
7. 若曲線與曲線在交點(diǎn)處有公切線，則
A. B. 0
C. 2D. 1
【答案】D
【解析】
【詳解】分析：由曲線與曲線在交點(diǎn)處有公切線，根據(jù)斜率相等，求解，根據(jù)點(diǎn)在曲線上，求得，進(jìn)而求得的值，即可求解．
詳解：由曲線，得，則，
由曲線，得，則，
因?yàn)榍€與曲線在交點(diǎn)處有公切線，
所以，解得，
又由，即交點(diǎn)為，
將代入曲線，得，所以，故選D．
點(diǎn)睛：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，其中解答中根據(jù)在點(diǎn)處的公切線，建立方程求解是解答的關(guān)鍵，，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，以及推理與運(yùn)算能力．
8. 若直線與曲線和曲線同時(shí)相切，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】設(shè)出切點(diǎn)，由導(dǎo)數(shù)的意義，根據(jù)兩直線的斜率相等求出，再由，求出即可.
【詳解】設(shè)直線直線與曲線相切于，
與曲線相切于點(diǎn)，
曲線，其導(dǎo)數(shù)，則有，
則在點(diǎn)處切線的方程為，
即，曲線，其導(dǎo)數(shù)，則有，
則在處切線的方程為，即，
則有，則有，
又由，則有，則，
則；
故選：A．
二、多項(xiàng)選擇題本題共 3 小題，每小題 6 分，共 18 分. 在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求. 全部選對(duì)得 6 分，部分選對(duì)的得部分分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）
9. 下列求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可判斷各選項(xiàng)的正誤.
【詳解】選項(xiàng)A:正確；
選項(xiàng)B: 錯(cuò)誤；
選項(xiàng)C：正確；
選項(xiàng)D：，正確；
故選：ACD
10. 已知函數(shù)，則函數(shù)在下列區(qū)間上單調(diào)遞增的有（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】由導(dǎo)函數(shù)大于0求出單調(diào)遞增區(qū)間，得到答案.
【詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)镽，
，
令得：或，
所以在區(qū)間，上單調(diào)遞增．
故選：AC．
11. 設(shè)函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 的定義域是
B. 當(dāng)時(shí)，的圖象位于x軸下方
C. 存在單調(diào)遞增區(qū)間
D. 有兩個(gè)單調(diào)區(qū)間
【答案】BC
【解析】
【分析】由函數(shù)定義域的求解可判斷A,根據(jù)基本函數(shù)的性質(zhì)可判斷當(dāng)時(shí)，可判斷B,根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系即可判斷C,D.
【詳解】由，得且，所以函數(shù)的定義域?yàn)椋訟不正確.
當(dāng)時(shí)，，，所以，所以當(dāng)時(shí)，的圖象位于x軸下方，所以B正確.
，令，則，所以函數(shù)單調(diào)遞增， ，故存在，使得，則函數(shù)只有一個(gè)根，當(dāng)和時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，所以函數(shù)有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，所以C正確，D不正確.
故選：BC
三、填空題本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分.
12. 已知函數(shù)的圖象在處的切線與直線垂直，則實(shí)數(shù)a的值為_________.
【答案】3
【解析】
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，再根據(jù)直線垂直即可求解.
【詳解】函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，
故函數(shù)在處的切線的斜率為.
∵直線的斜率為，切線與直線垂直，
所以，解得.
故答案為：3.
13. 已知函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，列出不等式即可求解.
【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，
依題意，不等式在上有解，等價(jià)于在上有解，
而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則，
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
故答案為：．
14. 若對(duì)任意的、，且，，則的最小值是_______________________．
【答案】
【解析】
【分析】分析出函數(shù)在上為減函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，即可求得實(shí)數(shù)的最小值.
【詳解】對(duì)任意的、，且，，易知，
則，所以，，即，
令，則函數(shù)在上為減函數(shù)，
因?yàn)?，由，可得?br>所以函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為，
所以，，所以，，因此，實(shí)數(shù)的最小值為.
故答案為：.
四、解答題本題共 5 小題，共 77 分.
15. 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】（1）（2）（3）（4）根據(jù)基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式，結(jié)合求導(dǎo)法則即可逐一求解.
【小問(wèn)1詳解】
由可得
【小問(wèn)2詳解】
由可得
【小問(wèn)3詳解】
由得
【小問(wèn)4詳解】
由得
16. 已知函數(shù).
（1）求曲線與直線垂直的切線方程；
（2）若過(guò)點(diǎn)的直線與曲線相切，求直線的斜率.
【答案】（1）
（2）或5
【解析】
【分析】（1）求出切線的斜率，再寫出切線方程；
（2）根據(jù)切線的斜率與直線的方程列方程組求解即可.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)樾甭蕿?，所以?br>所以，又.
所以所求切線方程為，即.
【小問(wèn)2詳解】
，設(shè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，直線的斜率為，直線的方程：，
則
則，整理得，所以，
所以或5.
17. 設(shè)函數(shù).
（1）若在點(diǎn)處的切線為，求a，b的值；
（2）求的單調(diào)區(qū)間.
【答案】（1），；
（2）答案見(jiàn)解析.
【解析】
【分析】（1）已知切線求方程參數(shù)，第一步求導(dǎo)，切點(diǎn)在曲線，切點(diǎn)在切線，切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為切線斜率.
(2)第一步定義域，第二步求導(dǎo)，第三步令導(dǎo)數(shù)大于或小于0，求解析，即可得到答案.
【小問(wèn)1詳解】
定義域?yàn)?，?br>因?yàn)樵邳c(diǎn)處的切線為，
所以，所以；所以
把點(diǎn)代入得：.
即a，b的值為：，.
【小問(wèn)2詳解】
由（1）知：.
①當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以在單調(diào)遞減；
②當(dāng)時(shí)，令，解得：，
列表得：
所以，時(shí)，的遞減區(qū)間為，單增區(qū)間為.
綜上所述：當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，的遞減區(qū)間為，單增區(qū)間為.
【點(diǎn)睛】導(dǎo)函數(shù)中得切線問(wèn)題第一步求導(dǎo)，第二步列切點(diǎn)在曲線，切點(diǎn)在切線，切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為切線斜率這三個(gè)方程，可解切線相關(guān)問(wèn)題.
18. 已知函數(shù).討論的單調(diào)性；
【答案】答案見(jiàn)解析
【解析】
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)和因式分解，分類討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)即可分析函數(shù)的單調(diào)性.
【詳解】，
令，
則或，
①若，
則有，
所以函數(shù)在R上為增函數(shù)；
②若，
當(dāng)或時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)在和上遞增，在上遞減；
③若，
當(dāng)或時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)在和上遞增，在上遞減；
綜上所述，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在和上遞增，在上遞減；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在R上為增函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在和上遞增，在上遞減.
19 已知函數(shù).
（1）討論的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時(shí)，，討論零點(diǎn)個(gè)數(shù).
【答案】（1）答案見(jiàn)解析
（2）答案見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）求，根據(jù)a的范圍分類討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，從而判斷f(x)的單調(diào)性；
（2）令并參變分離，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三次函數(shù)與常數(shù)函數(shù)圖象交點(diǎn)問(wèn)題.
【小問(wèn)1詳解】
的定義域?yàn)镽，.
若，令，得或，令，得；
若，令，得或，令，得.
綜上，當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
【小問(wèn)2詳解】
當(dāng)時(shí)，，
令，則，
令，
則.
當(dāng)和時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.
所以的極小值為，的極大值為，
畫出函數(shù)的大致圖象，如圖，
由圖可知，
當(dāng)或時(shí)，函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)或時(shí)，函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn).
x
-
0
+
單調(diào)遞減
極小值
單調(diào)遞增

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